基于數據驅動的進給系統跟隨誤差預測

李海洲，謝麗軍，周夢潔，黃冠文，楊 杰

（1.東莞穩控自動化技術有限公司，廣東 東莞 523000；2.中國航空工業集團成都飛機設計研究所，成都 610041；3.東莞理工學院，廣東 東莞 523000）

0 引言

當前，我國現代機械制造業正朝著高精度、高速度、高效率的方向發展［1］。數控機床作為工業母機，其加工精度決定著工業制造水平的高低［2］。

進給系統是數控機床的關鍵部件，該部件的性能對數控機床的精度影響很大［3］。它用于將攜帶刀具和工件的機床部件定位到所需位置［4］，從而實現機床的精確定位和位置跟蹤。因此，進給系統的動態響應特性對機床的整機性能、加工精度和質量有著重要影響［5］。進給系統的動態響應特性主要受可動結合面、結構剛性變形、控制系統的響應性能等因素影響，以上影響因素具有強耦合特點［6］，這對動態響應特性的精確建模提出了巨大的挑戰。

現有進給系統動態響應特性的研究方法主要有3 種：基于數學模型和Simulink 的建模方法、基于機電聯合仿真的建模方法和數據驅動建模方法。

孫名佳等［7］、方晨曦［8］、羅茹楠［9］等基于數學模型和Simulink的建模方法易出現模型部分參數難以確定的問題，且模型對進給系統系統實際物理特性表征不全，建模精度有限。

Jun Zhang［10］、周祥等［11-14］、周勇［15］等通過ADAMS和Simulink仿真工具建立了伺服進給系統的機電聯合仿真模型，對系統的動態特性進行了分析［16-17］。這類建模方法建模精度較高，但計算過程復雜且計算量大。

數據驅動建模是通過對進給系統實際運行過程中的各類數據進行分析與特征提取，然后利用機深度學習算法、人工神經網絡強大的非線性擬合能力［18-19］對系統復雜的響應特性進行抽象建模，實現對位置響應、振動等實際響應輸出的預測。Park J 等［20］對基于貝葉斯統計推斷建模，Zaiwu Mei 等［21］在機電聯合仿真解析模型上耦合了一個BP神經網絡，楊勇等［22］在滾珠絲杠進給系統的狀空間模型基礎上，利用神經網絡建立了能夠實時優化調節三環控制參數的自適應學習控制器。數據驅動方法避免了復雜的動力學分析過程，受到領域研究者關注。

本文以車外圓機臺、銑槽機臺等加工裝備為研究對象，利用神經網絡對伺服系統跟隨誤差進行預測，構建了高保真數字孿生體，為實際進給系統誤差補償與參數優化提供支撐。

1 機床伺服系統的數字孿生體的構建

首先構建了換向器產線的五維孿生模型架構，如圖1 所示。物理實體是孿生模型的現實依托，是真實物理空間中需要建模的客觀存在對象，包括各類加工裝備、機器人、AGV、傳感器等。為了滿足產線機臺孿生模型的建模需求，需要一個與之適配的數字空間建模環境。基于西門子的Tecnomatix 數字化制造仿真平臺，如圖2所示，通過其三維模型接口導入UG 等CAD 模型并進行功能模型構建，依托此三維可視化模型進行物料流的仿真、加工軌跡規劃、PLC虛擬調試、機器人軌跡規劃等。

圖1 電機換向器加工產線的數字孿生體概念模型

圖2 進給系統Tecnomatix虛擬模型的修正方案

以車外圓車刀伺服進給臺X 軸為例，如圖3 所示，X向進給軸的基座導軌為父構件（lnk1），工作臺為子構件（lnk3），二者成一對移動副，工作臺相對基座導軌平移；通過關節屬性選項確定關節運動軸參數為延絲杠軸向；同時完成包括關節位姿限制參數的設定，包括工作臺的超程限位，速度限制、加減速限制等，以貼近真實地模擬進給臺在實際運動時所受到的限位開關、伺服電機速度上限、最大加速度等物理約束。伺服電機輸出軸（lnk1）與絲杠軸（lnk2）間的旋轉運動關節定義類似，如此，賦予了車刀伺服進給系統X軸工作臺相對導軌滑動和絲杠軸線轉動的運動屬性。

圖3 進給系統Tecnomatix數字孿生模型的建立

對于上下物料機器人的運動建模，考慮到機器人關節較多，軌跡規劃不同，如圖3（b）所示，且在上下物料過程中極易與周邊設備發生干涉，因此在進行機器人的路徑規劃時，設定了一些“中間點”、“進退點”，以此避免干涉的出現。其中“中間點”是為了在多點運動時避免與軌跡內設備干涉而設置的點，“進退點”則是避免物料抓取時與其附近設備干涉而設置的點。以此建立機器人運動模型。

為滿足信息數據在上述機器人、伺服驅動系統、PLC控制器等物理實體和仿真軟件平臺上虛擬模型間交互的順暢性和實時性，選擇OPC UA標準化通訊協議，開發了基于OPC UA的數據獲取與處理應用程序，建立了物理實體和孿生模型間信息通信的網狀結構，如圖4所示。

圖4 虛擬模型控制I／O接口

在產線中車外圓、車內孔、銑槽機臺這幾個關鍵的加工裝備中，直接決定換向器加工尺寸精度的伺服進給系統，只能按照理想的指令位置、指令速度、指令加速度運動，其加工軌跡是一條理想化的曲線；而實際的進給系統受反向間隙、摩擦力、慣性力、切削力等非線性因素的干擾，如圖5所示，其實際運動響應位置、速度與指令有較大差異，實際響應的位移、速度明顯滯后于指令。

圖5 進給系統指令與實際位移、速度曲線對比

本文在利用Tecnomatix平臺建立的虛擬模型基礎上，對進給系統動態響應特性的影響因素進行分析，通過機器學習算法對跟隨誤差進行建模，預測不同位置、速度、加速度下的進給系統的實際響應輸出，對孿生模型進行修正，以提高進給系統數字孿生模型的真實性。

2 數據驅動的進給系統跟隨誤差預測

PID三環控制線性系統響應是脈沖響應的線性疊加。如圖6 所示。線性系統的輸入輸出滿足卷積關系：

圖6 進給系統三環控制結構

式中：u（t）為系統輸入；h（t）為脈沖響應；x（t）為系統輸出。

根據此關系，可計算任意輸入下系統的響應輸出，具體計算時可利用數值法，利用離散卷積和計算卷積積分：

式中：w（k）為單位脈沖響應。

根據脈沖響應的特性，脈沖響應在時域上具有一定寬度N，當k ＜0 及當k ＞N時，w（k） ＝0，因此，系統輸出可以表示為：

考慮PID三環控制模式下的進給控制系統可以看做是一個二階系統，其跟隨誤差可近似如下：

由分析得知，跟隨誤差與位置、速度、加速度存在一定的相關性，是跟隨誤差的重要影響因素。通過數據驅動的方法，如圖7 所示，利用神經網絡對跟隨誤差進行建模預測，并根據跟隨誤差預測結果對進給系統的孿生模型進行修正，同時為實際進給系統的誤差補償提供相應的指令輸入誤差補償量參考值。

圖7 數據驅動的進給系統跟隨誤差預測模型架構

2.1 數據驅動的進給系統跟隨誤差預測方法

本文采用長短時記憶網絡（Long-short Term Memory，LSTM）進行預測研究。如圖8 所示，由LSTM 單元結構可知t-1 時刻即上一時刻的輸入向量ht-1與當前時刻新的輸入向量xt進行組合，通過激活函數sigmoid變換以后（這就是遺忘門，“忘記”之前的狀態和當前輸入中的無用信息），得到遺忘系數矩陣Ft如下：

圖8 LSTM網絡單元循環結構原理

Ft再與Ct-1進行點乘，即完成單元狀態的部分遺忘操作。

接著，t -1 時刻的輸入ht-1 和xt經過另外一個組合，通過sigmoid函數變換以后（即輸入門），得到輸入系數矩陣it：

然后，ht-1和xt再經過另外一個組合，通過tanh函數激活以后，與it相乘得到一個中間結果，接著和上一步的中間結果相加得到Ct：

最后，t -1 時刻的輸入ht-1和當前時刻新的輸入xt經過另外一個組合，通過sigmoid 變換以后（即輸出門），得到輸出系數矩陣Ot：

輸出系數矩陣Ot與經過tanh 函數變換后的Ct點乘得到輸出ht：

至此，單元內的所有的狀態均得到一次完整的更新。

本文確定的LSTM模型如圖9 所示，充分考慮了PID 三環控制下的系統響應滯后性，在模型建立過程中進行假設驗證。其除去輸入層和輸出層外，經過訓練測試后，確定了模型包含3層LSTM單元組成的隱藏層，此外，用一個全連接層連接隱藏層和輸出層，全連接層數為1。其中隱藏層通過sigmoid 函數和tanh 函數對之前時間的狀態進行選擇性記憶和遺忘，全連接層通過linear線性函數對各細胞狀態進行線性組合，作為模型最終的預測輸出。

圖9 基于LSTM神經網絡的跟隨誤差預測模型架構

對于跟隨誤差模型的訓練效果，本文以均方誤差損失函數作為評判標準，即以一批輸入樣本的模型輸出跟隨誤差值與實際跟隨誤差值間的均方誤差，來評定模型的訓練效果。均方誤差損失函數的計算如下：

式中：N為當前批訓練輸入樣本數；yi為預測值；為實際值。

在進給系統由靜止到開始運動的過中，指令位置從某一常值開始遞增或遞減，這種變化趨勢是識別啟動點的重要特征，同時分析位置增減的變化方向可以確定系統的運動方向，可以很好地識別運動為正向啟動還是反向啟動。進給軸啟動點位置變化規律如圖10 所示。

圖10 啟動點位置變化規律

根據指令位置在進給軸啟動時的變化規律示意圖，ki為啟動點，ki-1、ki＋1分別為啟動點前后的兩個插補點，其位置對應xi-1、xi、xi＋1，在啟動過程中，位置在ki點前穩定在一定值，在ki點后發生變化，根據此特征，可按照如下條件判定ki為正向啟動點：

類似地，反向啟動點的判定條件如下：

對于進給軸運動停止點，其位移規律如圖11 所示。

圖11 停止點位置變化規律

ki為停止點，ki-1、ki＋1分別為停止點前后的兩個插補點，其位置對應xi-1、xi、xi＋1，在進給軸由運動轉向靜止的過程中，位移值在ki點前一直朝某一方向單調變大或減小，在ki點后變為一常值，根據此特征，可按照如下條件判定ki為正向停止點：

類似地，負向停止點的判定條件如下：

對于進給軸運動反向點的位移規律如圖12 所示。

圖12 反向點位置變化規律

可以看到，反向點處的指令位置的特點是在ki點處達到位移的極大值或極小值，因此，反向點處的位移規律可以按此特征判定，由正向運動轉為負向運動的判定條件如下：

類似的，由負向運動轉為正向運動的判定條件如下：

按照上述判定條件，如圖3～4所示，為了更好地對這些非線性特征導致的跟隨誤差進行預測，本文建立了加速度躍變標記特征特征，作為跟隨誤差預測模型的輸入。

如圖13 所示，將穩態誤差分離后，可以發現啟停點處加速度躍變處的非穩態差會出現明顯的突跳，將其放大后發現誤差的變化大致呈左右反向對稱的魚背鰭狀。

圖13 直線軌跡非穩態跟隨誤差

為了對此突跳特征進行標識，本文擬尋求某一特征標記曲線，來標記此跟隨誤差突跳的變化趨勢，并將此特征作為誤差預測模型的一個輸入，以更好地反映加速度躍變引起的響應誤差。

如圖14 所示，本文用二次函數來構建此突跳區間的標記特征，并賦予相應的權值，以反映其變化趨勢，突跳的區間大小根據不同進給速度下的突跳區間長度取平均值確定。

圖14 基于二次函數的加速度躍變特征構建及權值設計

對于進給系統過象限點時的反向過程，可以看做是停止和啟動的疊加，將反向區間看成一個停止區間和一個啟動區間的在峰值點出的線性疊加。如圖15 所示。將上述加速度躍變特征標記方法應用于直線往復運動，其突跳特征如圖16 所示。

圖15 反向點加速度躍變特征構建

圖16 梯形加減速直線軌跡加速度躍變特征標記

2.2 數據集的制作與特征歸一化

考慮到本文所用速度、加速度及跟隨誤差等信號的數值比較集中的特點，本文采用線性函數歸一化方法對這些信號進行處理：

式中：x′為歸一化之后的數據；x為待處理數據；max（x）為待處理數據序列中的最大值；min（x）為待處理數據序列中的最小值。

通過此方式，將原始數據線性映射到［-1，1］范圍內。以6 000 mm／min時正弦變速圓軌跡運動的速度和加速度為例，如圖17 所示，實現對原始數據的歸一化。可以看到，歸一化前各組數據量綱差異很大，歸一化后速度和加速度的值縮放到了［-1，1］范圍內，兩組數據處于同一數量級，但其變化特征仍然保留。

圖17 歸一化前后速度、加速度對比

3 實驗驗證與孿生模型的修正

為了清晰地表征跟隨誤差的預測精度，將模型預測的跟隨誤差與實際跟隨誤差在時域上進行對比，同時將二者作差，得到模型在各個時刻的預測偏差。直線軌跡運動下，在進給速度分別為4 000 mm／min和8 000 mm／min時的預測跟隨誤差、實際跟隨誤差、模型的預測偏差分別如圖18 ～19 所示。

圖18 4 000 mm／min速度下的跟隨誤差預測效果

圖19 8 000 mm／min速度下的跟隨誤差預測效果

速度4 000 mm／min 時，預測跟隨誤差曲線與實際跟隨誤差曲線在各個時刻都高度重合；預測偏差在0.006 mm內上下波動，最大預測偏差為0.005 3 mm左右。

表1 不同速度下的跟隨誤差預測效果

在速度為8 000 mm／min時，預測跟隨誤差曲線與實際跟隨誤差曲線在各個時刻同樣高度重合，預測效果都與進給速度為4 000 mm／min時相差并不大。

4 結束語

本文通過數據驅動的方式實現了進給系統跟隨誤差的準確預測和進給系數字孿生模型的修正。構建了跟隨誤差的預測模型，并以梯形加減速直線軌跡對模型的預測效果進行驗證，預測效果良好。為實際進給系統提供了相應的前饋誤差補償參考。