基于留數(shù)定理的VSC鎖相環(huán)頻率估計算法研究

劉大雷

(國網(wǎng)冀北電力有限公司承德供電公司, 河北, 承德 067000)

0 引言

柔性直流輸電系統(tǒng)中,電壓源型換流器(VSC)因其換相成功率高,無需配置無功補償器等優(yōu)勢而得到了廣泛應用[1-2],而鎖相環(huán)對VSC的交流側(cè)電壓和功率控制具有非常重要的作用。鎖相環(huán)輸出的角頻率和鎖相角可以輸入控制系統(tǒng)中,使電壓電流等變量從abc坐標系下轉(zhuǎn)換至同步旋轉(zhuǎn)dq坐標系下,從而將交流量轉(zhuǎn)換為直流量,便于對控制系統(tǒng)進行設計。

然而,當VSC與弱交流電網(wǎng)連接時,鎖相環(huán)的暫態(tài)特性和穩(wěn)定性會發(fā)生惡化,容易造成VSC運行失穩(wěn),進而造成系統(tǒng)震蕩甚至發(fā)生故障[3-5]。文獻[6]設計了一種改進的三相同步鎖相環(huán)結(jié)構(gòu)(SRF-PLL),縮短了電壓跌落和相位跳變的響應時間,但無法在故障狀況下穩(wěn)定運行;文獻[7]設計了一種雙同步坐標系解耦鎖相環(huán)(DDSRF-PLL),實現(xiàn)了故障狀態(tài)下的電壓正負序分量分離,使VSC在故障狀況下可以穩(wěn)定運行,但控制結(jié)構(gòu)較為復雜,不利實現(xiàn);文獻[8]研究了鎖相環(huán)對多端VSC系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響和控制參數(shù)選擇方法,但依然不適用于故障情況。為了提高鎖相環(huán)的暫態(tài)特性和穩(wěn)定性,本文提出了一種基于留數(shù)定理的VSC鎖相環(huán)頻率估計算法。該算法首先通過將交流電壓信號由abc坐標系變換至αβ坐標系下,將αβ坐標系下的交流電壓向量由時域轉(zhuǎn)換至復變域,之后結(jié)合留數(shù)定理通過求解其閉合路徑積分得到了鎖相環(huán)頻率估計方法,簡化了路徑積分的公式,減輕了控制器負擔,并依據(jù)該算法設計了估計器的控制結(jié)構(gòu),實現(xiàn)了三相交流平衡和不平衡情況下的交流電網(wǎng)頻率的快速追蹤和精確估計,具有可靠的穩(wěn)定性。

1 交流電壓αβ坐標變換過程

圖1是VSC交流側(cè)的等效電路模型,us為交流系統(tǒng)等效電壓源電壓,Zs為交流系統(tǒng)等效阻抗,upcc為公共耦合點(PCC)處電壓向量,upcc=[upcca,upccb,upccc],upcca、upccb、upccc分別為a、b、c三相相電壓,Udc為直流側(cè)極間電壓。為了將upcc由三相abc坐標系向同步旋轉(zhuǎn)dq坐標系進行變換,首先要利用克拉克變換[9]將upcc變換至αβ坐標系下,如式(1)所示。

圖1 VSC交流側(cè)的等效電路模型

[uα,uβ]T=C[upcca,upccb,upccc]T

(1)

其中,C為等幅值變換的克拉克變換矩陣,其表達式如式(2)所示。

(2)

結(jié)合式(1),可以將αβ坐標系下的交流電壓投影至復平面上,以表示αβ坐標系下的交流電壓向量的運動軌跡,如式(3)所示。

z=uα+juβ

(3)

其中,j為虛數(shù)單位,z為復變量,uα和uβ分別為α和β軸電壓分量。

假設交流電網(wǎng)處于三相平衡狀態(tài)下,則abc坐標系下交流電壓向量可表示為

(4)

其中U為交流相電壓幅值,ω為交流電網(wǎng)角頻率,t為時間。將式(4)代入式(1)可得到交流電壓的αβ分量:

(5)

式(5)表示復平面上半徑為U,以角頻率ω逆時針旋轉(zhuǎn)的交流電壓向量。其穩(wěn)態(tài)向量軌跡如圖2所示。

圖2 三相平衡時交流電壓αβ分量向量軌跡

圖2中,Ts為采樣周期,N為交流電壓一個工頻周期內(nèi)總采樣點數(shù),k表示第k個采樣時刻。交流電壓每經(jīng)過N個采樣周期,電壓經(jīng)過1個工頻周期,即z[kTs]=z[(k+N)Ts]。

在單相接地故障情況下,以C相為例,abc坐標系下的交流電壓表達式為

(6)

將式(6)代入式(1)可得

(7)

圖3 三相不平衡時交流電壓αβ分量向量軌跡

2 基于留數(shù)定理的頻率估計算法

本節(jié)采用留數(shù)定理對復平面上交流電壓αβ分量向量的角頻率進行估計。留數(shù)定理可以用來計算復變函數(shù)f(z)沿著包含有若干奇點的閉合路徑C的積分[10],復變函數(shù)f(z)可以根據(jù)頻率和相角估計器預期的干擾和噪聲抑制特性進行設計。

假設復變函數(shù)f(z)為解析函數(shù),閉合路徑C包含n個奇點,分別為z1,z2,…,zp,…,zn。則復變函數(shù)f(z)沿閉合路徑C的積分可由式(8)得到。

(8)

其中,Res[f(z),z=zp]表示f(z)在奇點z=zp處的留數(shù)。考慮一般情況,假設f(z)僅在z=zp處具有m階奇點,則f(z)可表示為

(9)

其中,φ(z)為在z=zp的非零解析函數(shù)。式(9)的復變函數(shù)的留數(shù)可表示為

(10)

其中,φ(m-1)表示φ(z)的m-1階導數(shù)。需要注意的是,如果閉合路徑C內(nèi)沒有奇點,則f(z)的留數(shù)為零。因此,解析函數(shù)f(z)沿閉合路徑C一圈的積分為零,如式(11)所示。

∮Cf(z)dz=0

(11)

(12)

綜上,可以對基于留數(shù)定理的頻率估計的控制器結(jié)構(gòu)進行設計,如圖4所示。

圖4 基于留數(shù)定理的頻率估計控制器結(jié)構(gòu)

顯然,圖4中式(11)的求解不能在時域控制器中實現(xiàn),因此,需要對式(11)進行有理化近似。假設交流電壓一個工頻周期內(nèi)具有足夠多的采樣點,則式(11)可以采用前向歐拉法[11]近似為

(13)

其中,Δz(k)=z(k)-z(k-1)。在控制器的實際運行中,受噪聲和測量誤差影響,z(k)在復平面上的軌跡并不為完美的圓形或橢圓形,其分量可分解為

z(k)=p(k)+q(k)

(14)

其中,p(k)為交流電壓基頻向量,q(k)為噪聲向量。結(jié)合式(14),Δz(k)可以表示為

z(k)=p(k)-p(k-1)+q(k)-q(k-1)

(15)

在采樣周期Ts足夠小的情況下,可以認為基頻向量p(k)≈p(k-1),但噪聲向量q(k)在每個采樣點的分布是隨機的,并不相同。則式(15)可簡化為

z(k)=q(k)-q(k-1)

(16)

復變函數(shù)f(z)的選擇應滿足使式(13)在Ns個采樣周期內(nèi)的和為零,同時要盡可能簡化控制器的計算負擔。這里以選擇f(z)=z為例,代入式(13)可得

(17)

需要注意的是,噪聲分量q(k)滿足高斯分布,在采樣數(shù)量足夠多的情況下,其一個工頻周期內(nèi)的積分近似值為0,因此式(17)不包含q(k)分量。

綜上,整個算法的流程圖如圖5所示。

圖5 基于留數(shù)定理的頻率估計算法流程圖

3 仿真結(jié)果和分析

以一個單端VSC系統(tǒng)為例,在MATLAB/SIMULINK仿真軟件中搭建了如圖1所示的VSC電路及其控制系統(tǒng),控制系統(tǒng)采用雙閉環(huán)PI控制,其控制框圖如圖6所示,其中鎖相環(huán)部分分別使用了本文提出的頻率估計算法和傳統(tǒng) SRF-PLL算法[6],輸出的鎖相角為同步dq變換提供了相位基準。電路和控制系統(tǒng)參數(shù)參考了文獻[12],如表1所示。

表1 電路和控制參數(shù)

圖6 單端VSC控制系統(tǒng)框圖

首先對交流電壓三相平衡情況下的VSC的頻率響應進行測試。令t=0 s時VSC的有功輸出的參考值在P*=100 MW,無功輸出的參考值在Q*=0 MVar,t=0.1 s時交流電網(wǎng)頻率由50 Hz階躍至52 Hz,VSC的暫態(tài)響應波形對比情況如圖7所示。

(a) 頻率估計值波形

(b) 鎖相角估計值波形圖7 交流頻率階躍下VSC暫態(tài)響應波形

由圖7(a)和圖7(b)可見,在交流側(cè)頻率發(fā)生擾動后,應用了基于留數(shù)定理的頻率估計算法相較于傳統(tǒng)SRF-PLL算法表現(xiàn)出了良好的頻率估計能力和頻率追蹤速度,超調(diào)量幾乎為零且收斂速度明顯快于傳統(tǒng)SRF-PLL算法,相應的鎖相角估計值也迅速過渡到了新的斜率,沒有出現(xiàn)明顯延遲,而傳統(tǒng)SRF-PLL算法的鎖相角估計值在暫態(tài)響應階段出現(xiàn)了明顯的延遲,收斂速度明顯下降。

下一步對交流電壓三相不平衡情況下的VSC的頻率響應進行測試。令t=0 s時VSC的有功輸出的參考值在P*=100 MW,無功輸出的參考值在Q*=0 MVar,t=0.1 s時PCC處C相單相接地,接地電阻為100 Ω,故障持續(xù)時間0.1 s,t=0.2 s時故障清除,其頻率的暫態(tài)響應波形對比情況如圖8所示。

圖8 交流側(cè)單相故障情況下VSC頻率估計值波形

由圖8可見,在交流側(cè)單相故障情況下,基于留數(shù)定理的頻率估計算法受電壓跌落影響,頻率估計值發(fā)生了瞬時跌落,但極短的時間內(nèi)頻率估計值就恢復至額定值,且一直穩(wěn)定維持至故障清除時刻。故障清除后,電壓瞬間抬升,頻率估計值發(fā)生了瞬時升高,之后短時間內(nèi)又恢復至穩(wěn)定值。而傳統(tǒng)SRF-PLL算法下故障狀態(tài)下頻率估計值發(fā)生了振蕩波動,且在交流不對稱情況下無法保持穩(wěn)定,影響VSC在故障情況下的正常運行。可見在故障情況下新型頻率估計算法表現(xiàn)出了良好的穩(wěn)定性和暫態(tài)特性,故障期間的頻率估計值依然保持了良好的精確度,保證了VSC的穩(wěn)定運行。

4 總結(jié)

本文提出了一種基于留數(shù)定理的鎖相環(huán)頻率估計算法,首先介紹了交流電壓αβ坐標變換的一般過程,并推廣至三相不平衡條件下,之后結(jié)合留數(shù)定理,將交流電壓αβ分量由時域轉(zhuǎn)換為復變域,通過求解其閉合路徑積分得到了鎖相環(huán)頻率估計值,簡化了路徑積分的公式,并設計了估計器的控制結(jié)構(gòu)。最后以一個單端VSC為例,分別測試了該頻率估計算法和傳統(tǒng)SRF-PLL算法在交流側(cè)頻率波動和單相接地故障下的暫態(tài)響應特性,仿真結(jié)果表明該算法具有良好的頻率估計能力和頻率追蹤速率,在頻率波動和交流三相不平衡狀態(tài)下,VSC仍可以保持穩(wěn)定運行,可以實現(xiàn)頻率和鎖相角的精確估計,且故障前后均具有良好的暫態(tài)恢復特性。