探尋本質 發展素養
——以《11～20各數的認識》一課為例

文 周衛東（特級教師）

“11～20各數的認識”是第一學段“數與代數”領域的一個重要內容。依據《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）中“學業要求”的相關描述，其具體學習目標定位在“能用11～20的各數表示物體的個數或事物的順序；能認、讀、寫11～20各數；能說出不同數位上的數表示的數值；形成初步的數感”。圍繞這些學業要求，顧悅老師的《充分感悟“十”在計數中的作用》（后簡稱設計一）和張嵐老師的《關注學生問題探尋知識本質》（后簡稱設計二），都能認真研讀和落實新課標的教學要求，能從學生的學習特點、認知特點出發，進行精準而生動的教學設計，努力培養學生的核心素養，以達到學科育人的目標。

一、突出知識本質，形成結構理解

新課標中明確指出：“教學內容是落實教學目標、發展學生核心素養的載體。在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化數學知識體系。”“強化對數學本質的理解，關注數學概念的現實背景，引導學生從數學概念、原理及法則之間的聯系出發，建立起有意義的知識結構。”數學課中“數學味”的彰顯表達在對知識本質和結構的把握，兩則教學設計在這方面下足了功夫，可謂精彩紛呈、獨具匠心。

1.注重“十”的生成

在數學史中，數1、2、5、10被稱為“結繩數”，是形成自然數概念的“標準數”。其中，10是第一個明顯體現出“數位”這一概念的數，是理解位值制記數的重點。兩則設計都非常重視對10的教學，選擇了對“12”進行重點研究，力求實現由感覺到感受再到感悟的過程。設計一精選了兩種研究材料并提出了具體的學習路徑，“擺12根小棒，要讓大家一眼就看出”“在草莓圖上圈一圈，也讓大家一眼就看出來是12個”。學生充分調動已有經驗，著力聚焦“一眼就看出12”的要求，逐步形成“把10個看成一個整體比較簡單、快捷”的學習認知。設計二則通過三個層次展開有結構的研究，先讓學生自主擺12，在多種擺法對比的基礎上形成“1捆是10根”“先擺1捆，再擺2根”的認知；再提供“古人擺12”的數學史，讓學生感受古人“用10個小石子換1個大石子”的智慧，鞏固已經形成的十進制的經驗；最后呈現日常生活中計數的事實，再次強化學生對“十進制”計數法普遍性的認同。

2.注重“十幾”的整體建構

“11～20各數的認識”是學生第一次自主建構“位值制”，這樣的建構不是一蹴而就的，需要經由對“十幾”的整體感知進一步“提純”經驗。在著力以12的研究作為突破點之后，兩則課例均重視了對“十幾”的整體建構，進一步通過觀察和對比，引導學生把握“十幾”的特征，即“1個十和幾個一合起來就是十幾”。設計一中通過開放式任務“想一個十幾的數，并用小棒表示出來”，出示了多位學生自主擺成的作品，通過問題引領，促成學生對“十幾”形成整體性的認識；設計二中亦通過“研究二”引導學生經由“想一想”“擺一擺”“說一說”這樣三個有層次的活動，在動手實踐中深化對“十幾”的認識，并借助幾何直觀，完整呈現出11～19各數的小棒圖，引導學生“橫著、豎著觀察”，進一步深化對“十幾”含義的理解，感受“位值制”的價值。

3.注重“幾十”的遷移

“20以內的數”是后續“100以內的數”乃至更大自然數認識的“種子”，而生長的關鍵點是9、19等十進制計數系統下的“拐彎數”。兩則設計都注重了對“拐彎數”的探究，引導學生在探索中自然生長出“幾十”，為后續學習打下了基礎。設計一讓學生進行想象：“如果給19根再添上1根是多少？”“想一想，20根可以怎樣擺？”“為什么要這樣表示？”引導學生在想象中感受每滿十都要捆成一捆，有幾捆就是幾個十。而設計二則安排了一次“拿珠子”的活動，“如果這里有10顆1串和1顆1顆的珠子，請你拿出19顆珠子，想想可以怎樣拿？”引導學生既可以順向先拿10顆再拿9顆，也可以先拿2串再拆開拿走1顆珠子。這樣的教學，著力在學生認知的拐點處、思維的難點處，促進了自然數知識結構的完整建立。

二、重視抽象過程，培養數學眼光

“抽象性”是數學這門學科向教育者發出的“核心指示”。抽象，意味著一切數學活動（包括數學學習與教學活動）都指向“理念世界”，而非“經驗世界”。我們要創造條件，努力讓學生在經歷逐漸抽象的過程中，培養其數學眼光。

1.在數序感知中抽象

自然數的概念有著豐富的內涵，在教學的過程中不僅要注重讓學生經歷數概念的形成，感受其基數含義，也要引導學生從“計數的數”方面入手，感知其“序數”含義。正如弗賴登塔爾所言：對于數學自身的發展而言，“計數的數”（序數）意義更大，無論從歷史的、發展的還是從系統的角度來看，數的序列都是數學發展的基石。兩則設計都在有意識地引導學生關注數的順序，如設計一中引導學生將本節課學習的數請到數軸上，從而將數納入到一定的結構中，并設計了“找鄰居”等兒童化的活動，引導學生感受數之間的聯系。設計二中也設計了兩次感知活動，第一次是用小棒圖直觀呈現學生以往認識的“1～9”和本課認識的“11～19”，引導學生在觀察中感受數的結構與聯系；第二次則是通過對“尺子上的數”和“電梯上的數”的觀察，結合學生的生活經驗進一步感知數的順序。這樣的活動不僅加深了學生對數的含義的理解，也進一步感知了數的順序。

2.在問題導學中抽象

愛因斯坦曾說過“提出一個問題比解決一個問題更重要”。提出問題是需要想象力的，標志著真正的進步。用屬于學生的真實問題激發學習需求，引發認知失衡，激發主動建構。設計一在課末設計了學生提問的環節，努力把學習從課內延展到課外；而設計二在課前安排了學生提問的環節，然后把問題分成了三類，用問題激發學生積極探究的興趣和主動探究的欲望，為深度學習打下基礎。兩則設計都能圍繞核心問題進行教學，即“擺12根小棒，怎樣擺能看得很清楚”“今天學習的這些數和1、2、3……10有什么聯系？”在凸顯“十”作為一個新的計數單位的作用，體會“十進制”的美妙與價值的同時，關注知識之間的聯系與區別，加深數的記憶，豐富數的感悟，從而建立完整的知識結構。

3.在融入生活中抽象

數學的眼光來源于對現實對象的抽象，通過“剝離”或“去掉”真實對象的其他屬性，進而找到其中蘊含的數量關系和空間形式。兩則課例都注重從學生的現實生活中取材，在學習了11～20各數后讓學生帶著收獲重新回到現實生活中。兩則設計中出示了多種“10個一打包的物品”，讓學生從不同角度體味這種設計的便捷性，體會“十進制”思想在日常生活中的價值，這一種“反觀”不僅讓學生感知到數學在生活中是無處不在的，感受到數學在生活中的價值，更讓學生在審視生活現象時多了一份理性思考，培養其逐步學會以數學的眼光來洞悉事物的本質。

三、經歷學習過程，促進意義建構

新課標中明確指出：“通過豐富的教學方式，讓學生在實踐、探究、體驗、反思、合作、交流等學習過程中感悟基本思想、積累基本活動經驗，發揮每一種教學方式的育人價值，促進學生核心素養發展。”遵循這一要求，兩則課例在設計中都引導學生經歷“有過程”的學習，從而更好地習得知識、形成素養。

1.多樣化材料導學

皮亞杰曾說：“數不是某個東西的名稱，它是事物與事物之間的相互關系，表明的是一個物體在一個序列中的位置以及一組物體中包含了多少個物體，這種關系不是直接用語言來教的，而是兒童通過感知、操作活動在動作中體驗、發現、創造的。”自然數概念的形成必須經過實際操作，在操作中感悟、體驗。兩則設計都努力做到這一要求，均借助小棒這一直觀材料，通過啟發學生把10根小棒捆成一捆，在操作活動中深化對“10個一就是1個十”的理解，并提供了草莓圖、石子、打包好的雞蛋和紙巾等生活化素材，素材不斷地發生變化，但不變的是數滿10個就聚在一起，10個一是1個十，讓學生在多元的“結構化”材料中，經由豐富的操作體驗逐步理解抽象的“數位”，進而體會十進制思想。

除了結構化的操作材料，兩則設計也都引入數學史作為資源引領學生感受數學知識的發展脈絡，體會其中蘊含的智慧和合理性。設計一在課的最后引入了中國古老的甲骨文，從甲骨文中10的寫法讓學生感悟“一捆”，將漫長的歷史和今日學生之探索遙相呼應，讓學生深感震撼。設計二則在“探索12”的過程中，有機融入“古人擺石子計數”的故事，以“1個大石子換10個小石子”，讓學生進一步感知“位值”在計數中的美妙。

2.體驗性任務促學

一年級學生的思維以具體形象為主，有效的體驗性任務有利于學生達成從直觀動作思維到具體形象思維，最后再到抽象思維的進階，也就是對計數單位“十”的理解。兩則設計都注重設計體驗性的操作任務，整個學習活動以“12怎么擺”這一體驗性活動為主體，展開自主探索。此外，兩則設計也都非常關注“數數”活動。充分的“數數”活動是學生形成“數概念”的基礎，有利于對“數”概念的深刻理解。例如，在探究12的過程中，均讓學生數出12根小棒，通過1根1根地數，學生知道了表示某一集合的數量，通過2個2個地數或5個5個地數，豐富了對“數”的認識，通過把10根小棒捆成一捆再計數的方法，感受10參與計數的優越性。此外，數數活動中也滲透了對應的數學思想。兩則設計都能突出“點數”（手指著一個物體，口中說出一個數）的作用，讓學生建立起事物與事物之間的對應關系，感受“一一對應”的原則，為后續函數的學習儲備經驗與方法；數的過程中“不遺漏、不重復”，也是在培養學生“有序地觀察”“有序地思考”等數學思想和方法。

3.反思性問題深化

數概念的形成基于學生直接或間接的認知經驗，但又不能完全依賴經驗，也需要兒童理性的思考。兩則教學設計均在體驗性活動后有意識地通過反思性問題將學生的思維活動引向深水區。例如，設計一中，在第一次擺10根小棒后，就引導學生通過“都是10根，但擺得不一樣。你更喜歡誰的擺法？為什么？”引導學生感受“位值”的價值。設計二則在“擺十幾”這一操作活動結束后引導學生進行了三次有價值的比較。第一次比較，是學生在擺12的過程中出現了不同的擺法，在討論中突出一捆小棒很方便，明晰計數單位“十”的簡便性；第二次比較，是學生在自主用小棒擺了十幾以后觀察，大家都在數零散的單根小棒，沒有數整捆的小棒，讓學生再次體會到1個十的方便；第三次比較，是在學生自主擺出十幾后，整體進行比較，發現都有一捆小棒，對應1個十，零散的小棒對應幾個一。實踐之后的反思促進學生的經歷轉變為更具有價值和生長性的經驗，從而促進了深度理解的產生，有效發展了學生的數感。