基于電磁信息論的多用戶超大規模MIMO的互信息研究

張 寅,虢周卓,王 者,許柏愷,肖華華,章嘉懿

(1.北京交通大學 電子信息工程學院,北京 100044;2.中興通訊股份有限公司,廣東 深圳 518057)

0 引言

近年來,隨著大規模多輸入多輸出(Massive MIMO)技術的廣泛使用,移動通信系統的性能不斷提高。超大規模多輸入多輸出(Extremely Large-scale MIMO,XL-MIMO)提供了巨大的空間自由度,有望成為6G關鍵技術之一[1-2]。但隨著收發天線數目不斷增加,如何處理XL-MIMO天線孔徑有限的性能限制[3]成為當下亟待解決的問題。連續孔徑MIMO(Continuous-aperture MIMO,CAP-MIMO)[4-6]是解決該問題的可能技術路線之一。與傳統由多個天線組成的離散XL-MIMO[7-9]不同,CAP-MIMO作為一種具有無限密集天線的MIMO結構,也被稱為全息MIMO[10-11]、超大規模智能超表面(Large Intelligent Surface,LIS)[12-13]和可重構智能超表面(Reconfigurable Intelligent Surface,RIS)[14-15],由于其空間連續的電磁結構[3],能產生任意的電流分布,被接收機接收的信號可以在空間電磁波上進行調制,因而有望突破有限孔徑的性能限制[6]。

對于XL-MIMO系統,主流分析和設計過程通常基于白噪聲、標量、遠場、離散化、單色和其他非物理一致的假設。但考慮連續孔徑XL-MIMO,這些假設將不存在。因而,需要找到一套適用于連續孔徑XL-MIMO的分析方法,文獻[6]提出了一種通用的分型復用技術,將連續模式函數的設計轉化為在有限正交基上的投影長度設計來解決和速率最大化問題。但文獻[11]并未考慮到隨著天線數量的增加,在每個天線上觀察到的噪聲將表現出兩種不同的特性。

針對天線數目增加導致的噪聲特性變化問題,已有相關研究將噪聲分解為白噪聲分量和非白噪聲分量,并對噪聲進行隨機場建模,建立起連續孔徑XL-MIMO的分析方法[16]。但其討論的情況僅限于單用戶通信系統,并未進一步探究更一般的多用戶通信場景。

基于此,本文基于利用連續孔徑XL-MIMO的分析方法建立起多用戶情景下的連續孔徑XL-MIMO系統,考慮了由天線數量增加所導致的噪聲特性變化,并進一步探究了模型的適用范圍。具體做了以下工作:

① 建立了多個連續區域之間無線通信的系統模型,得到系統傳輸的目標函數。

② 利用隨機場對系統進行了相關建模,推導出基于電磁信息論的多用戶連續孔徑XL-MIMO的互信息表達式以及簡化的數值計算方法。

③ 基于互信息表達式以及數值計算方法,分別討論了不同噪聲場景下,多用戶連續孔徑XL-MIMO系統的準確互信息。分析了離散點數、白噪聲功率、非白噪聲功率等因素對互信息的影響,進一步探究了其適用場景,分別對波長、噪聲功率與互信息收斂時最大離散點數之間的關系進行了研究。

1 多用戶XL-MIMO系統模型

基于電磁信息論,麥克斯韋方程組揭示了收發器間信息的傳輸過程,同時格林函數建立起了發射端電流密度與接收端感應電場強度之間的關系。

考慮兩個任意連續區域Vs和Vr之間的通信模型[13]。源端電流密度為J(s),接收端產生的感應電場為E(r),利用格林函數,其電場E(r)為:

(1)

根據文獻[17],在無界均勻介質中,固定頻點的格林函數為:

(2)

1.1 系統模型

考慮一個如圖1所示的多用戶連續MIMO無線通信系統,它包括了一個接收端,一個源端以及K個干擾端。其中,收發器天線均為連續孔徑的鏈式陣列天線。

圖1 多用戶XL-MIMO系統簡化模型Fig.1 Simplified model diagram for Multiuser XL-MIMO system

源端的電流密度為J(s),接收端的感應電場為E1(r),在理想情況下,期望接收器能夠理想地捕獲到達點d1的電磁波全部信息。由式(1)知,接收端捕獲到的電場信號為:

(3)

式中:E1為期望信號產生的電場,Ej為干擾信號產生的電場,N1為噪聲場。

1.2 基于隨機場的信號建模

根據電磁信息論,本文分析基于Shannon隨機模型,因此需要利用隨機場對信號進行建模。隨機場反映了無線通信系統的統計特性,而在所有種類的隨機場中,高斯隨機場具有理論意義,因此用它描述源端電流密度以及接收端電場強度的統計特性。假設高斯隨機場為連續、可離散的,其可以由均值以及自相關函數來表示高斯隨機信號的特征。

因此,假設源端電流密度和接收端電場強度均符合高斯隨機場特性,可得:

(4)

由式(1)可得:

RE1(r,r′)=[E1(r)E1H(r)]=

(5)

1.3 基于隨機場的噪聲建模

本節將對噪聲進行隨機場的建模。通信系統中,噪聲一般分成白噪聲分量與非白噪聲分量,白噪聲分量一般考慮到通信系統中的非理想因素,這種影響呈現空間的不相關性,因此利用加性高斯白噪聲(AWGN)來描述這一分量。

(6)

對于非白噪聲分量,可以將其視作非源端電流產生的入射電磁波的疊加。根據文獻[16],非完全各向同性的輻射干擾的隨機場自相關函數為:

(7)

式中:κ為波矢量,f1和f2為輔助函數,其具體定義如下。

(8)

至此得到了系統模型,信號和噪聲的隨機場模型,下一節將根據所建模型進行互信息公式的推導。

2 多用戶連續XL-MIMO系統互信息及數值計算

2.1 系統互信息

為得到互信息的表達式,考慮基于平行有限長度線性收發天線的多用戶XL-MIMO系統。根據電磁信息論,可得J(s)與E1(r)、Ek(r)之間的關系,可用式(2)中矩陣G左上角的元素G1.1來描述,可推導為:

(9)

式中:x=r-s,d為收發器之間的距離。

因此,進一步得到了源端電流密度與接收端感應電場之間的關系:

(10)

接收電場的自相關函數為:

(11)

利用文獻[16]提及的方法,可以將Ej(r)、Y(r)和N(r)進行Mercer展開:

(12)

可以構建兩個空間H1和H2,分別由ξE1,k和ξY,k展開,E1(r)和Y(r)之間的互信息為空間H1和H2之間的差值。

可得這個空間的差值,即E1(r)和Y(r)之間互信息可以由范德蒙行列式的算子來求得:

(13)

式中:TY為Y(r)自相關函數的積分算子,TE1為E1(r)自相關函數的積分算子,TD和TD′分別是與E1(r)和Y(r)相互關聯的算子。

此處,類比地假定噪聲場N與期望電場E1無關,由于假定期望信號與干擾信號無關,干擾電場與期望電場無關,同樣可以得到TD=TD′=TE1。

將其代入,進一步化簡互信息表達式為:

(14)

(15)

2.2 數值計算

根據文獻[16]中算法1,可以得到互信息的公式:

(16)

式中:

(17)

至此完成了多用戶XL-MIMO系統模型的數值計算,為接下來的仿真提供了基礎與依據。

3 仿真分析

為簡化討論,考慮一個接收端,一個用戶端,一個干擾端的情況,且三者互相平行,中心點都在同一直線上,如圖2所示。

圖2 K=2時具體仿真情景Fig.2 Specific simulation when K=2

3.1 不同種類噪聲情景

基于前文中對白噪聲情景下考慮干擾情況的多用戶XL-MIMO通信系統互信息表達式的求解以及數值計算,首先在僅考慮白噪聲的場景下進行仿真,進一步再擴展為非白噪聲場景。

3.1.1 白噪聲情況相關仿真

為簡化討論,將干擾端的個數設為1,同時假設收發器間距均為1 m,長度均為2 m,信號波長為0.25 m,基于上述條件,討論離散點數、白噪聲功率對互信息值的影響,如圖3所示。

圖3 白噪聲情景下K=2的MIMO系統Fig.3 MIMO system with K=2 in white noise context

為了與單用戶的情況進行對比,繪制單用戶情況下對應曲線,如圖4所示。

圖4 白噪聲情景下K=1的MIMO系統Fig.4 MIMO system with K=1 in white noise context

通過對比,在白噪聲情景下K=2時,多用戶XL-MIMO系統互信息的值會因干擾的加入出現明顯下降,同時互信息的值隨白噪聲功率減小而增大,當白噪聲功率小于10-7V2/m2時,連續接收端(36點離散)獲得的信息對比半波離散點數(16點)離散接收端獲得的信息有著明顯提升。

對比單用戶MIMO模型,連續接收端獲得的信息仍在白噪聲功率為10-10V2/m2時相比半波離散化接收端有著19.49%的提升,相比8點波長離散化接收端獲得的信息有138.9%的提升,說明了連續接收端在通信系統存在干擾時相較于離散接收端能獲得更多的信息。

3.1.2 非白噪聲情況相關仿真

為了進一步研究多用戶XL-MIMO系統,將白噪聲的場景推廣到非白噪聲的場景。

簡便起見,在此處也將干擾端的個數設置為1,依舊假設收發器間距均為1 m,長度均為2 m,信號波長為0.25 m,在考慮非白噪聲的場景下,固定非白噪聲功率為0.5 V2/m2,來討論離散點數,白噪聲功率對互信息值的影響,如圖5所示。

圖5 非白噪聲情景下K=2的MIMO系統Fig.5 MIMO system with K=2 in non-white noise context

為與單用戶的情況進行對比,繪制了非白噪聲情景下單用戶MIMO系統的對應曲線,如圖6所示。

圖6 非白噪聲情景下K=1的MIMO系統中Fig.6 MIMO system with K=1 in non-white noise context

通過對比,在非白噪聲場景下,K=2的多用戶XL-MIMO系統中,互信息的值會因為干擾的加入出現明顯下降,互信息的值隨白噪聲功率減小而增大,當噪聲功率小于10-3V2/m2時,連續接收端(36點離散)獲得的信息對比半波離散點數(16點)離散接收端獲得的信息有著明顯提升。

此情況下,對比單用戶MIMO模型,在白噪聲功率為10-10V2/m2時,連續接收端獲得的信息仍比半波離散化接收端有著21.30%的提升。

因此,在白噪聲與非白噪聲場景下,連續接收端獲得的信息均比離散接收端有較大提升,且此類提升隨著用戶數量的增加而不斷提高。

3.1.3 不同功率非白噪聲的影響

為進一步探討非白噪聲功率值對于所假設模型互信息值的影響,將非白噪聲功率進行更改以對實驗進行了進一步的探究。

首先,將噪聲功率分別設置為0.25、0.5、0.75、1 V2/m2以探究非白噪聲功率在相同的量級發生變化時,對假設的通信模型互信息值的影響,如圖7所示。

(a) 非白噪聲功率

(b) 非白噪聲功率

(c) 非白噪聲功率

(d) 非白噪聲功率

通過對比,當非白噪聲功率在相同的量級發生變化時,相關的曲線走勢并未發生明顯變化。同時,在非白噪聲功率發生量級不變的變化時,圖中黑線表征的連續接收端(36點離散)相比半波離散點數(16點)離散接收端獲得信息提升情況明顯,其對應的白噪聲功率不發生明顯變化,即白噪聲功率與非白噪聲功率之比不發生明顯變化。

進而探討當非白噪聲功率發生量級變化時,即當非白噪聲功率與白噪聲功率發生明顯變化時,連續接收端較傳統離散接收端獲得信息有明顯提高時對應的白噪聲功率是否會發生變化。將噪聲功率分別設置為1、10-2、10-5、10-10V2/m2以探究不同非白噪聲功率的影響,如圖8所示。

(a) 非白噪聲功率

(b) 非白噪聲功率

(c) 非白噪聲功率

(d) 非白噪聲功率

結果表明,當非白噪聲功率在不同的量級發生變化時,相關的曲線變化較為明顯。同時,在非白噪聲功率量級變化時,連續接收端較傳統離散接收端獲得信息有明顯提高時對應的白噪聲功率發生明顯變化,白噪聲與非白噪聲功率比約為1%,但當非白噪聲過小時,噪聲中非白分量可忽略,其仿真圖與僅考慮白噪聲時探究非白噪聲功率、離散點數、白噪聲功率對互信息影響的仿真圖曲線趨勢相近,如當非白噪聲功率為10-10、10-5V2/m2時,曲線與圖3 相似。

3.2 多用戶情況下用戶距離的影響

為簡化操作,假設用戶距離發生變化,收發器長度均為2 m,信號波長為0.25 m,在僅考慮白噪聲以及考慮非白噪聲兩種情況下,探究端到端距離對于連續接收端獲得的信息相比傳統離散接收端獲得信息的提升值的影響。其中,考慮非白噪聲情況時,假定白噪聲功率σ12為10-10V2/m2,非白噪聲功率σ22為0.5 V2/m2,如圖9所示。

圖9 K=2時端到端距離變化的影響Fig.9 Impact of end-to-end distance on mutual information improvement when K=2

由圖9可以看出,無論是僅考慮白噪聲或考慮非白噪聲場景,連續接收端較傳統離散接收端獲得的信息均有提升,互信息提升程度會隨端到端距離的減小而增大。此外,當端到端距離小于0.95 m時,連續接收端互信息相對于離散接收端的提升不小于20%。

但當噪聲非白分量為零的情況下,隨端到端距離的增大,連續電磁場互信息的提升逐漸不明顯。

3.3 連續接收端離散點界限探究

本文采用離散的方式來逼近連續,從而達到分析連續接收端的目的。在文獻[18]中,當接收天線數量在一定的孔徑范圍內無限增加時,會導致互信息發散的情況。其原因是當天線數量不斷增大時,所假定的不相干噪聲出現了空間的相干性,進而有信號能量呈二次縮放。而噪聲能量呈線性縮放,信噪比得到無界的線性提高,導致容量發散到無窮大。因此,在滿足互信息收斂的情況下,如何得到離散點數最大值是一個值得探討的問題。

為了探究影響滿足互信息收斂的最大離散點數的因素,初步探究了多用戶連續MIMO模型下波長、噪聲功率、收發器長度與互信息收斂時對應的最大離散點數之間的關系。

假設收發器間距均為1 m,收發器長度從1 m開始,以0.5 m為步進發生變化,波長分別為0.125、0.25、0.5 m。在僅考慮白噪聲的情況下,先固定白噪聲功率為10-10V2/m2,基于前文得到的僅考慮白噪聲情況下K=2時多用戶XL-MIMO系統互信息值數據計算過程,進行互信息收斂時最大離散點數的遍歷尋找,將所得的最大離散點數與收發器間距進行線性擬合,以此來探究收發器距離與最大離散點數之間的關系,結果如圖10所示。

(a) λ=0.125 m

(b) λ=0.25 m

(c) λ=0.5 m圖10 K=2時不同波長下,收發器長度對最大離散點數的影響Fig.10 Effect of transceiver length on the maximum number of discrete points at different wavelengths,K=2

由圖10可得,若僅考慮白噪聲場景,在不同波長下,收發器長度與最大離散點數之間成線性關系,同時,隨波長減小頻率增加,收發器長度對最大離散點數的影響更加明顯。

在文獻[16]提到的模型以及相關假設下,設置相同的條件,即K=1,收發器距離為1 m,連續收發器長度從1 m開始,以1 m為步進發生變化,波長分別為0.125,0.25,0.5 m,同樣將所得的最大離散點數與收發器間距進行線性擬合,結果如圖11所示。

(a) λ=0.125 m

(b) λ=0.25 m

(c) λ=0.5 m圖11 K=1時不同波長下,收發器長度對最大離散點數的影響Fig.11 Effect of transceiver length on the maximum number of discrete points at different wavelengths,K=1

由圖11可知,單用戶MIMO系統中收發器長度與最大離散點數仍然滿足線性關系,同時,在單用戶情況下,收發器長度對最大離散點數的影響隨波長減小而增加。

由結果分析得,無論是在單用戶還是多用戶情況,當僅考慮白噪聲場景時,在不同波長下,收發端長度與最大離散點之間近似成線性關系,且隨波長減小,收發器長度對最大離散點數的影響更加明顯。這對今后基于連續接收端分析互信息值相關模型中,尋找合適的最大離散點數具有參考作用。

4 結束語

本文考慮了多用戶XL-MIMO系統特性,將多用戶連續MIMO系統與單用戶連續MIMO系統、多用戶離散XL-MIMO系統進行比較,進而得到在不同噪聲情景下,多用戶XL-MIMO系統中,互信息同樣會隨著離散點數的增大而趨近于一個固定值。當噪聲的非白分量與白噪聲分量比值大于100時,連續接收端和互信息相比于傳統半波離散接收端有著明顯提升。在不同噪聲情景下,連續接收端相較于離散接收端的優勢會隨著用戶距離的減小更為明顯。仿真結果發現滿足互信息收斂的接收端最大離散點數與收發器長度具有明顯的線性關系,這種線性關系不受信號頻率、噪聲功率的影響。未來的工作可以考慮更一般的天線陣列形態及多用戶的隨機分布場景。