波浪能最大輸出功率設(shè)計(jì)

唐 良， 楊 潔

（懷化學(xué)院，湖南 懷化 418008）

1 問(wèn)題的提出

隨著全球經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，人類面臨能源需求和環(huán)境污染的雙重挑戰(zhàn)。針對(duì)這一形勢(shì)，世界各國(guó)將目光轉(zhuǎn)向海洋。海洋面積占地球表面積的四分之三，海洋能量豐富。波浪能作為重要的海洋可再生清潔能源，具有分布廣、存儲(chǔ)量大的優(yōu)點(diǎn)，只要是海洋，就可以通過(guò)合適的能量轉(zhuǎn)換裝置進(jìn)行波浪能捕獲。因此，提高波浪能裝置的能量轉(zhuǎn)換效率是波浪能規(guī)模化利用的關(guān)鍵問(wèn)題之一[1]。

波浪能發(fā)電裝置一般由3 級(jí)能量轉(zhuǎn)換環(huán)節(jié)構(gòu)成，第1 級(jí)，即波浪能俘獲環(huán)節(jié)，第2 級(jí)和第3 級(jí)能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)稱為能量輸出（Power Take Off，PTO）系統(tǒng)。

圖1為一種波浪能裝置示意圖，由浮子、振子、中軸以及PTO 系統(tǒng)（包括彈簧和阻尼器）構(gòu)成，在波浪的作用下，浮子運(yùn)動(dòng)并帶動(dòng)振子運(yùn)動(dòng)，通過(guò)兩者的相對(duì)運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)阻尼器做功。

圖1 波浪能裝置示意圖

第一，考慮浮子僅在波浪中做垂蕩運(yùn)動(dòng)，建立浮子與振子的運(yùn)動(dòng)模型。我們分別計(jì)算浮子和振子在波浪激勵(lì)力f·cos（ω·t）（f為波浪激勵(lì)力振幅，ω 為波浪頻率）作用下前40 個(gè)波浪（周期為0.2 s）的垂蕩位移和速度：1）直線阻尼器的阻尼系數(shù)為1.0×104N·s/m；2）直線阻尼器的阻尼系數(shù)與浮子和振子的相對(duì)速度絕對(duì)值的冪成正比，其中比例系數(shù)為1.0×104，冪指數(shù)為0.5。我們給出浮子和振子在10 s、20 s、40 s、60 s、100 s 時(shí)的垂蕩位移和速度。

第二，仍考慮浮子在波浪中只做垂蕩運(yùn)動(dòng)，分別對(duì)以下2 種情況建立確定直線阻尼器的最優(yōu)阻尼系數(shù)的數(shù)學(xué)模型，使得PTO 系統(tǒng)的平均輸出功率最大：1）阻尼系數(shù)為常量，阻尼系數(shù)在區(qū)間[0，1.0×105]內(nèi)取值；2）阻尼系數(shù)與浮子和振子的相對(duì)速度的絕對(duì)值的冪成正比，比例系數(shù)在區(qū)間[0，1.0×105]內(nèi)取值，冪指數(shù)在區(qū)間[0，1]內(nèi)取值。我們利用2022 年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽A 題附件3 提供的參數(shù)值（波浪頻率取2.2143 s-1）分別計(jì)算2 種情況的最大輸出功率及相應(yīng)的最優(yōu)阻尼系數(shù)。

我們假設(shè)流場(chǎng)內(nèi)海水是理想流體，無(wú)粘、無(wú)旋、不可壓縮，忽略中軸、底座、隔層及PTO 系統(tǒng)的質(zhì)量和各種摩擦，可以將問(wèn)題分為2 個(gè)部分完成：

1）我們首先利用牛頓第二定律，建立浮子與振子的運(yùn)動(dòng)模型，然后采用龍格-庫(kù)塔法和窮舉法并利用Matlab 編程求解模型得到浮子和振子的垂蕩位移和速度。

2）我們得到PTO 系統(tǒng)的平均輸出功率表達(dá)式后，再對(duì)直線阻尼系數(shù)的速度指數(shù)在[0，1]區(qū)間內(nèi)的平均輸出功率的影響進(jìn)行分析。

2 浮子與振子的運(yùn)動(dòng)模型

2.1 浮子與振子運(yùn)動(dòng)模型的建立

為了更好地研究浮子和振子的運(yùn)動(dòng)，我們建立直角坐標(biāo)系Oxyz：平面xoy和初始時(shí)刻靜水面重合，z軸沿中軸方向垂直xoy平面向上，x，y，z軸符合笛卡爾右手坐標(biāo)系原則。浮子在波浪作用下會(huì)產(chǎn)生6 個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)，包括關(guān)于x，y，z軸的3 個(gè)平動(dòng)和3 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)。其分別被定義為縱蕩、橫蕩、垂蕩、橫搖、縱搖和艏搖（見(jiàn)圖2）[2]。

圖2 坐標(biāo)系與6 個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)示意圖

波浪能裝置包括浮子體、振子（質(zhì)量塊）、中軸及PTO 系統(tǒng)（包括彈簧和阻尼器構(gòu)成），整個(gè)裝置自由漂浮在海面，其結(jié)構(gòu)如圖3 所示。

圖3 波浪能裝置結(jié)構(gòu)示意圖

中軸底座固定于隔層的中心位置，彈簧（k2）和直線阻尼器（C2）一端固定在振子（M2）上。在波浪的作用下，浮子體的位移通過(guò)彈簧傳遞為振子的位移，產(chǎn)生位移差驅(qū)動(dòng)阻尼器做功，并將所做的功作為能量輸出，它們構(gòu)成了一個(gè)雙自由度的受迫阻尼振動(dòng)系統(tǒng)[3]，等效物理模型圖如圖4 所示。

圖4 雙自由度的受迫阻尼振動(dòng)系統(tǒng)

由于初始時(shí)刻浮子和振子平衡于靜水中，浮子所受的靜浮力和重力相抵消，在做受力分析時(shí)可忽略這一對(duì)力。浮子在波浪激勵(lì)力f·cos（ω·t）作用下做垂蕩運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律，浮子-振子的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為

其中M1、M2分別表示浮子和振子的質(zhì)量，z1和z2表示浮子和振子相對(duì)其靜水平衡狀態(tài)的位移。運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下浮子所受的浮力可以等效為彈簧系數(shù)為k1的彈力。由于浮子圓錐殼體的高為0.8 m，圓柱殼體高為3 m，經(jīng)過(guò)初步估算可知，浮子的圓錐殼體始終位于水面以下，所以k1=ρgS=ρgπr2，浮子所受的等效浮力為F浮=k1z1。

海洋中移動(dòng)的漂浮物體，除了加速度成比例外，其還作用在水上，使水也得到加速度。由牛頓第三定律可知，水對(duì)浮體存在1 個(gè)反作用力，被稱為附加慣性力。附加慣性力和浮體的加速度成比例，其比例系數(shù)被稱為附加質(zhì)量。浮子受到的附加慣性力Fr=-δ1z¨1。浮子受到的興波阻尼力Fs=-c1z˙1。浮子受到的彈簧彈力F彈=k2（z2-z1）。浮子受到的直線阻尼器的阻尼力Fp=c2（z˙2-z˙1）。

2.2 浮子與振子運(yùn)動(dòng)模型的求解

2.2.1 算法分析

對(duì)于形如

的一階微分方程初值問(wèn)題，四階龍格-庫(kù)塔算法的遞推公式為

根據(jù)上述的遞推公式可求出x（1），x（2），…，x（N）。

由式（1）可解得z1的輻值Z1和z2的輻值Z2，則

其中

振子浮子位移差幅

我們引入以下符號(hào)，浮子體的阻尼比ξ1，直線阻尼器的阻尼比ξ2，質(zhì)量比μ，共振頻率γ，具體表達(dá)式如下：

則浮子、振子位移差幅可表達(dá)為：

其中

2.2.2 利用ODE45 算法求解模型

當(dāng)直線阻尼器系數(shù)為1.0×104N·s/m 時(shí)，我們利用Matlab ODE45 求解方程（1），圖5—6 為計(jì)算結(jié)果。

圖6 振子位移、速度與時(shí)間關(guān)系圖

表1 是10 s、20 s、40 s、60 s、100 s 時(shí)，浮子與振子的位移與速度。

表1 c1=1.0×104 N·s/m 時(shí)浮子、振子速度、位移表

表2 c1=1.0×104×|z˙1-z˙1|0.5 N·s/m 時(shí)浮子、振子速度、位移表

從計(jì)算結(jié)果可以看出，直線阻尼器阻尼系數(shù)的速度指數(shù)為0 和0.5 時(shí)，幾乎不改變浮子和振子的位移和速度的峰值。

3 平均輸出功率模型

3.1 平均輸出功率模型的建立

當(dāng)直線阻尼器的阻尼系數(shù)為常數(shù)時(shí)，根據(jù)問(wèn)題1，由式（12）可得直線阻尼器的平均輸出功率為

其中Λ2的取值見(jiàn)式（17）。

由P1的表達(dá)式可知，當(dāng)c2=0 時(shí)，直線阻尼器的平均輸出功率P1為0，隨著c2的增大，輸出功率P1穩(wěn)步增長(zhǎng)，但增長(zhǎng)速率逐漸減緩，直至趨于0。當(dāng)c2→∞時(shí)，輸出功率P1→0。

要通過(guò)得到最優(yōu)阻尼系數(shù)c2，從而獲得最大功率，則對(duì)式（17）求導(dǎo)可得

令

則c2滿足

因此可得最優(yōu)的c2為

此時(shí)，最大輸出功率為

3.2 平均輸出功率模型的求解

當(dāng)c2=c|z˙1-z˙1|αN·s/m 時(shí)，直線阻尼器的平均輸出功率為

我們通過(guò)改進(jìn)的RK4 算法得到如下結(jié)果（見(jiàn)圖7）。

圖7 P2 與α，c 關(guān)系圖

當(dāng)α=0.8，c=9.7×104時(shí)，最優(yōu)平均輸出功率=184.339W。

4 模型評(píng)價(jià)

本文對(duì)由浮子、振子、中軸以及PTO 系統(tǒng)構(gòu)成的波浪能轉(zhuǎn)換裝置進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，建立了雙自由度的浮子、振子垂蕩和縱搖運(yùn)動(dòng)方程。當(dāng)直線阻尼系數(shù)為常數(shù)時(shí)，基于微分方程理論，得到浮子、振子垂蕩運(yùn)動(dòng)位移解析表達(dá)式，以及浮子、振子在指定時(shí)刻的位移和速度。