基于T-S 模糊時滯系統的記憶反饋控制與分析

唐鵬奕

（懷化學院，湖南 懷化 418008）

T-S 模糊控制是一種有效的控制方法，其能很好地處理非線性系統問題。信號傳輸的延遲稱為時滯[1]，很多動力系統都有延遲[2]，這是不可能避免的，但要盡可能地降低這個延遲。產生時滯的主要原因是系統控制輸入和輸出之間的時間差導致系統處理信息的速度不匹配。[3]如網絡延遲和飛行器系統延遲就是常見的時滯問題。延遲的存在會導致系統不穩定，如系統混亂、性能變差等。因此，降低延遲同時保證運行的系統不出錯是當前面臨的挑戰之一。

在穩定性分析中，時滯通常被設定為常數或者非常數函數。根據時滯設定的不同，我們通常將時滯分為常時滯和時變時滯。時滯相關穩定性標準的基本目標是降低所獲得穩定性條件的保守性[4]，這極具挑戰性。在此類系統的控制中，控制器時常會出現時滯延遲的特性，我們把此類控制現象叫做有記憶輸出的控制[5]。在設計控制器時，輸出記憶時滯項對控制器的影響十分重要。

本研究首先分析T-S 模糊時滯系統的穩定性，其次將時滯項引入到控制器中，設計了一款記憶反饋控制器，最后給出卡車拖車的實例來驗證本方法的有效性。

1 模型描述與準備

在本文中，T-S 模糊時滯系統的第i 條規則為：

若θ1（t）對應Mi1，θ2（t）對應Mi2，……，θp（t）對應Mip，則

其中，x（t）∈Rn是系統的狀態，u（t）∈Rm表示系統的控制輸入，φ（t）表示的是系統狀態的初始條件，Ai、Adi和Bi都是適當維數的常數矩陣。

假設常數r是規則i的數量，Mij是模糊集，θ（t）=[θ1（t），θ2（t），…，θp（t）]是可測函數，則狀態方程為

其中

Nij（θ（t））是Mij的一組隸屬度函數。假設對于任意的θ（t）有

則

成立。

本文將設計一款帶有模糊記憶的狀態反饋控制器，假設模糊控制器與前面提到的模糊模型共享相同的模糊集，則第j個控制器的規則：

若θ1（t）對應Mj1，θ2（t）對應Mj2，……，θp（t）對應Mjp，則

其中K1j，K2j（j=1，2，…，r）代表可以建立的控制器增益。控制器（6）的去模糊輸出為

將控制輸入（7）代入方程（2）中，可得如下系統

引理1[6-7]給定正定矩陣R和一個可積函數{x（u）|u∈[a，b]}，則

成立.

引理2[8-9]對給定的對稱矩陣S11是r×r維的，以下3 個條件是等價的：

注：本文中*表示對稱矩陣相應的對稱元素。

2 T-S 模糊時滯系統穩定性分析與控制

定理1 對任意的τ＞0，若存在對稱正定矩陣Q，R，T，，使得

成立，則系統（8）是穩定的。其中

證明 選擇以下Lyapunov 函數

其中

顯然，V（t）是正定的。接下來對V（t）進行一階求導，可得

然后應用引理1，得到

進而

再次應用引理1，得到

從而

聯立式（8）、（16）和式（21）-（28），可得

應用引理2 和（10）式，可得

易得系統（8）是穩定的。

定理2 對任意的τ＞0，如果存在正定對稱矩陣Q，R，T，，以及矩陣Y1j和Y2j，使得

成立，則系統（8）是漸進穩定的。其中

在這種情況下，控制器（6）中的增益矩陣K1j，K2j接收為

矩陣不等式（31）左邊和右邊分別乘以矩陣ΓT和Γ，不等式依然成立，則可得到矩陣不等式（10），其中

根據定理1，可得系統（8）是穩定的，并且有

綜上所述，結果得證。

3 可行性驗證與仿真模擬

在本節中，我們將以卡車拖車模型為例，進行可行性驗證和仿真實驗模擬，以此來說明本文方法的可行性。

例1[10]考慮有時間延遲的卡車拖車系統如下：

其中，x1（t）為卡車車頭與拖車車廂的夾角差，x2（t）是拖車滑架的角度，x3（t）為拖車車廂后部與水平線之間的距離，u（t）是方向盤的角度或控制角度。

設定機車的長度l=2.8 m，車廂的長度L=5.5 m，采樣時間t=2.0 s，轉動慣量v=-1.0 kg·m2，初始時間t0=0.5 s，參數c=0.7。定義

規則1：當θ（t）為0 度時，有

其中

規則2：如果θ（t）為π 或者-π 時，有

其中

此外，a=10t0/π。倒車控制的目的是通過操縱控制輸入u（t）來控制x1（t）、x2（t）、x3（t）使之等于零，使卡車掛車沿所需曲線倒車。

首先，應用定理2，利用Matlab 的LMI 工具箱來獲得線性矩陣不等式的可行解，其中控制器增益矩陣為

其次，應用Matlab 的simulink 工具箱對卡車拖車模型進行仿真模擬實驗。我們將控制器的增益矩陣（43）、（44）輸入到仿真實驗的控制器模塊中。在仿真實驗的過程中，我們將系統的狀態x（t），以及控制輸入u（t）分別連接示波器，圖1 和圖2 即為2 個示波器顯示的圖像。圖1 和圖2 顯示系統最終達到了穩定的狀態，因此本文提出的方法具有可行性和有效性。

圖1 狀態x（t）軌跡圖

圖2 控制輸入u（t）軌跡圖

隨著計算機技術的不斷發展，時滯現象在各種實際系統中都不可規避，T-S 模糊模型是一種有效的控制手段，因此研究T-S 模糊時滯系統具有十分重要的意義和價值。本文主要進一步研究了模糊控制系統的漸進穩定性問題，對模型系統進行穩定性分析和控制。

首先，本文通過應用Jensen 不等式、Schur 補引理、線性矩陣不等式等工具，并運用Lyapunov穩定性理論，得到了1 組充分條件，這使得系統保持漸進穩定。其次，本文對充分條件進行線性化處理，得到1 組標準的并適用于Matlab 工具箱的線性矩陣不等式，并得到一組適當的控制器增益。最后，本文將得到的結論應用于實際生活中的卡車拖車模型，并利用Matlab 中LMI 工具箱和simulink 工具箱進行可行性分析和仿真實驗，結果顯示數據是具有可行性和有效性的。