關聯：指向深度學習的小學數學教學實踐
——以“正比例”教學為例

浙江杭州市錢塘區月雅河小學（310000） 魯 琪

“正比例”是小學數學六年級“比例”單元中的內容，具有抽象、復雜等特點，學生通過學習“正比例”，初步理解抽象思維和函數思想，為將來學習函數知識打下基礎。然而，學生在學習“正比例”的過程中，難免對概念認識不夠深刻，對核心內涵模糊不清，遇到變式容易誤判，解決問題時不能主動關聯比例思想等。基于學生認知、情感、思維、應用等發展狀況，筆者結合比例相關上下位知識、內容特點及教學方式分析，梳理影響“正比例”教學效果的因素，具體如下。

整體意識不強，孤立看待學習內容。課堂教學容易出現單獨化、碎片化狀態，導致學生覺得該內容突兀、難以理解，無法在同類情境下判斷兩個量是否成正比例，不能形成關于比例的學科整體觀念。

思維程度偏淺，未能深入理解本質。六年級學生的思維雖然以抽象邏輯思維為主，但這種思維程度還比較淺顯，仍與直觀經驗相關。因此，在學習“正比例”時，學生難以深入思考其內涵及意義，比如，為什么給出的數據只有幾組？為什么畫出的“正比例”的圖像是一條可以無限延長的射線？

應用意識淡薄，缺少聯系生活實踐。雖然“比例”在生活中無處不在，但是由于其在生活中的呈現方式多樣，加之學生的生活經驗相對有限，應用意識比較薄弱，導致他們認為比例知識只能用于解決數學問題，不能應用在其他領域。

在數學學習的過程中，聯系無處不在且形式多樣，包括內容層面、思想方法層面及數學知識的應用價值層面等。教學中應注重引導學生在不同層面進行關聯，實現深度學習，發展核心素養。

一、縱觀·中觀·微觀：體悟學習進階過程的內容關聯

數學教材中一個大概念被分割成多個小知識點，分布在不同學期、不同單元中。教師教學時要避免因單元及課時劃分等造成的知識斷層，應以整體視角看待學習素材，把新知識融入知識體系中。

1.溯源縱觀：學段視角解構

“數學是一門關系學。”這是張奠宙教授在《小學數學研究》一書中提出的。意思是，數學中不同的知識、方法、思想有著密切的聯系。通過梳理教材可以發現，與正比例相關的前置知識，在第二、三學段均有出現，具體內容見表1。

表1 第二、三學段“正比例”要素

由表1 可知，“正比例”并不是突然出現和單獨存在的。可以說，“正比例”是小學階段“除法”“分數”“比”等內容的升華。在教學時，整理概念目標和內容，明確邏輯關系，注重關聯性，引導學生建立新的概念與學過的數學概念的聯系，讓學生對新概念自然地擴展提升。

2.截面中觀：單元視角解析

數學知識具有系統性和連貫性，新知識通常是在舊知識的某一連接點上生長的。因此，對于“正比例”的教學應該立足于大單元視角，及時捕捉前置資源，提前滲透相關內容。

【案例1】

“比例”單元第一課時“比例的意義”引入大小不同的國旗。它們的長、寬不同，但都是標準的。為什么它們看起來大小不同，形狀卻完全一樣？通過這個問題引導學生從國旗的長、寬進行對比。經過計算，學生發現三面國旗的長、寬之比相等。

作為單元第一課，教材提供的例題是生活中常見的“正比例”知識的應用。雖然此時學生沒有正式學習“正比例”知識，但是在解決問題的過程中，需要利用已有經驗對相關的量進行充分對比。教師要引導學生感受比相等的內涵。比相等即比值相等，這是“正比例”的本質屬性。

3.落點微觀：課時視角解讀

具體到課時，教學重心無疑會放在“比值一定”這個本質特征上。對于小學生來說，這是他們第一次正式接觸變量，從固定的量到變化的量，從研究單一量到研究兩個相關的量，是學生數學思維一次重大的飛躍。

【案例2】

課始，教師展示學生一年級和六年級時的照片，讓學生觀察、對比照片中的自己，說說感受。大家的身高、年齡、體重等都發生了很大的變化。教師引導學生理解，像年齡、身高、體重、時間等這些不斷變化的量叫變量。

教師出示汽車行駛路程簡圖，引導學生找“路程”和“時間”這兩個變量，并請學生簡單描述這兩個變量。學生會用“隨著……也……”等關聯詞來表達路程和時間的關系。“路程”和“時間”這兩個量是有關系的，還會互相影響，這兩個變量叫相關聯的量。

用最常見的行程問題，讓學生交流并感受一個量變化，另一個量也隨之變化，從而清楚地認識“相關聯”，為理解“正比例”做好鋪墊。

二、過渡·遞進·交融：理解正比例概念建構的思想關聯

“正比例”概念是對現實生活數量關系的抽象概括，是數學抽象邏輯思維的產物。小學生思維以直觀形象思維為主，對高度概括、抽象的“正比例”概念的理解容易流于表面，達不到深度學習的效果。因此，教學時，應利用舊知識過渡、問題引領遞進、數形結合等方式建構概念。

1.舊知過渡

從數的角度出發，引導學生通過觀察數，找變化規律，并利用文字、算式、代數式等方式表達兩個變量之間的關系，達到理解概念的目的。

【案例3】

根據汽車加油的情境，讓學生描述“總價”和“加油量”的變化情況。學生從橫向觀察數據的變化情況，發現總價與加油量的變化情況相同，并且總價÷油量=6，也就是汽油的單價不變（如圖1）。

圖1

從表格中找規律是學生熟悉和擅長的。教師引領學生，不僅找“商相同”這個規律，也不忽視橫向上的規律，一個量增加，另一個量也隨之增加，學生充分感受橫向對比時兩個變量變化的關聯性和一致性，加強對兩個變量的關聯性的理解。

2.問題遞進

根據難點，教師設置不同梯度的問題。對內容、方法、思路、表達等方面的追問，讓學生的思維外顯，自然搭建知識學習梯度，避免了學生因被動學習而對概念理解不足的情況。

【案例4】

（1）如果加油量是80 升，在不計算的前提下，推測總價對應的點可能是哪一個？（如圖2）

圖2

（2）想象，如果這樣的點足夠多，會呈現怎么樣的圖？

借助有梯度的問題，提供良好的學習任務，幫助學生進入學習情境，激發學習動機，逐步完成“正比例”圖像的構建。

在早教方式上，線下課程是大多數年輕父母的首選，只有31%的父母接受線上課程。線上課程里，最受歡迎的是音樂課和語言課。一線城市偏愛語言課，特別是上海，比例高達93%；五線城市最愛音樂課，整體占比為80%。

3.數形交融

讓學生會用數學語言表達現實世界，是教學目標之一。學生在用數表征“正比例”概念時，初步感知量的連續變化，初步感受兩個變量的比值一定。在進行“形”的補充中，深挖圖像背后的意義。數與形兩種數學語言對比、交融，讓深度學習發生。

【案例5】

觀察圖像（如圖3），思考：這條線會拐彎嗎？圖中橫軸表示一個變量，縱軸表示另一個變量，不變的量在哪里？

圖3

此環節將數的表征和圖的表征進行對比和融合。結合多媒體動態的演示，學生發現兩個變量的比值反映在圖上是一個個點。隨著點的不斷增加，形成方向不變的直線。學生能清晰地感受到，隨著一種量增加，另一種量也在不斷增加，兩個變量比值對應的點所在的直線不斷向上延伸。學生經歷了直觀到抽象的過程，深刻理解了“正比例”和“比值一定”的本質屬性。

三、對比·結構·延伸：實現模擬社會實踐的價值關聯

深度學習讓學生形成自覺發展的核心素養，讓學生的成長從提高解答試題的能力轉向提高解決問題的能力。具體的知識作為解決問題的工具被探索、被發現的過程，就是實現深度學習的過程。

1.對比式溝通

判斷兩個變量是否成正比例，主要看這兩個量的比值是否一定。讓學生明確研究方向是兩個變量的比值。

【案例6】

學生通過辨析，得出圓周長和直徑的比值是一定的，因此兩者成正比例。正方形周長和邊長的比值是一定的，因此兩者成正比例。正方形面積與邊長的比值不是一定的，因此不成正比例。

此環節選取對比性較強的素材。因此，學生在對比、辨析中鞏固了“比值一定”這一概念核心。

2.生活化結構

學生在面對陌生、復雜的真實問題時，所表現出的能夠創造性地分析、較快形成解決思路、迅速進行決策、快速整合資源解決問題的可遷移素養是學科育人的追求。教學中，要及時激活鏈接，讓學生經歷知識的遷移。

【案例7】

有什么辦法可以測量出學校旗桿的高度呢？

學生想到旗桿旁邊的小樹和影子，通過計算小樹的實際高度和影長的比值，再測量旗桿的影長，進而求出旗桿的長度。

旗桿是學生熟悉的物體，知道直接測量旗桿高度的不便性，因此想到用正比例知識解題。學生分析問題，關聯知識，遷移應用等能力和素養，正是在解決問題的過程中逐步實現的，這就是深度學習的意義。

3.延伸性思考

學生提出問題、理解問題、解決問題及產生新問題的過程，就是獲得知識的過程，也是深度學習的過程。在真實的生活中，許多正比例關系只有在嚴格的條件限制中才能成立。

【案例8】

解決問題：在科學課上我們見過彈簧秤，如果把彈簧的長度與所掛砝碼的質量這兩種變量用圖表示，你覺得應該是怎樣的？進一步思考——這條線可以向一端無限延長嗎？

學生知道彈簧是有彈性的，可以得出在彈性限度內，所掛物體質量和彈簧拉伸長度成正比例關系。在教師的提醒下，延伸思考，不難得出：如果掛的物體太重，超過了彈簧的最大承受力，彈簧就不會再伸長了，因此表示彈簧的長度這條線也不會無限延長。

生活中很多數量變化往往在一定范圍內。在對上述現象的反思中，學生感受到數據變化的受限性。像這樣借助生活來理解數學知識，對學生多角度思考數學問題大有裨益，能促進學生形成求真、求實的思想品質。

通過學習內容基于整體視角的深度關聯，學生感受到數學學習之“根”；通過學習過程中基于數學思想的深度關聯，學生領悟到數學學習之“魂”；通過應用價值實踐探究的深度關聯，學生體會到數學學習之“利”。教師在數學教學中要以“深度關聯”為抓手，探索教學新樣態，讓深度學習自然發生。