周延理論難題及其解決方案

張燕京 李邢睿

1 周延理論中存在的難題

傳統邏輯學家曾建立了一套用以判定直言推理是否有效的規則。雖然這些規則為判定詞項邏輯中不涉及負詞項的推理提供了充分必要的條件，但當傳統邏輯學家在試圖將負詞項納入詞項邏輯理論時，這些規則就會產生一些不一致性。其中有些不一致性只需簡單地更改規則，如直接刪除“兩個否定命題無法得出結論”這條規則就可以得到相應地解決。但詞項邏輯面臨的真正難題在于，與周延理論有關的不一致性無法簡單地通過刪除規則得到解決。

周延理論以周延性概念為核心，傳統邏輯學家利用周延性概念和對A、E、I、O 四種命題的分析，確定了命題中詞項周延性的四條規定，即：全稱命題的主項周延；特稱命題的主項不周延；肯定命題的謂項不周延；否定命題的謂項周延，從而構成了傳統邏輯中的周延律的基礎。周延律一般由兩條規則組成：（1）在前提中不周延的項在結論中也不得周延；（2）三段論的中項在前提中至少周延一次。雖然霍奇斯（W.Hodges）（[8]）、劉新文（[25]）等人從語義的角度論證了周延律的正確性，但他們都不允許三段論中的詞項與其負詞項同時出現。事實上，周延律僅在亞里士多德邏輯中有效，一旦傳統邏輯試圖接納亞氏邏輯不認可的負詞項，例如承認了換質法的合法性，就會使得周延律與這種詞項邏輯產生不一致性。而這種與周延理論有關的不一致性之所以能夠成為詞項邏輯面臨的真正難題，是因為一旦將詞項的周延性界定為“命題是否斷定了詞項的全部外延”，那么詞項邏輯就不允許結論斷定的內容比前提多，這就使得規則（1）成為了有效推理必須遵守的無法被刪除的規則。是一個著名的“難題”（[24]），該推理的每一步都是有效的，但前提中作為肯定命題謂項的不周延的P，在結論中作為否定命題的謂項卻周延了，從而違反了規則（1）。學界對這個難題的解決存在爭議，但一般都認為這個難題是由于這個涉及由全稱命題推出特稱命題的環節出現了問題。

在現代經典一階邏輯的觀點下，特稱命題的主聯結詞是一個存在量詞，斷定了命題中詞項的存在從而使命題具有了“存在含義”（existential import），但全稱命題并沒有斷定其中詞項的存在。所以有觀點認為，如果的前提沒有這種“存在含義”，那么演繹邏輯的特點不會使其得出有“存在含義”的結論，因此，原推理由一個違反周延律的有效推理變為了一個違反周延律的無效推理。這種方案可以直接消解傳統邏輯中的難題，但即使是這種方案的支持者也認為該方案需要付出很大的代價（[24]），因為傳統邏輯中凡是涉及由全稱前提推出特稱結論的推理的有效性都失去了保證。與之相反，學界更加接受的方案是在的前提中增加“存在含義”。凱恩斯（J.N.Keynes）（[10]，第137-140 頁）較早地明確指出了周延理論中的難題并給出了解決方案。凱恩斯認為，傳統邏輯假設了命題中詞項的外延是存在的，即S、P、、都不是空詞項。所以在構成難題的前提中其實還假設了一個形如“有的x 不是P”的命題，該命題用以描述“存在”，即不是P 的東西，因此結論中P 的周延性實際上就來源于該假設中P 的周延性，但凱恩斯自己也承認其方案并沒有完美地解決傳統邏輯中存在的問題。增加存在含義后，該推理的實質為由“所有是”和“存在”推出“存在是”，此時傳統邏輯面臨的問題就轉移為了如何讓解釋為由“所有是”和“存在”推出“存在是”，而這個問題的關鍵在于如何處理“存在”。

有學者指出，在這種預設直言命題的主項非空的方案下，為了進一步保證詞項邏輯中的其他推理的有效性，還需要預設直言命題的謂項、主項的相反詞項和謂項的相反詞項也都非空。（[24]）因此這種方案實際上是認為直言命題中的詞項必須是非空非全的，這種方案可以使所有傳統邏輯的推理變得有效同時在一定程度上消解不一致性。在語義的觀點下，這種非空預設的要求實際上就是對形式系統的語義做了規定，使得在對直言命題中的詞項進行解釋時，詞項只能代入為非空詞項。這就導致相對于沒有預設命題主項非空的現代經典一階邏輯1現代經典一階邏輯雖預設個體域非空，但并不預設命題主項非空。，刻畫傳統詞項邏輯的形式系統在處理空詞項時具有一定的局限性。不僅傳統邏輯學家認為周延性是語義層面的問題，現代邏輯學家也指出一個詞項的周延性取決于該詞項出現的正負性，而正負性反映的是命題在語義方面的某種單調性（[25]），因此傳統詞項邏輯中與周延性有關的不一致性，也可以視為其在語義層面具有的不一致性。

在詞項非空預設下的傳統邏輯不僅在語義方面具有一定的局限性，而且與周延理論的不一致性并沒有被完全消除。以A 命題為例，如果規定SAP 中的P 是非全詞項，即是非空詞項，那么就意味著“存在”，即“存在x 是”，因此就得到了“存在x 不是P”，但此時SAP 中的P 就根據周延理論而成為了一個周延的詞項。在這種情況下，關于否定命題謂項周延的規定會使得肯定命題的謂項也變得周延了，而這與傳統邏輯中肯定命題謂項不周延的規定相沖突。實際上對于任何一個命題，如果其中的某個詞項X 是非空的，即“存在x 是X”，運用傳統邏輯的換質法就可以得出“存在x 不是”，此時如果接受傳統邏輯關于否定命題謂項周延性的規定，那么命題中的就是周延的。這意味著對于任何一個詞項，如果該詞項不是全詞項即其負詞項非空，那么該詞項就是周延的。因此如果直言命題中的所有詞項及其負詞項都是非空詞項，那么就會導致在直言命題中的任何詞項與該詞項的負詞項都是周延的，在這種意義下的傳統邏輯中就沒有了不周延的詞項。而如果所有詞項都周延，那么與周延性有關的規則，例如“前提中不周延的詞項在結論中不得周延”就都失去了意義，因為所有傳統邏輯的推理中都不會出現前提中不周延的詞項了。

總之，在詞項邏輯中與周延理論有關的不一致性，是詞項邏輯有待解決且必須解決的難題。這些不一致性是由于傳統邏輯學家雖然引入了負詞項與涉及負詞項的相關推理，但并沒有對周延理論作出相應地修改導致的。甚至傳統邏輯學家在三段論理論中又再一次取消了負詞項的合法地位，這導致傳統詞項邏輯僅承認256 個不含有負詞項的三段論，從而再次回退到了亞氏三段論邏輯。在對詞項邏輯進行擴展時需要重新研究并完善周延理論，分析如何解釋周延性的概念并在此基礎上建立一套判定接納負詞項的推理是否有效的規則，從而依據判定規則得出接納負詞項的詞項邏輯中共有多少三段論以及其中哪些三段論是有效的。

2 兩類可行的周延理論難題解決路徑

對周延理論難題解決方案的研究存在兩條路徑：要么在保留周延性概念的內涵的前提下修改對命題中詞項周延性的四條規定，要么從根源上修改或直接拋棄周延性概念的內涵而單純研究判定推理有效性的規則。

2.1 保留周延性傳統內涵的路徑

在保留周延性概念關于“斷定詞項全部外延”的內涵的前提下修改命題中詞項周延性的四條規定的解決路徑，以米勒（J.W.Miller）（[13]）提出的觀點為代表。米勒在分析傳統邏輯中的難題時指出，傳統邏輯中與周延性有關的不一致都與以下三個因素相關：（1）各種推理有效性的規定；（2）“前提中不周延的項在結論中不得周延”的規定；（3）命題中詞項周延性的四條規定。如果放棄（1），那么就必須認為負詞項不能被適用于傳統邏輯，這是一種極端措施。如果放棄（2），那么會更加遺憾，因為這條體現了演繹邏輯特點的規定在傳統邏輯中起著基本的作用。米勒的觀點與國內一些學者（[24]）的觀點類似，不同之處在于，米勒認為（3）可以被取而代之的同時不對傳統邏輯產生任何損害。

傳統邏輯認為，命題中的詞項是指命題的主項和謂項。米勒認為，當接納了負詞項后，傳統邏輯中命題的詞項應該包括命題的主項、謂項、負主項、負謂項。在此基礎上，SAP 意味著“所有S 是P”并且“所有是”，因此人們自然會認可S 與在SAP 中是周延的。但是，如果接受傳統邏輯中全稱命題推出特稱命題的推理形式，那么：（1）“所有S 是P”還意味著“一些P 是S”，即“一些P 不是”，因此作為否定命題的謂項也周延了；（2）“所有是”還意味著“一些是”，即“一些不是P”，因此P 也周延了。這種情況下得出了關于命題中詞項周延性的另一套規定：A 命題的主項、謂項、負主項、負謂項都周延，E 命題的主項、謂項、負主項、負謂項都周延，I 的負主項和負謂項周延，O 的負主項和謂項周延。如果接受了這樣的規定，傳統邏輯就不會產生“前提不周延而結論周延”的難題，因為這種規定把難題中推出特稱結論的全稱前提中的不周延的詞項都變為了周延的，因此結論中周延的項在前提中卻不周延的情況就被排除了。

雖然采取這種新的規定可以解決難題，但會導致全稱命題中的四個詞項全都周延，損害了周延性概念的特殊效用，不符合人們對命題中詞項周延性的一般理解，并且與普遍接受的詞項與負詞項的周延性相反的觀點相矛盾。因此米勒對全稱命題中詞項的周延性進一步細分為了強周延和弱周延：命題中某詞項是強周延的，當且僅當該命題斷定了這個詞項的全部外延被排除在該命題中的其他某個詞項的全部外延之外；命題中某詞項是弱周延的，當且僅當該命題斷定了這個詞項的全部外延被排除在該命題中的其他某個詞項的部分外延之外。根據定義可以得到下表：

國內也有學者對周延性進行了進一步細分，如郭世銘（[23]）認為，以往邏輯教材對周延性所下的定義不夠明確并且將兩種不同程度的周延性混為一談，因為O 命題只是斷定謂項P 的全部外延都被排除在一個不確定的范圍之外，O 命題謂項的這種（弱）周延性顯然與A 命題主項的（強）周延性不同。沿著郭世銘的思路，可以得到與米勒一致的詞項周延性的結果，并且二者的觀點在一定程度上也符合吉奇（P.T.Geach）（[7]，第37-39 頁）對O 命題謂項周延性的質疑。但郭世銘認為，傳統邏輯難以有一個統一的、普遍適用的規則，所以并沒有像米勒一樣在新的周延性劃分的基礎上建立起一套判定傳統邏輯推理有效性的規則。王路（[26]，第103-105 頁）充分肯定了郭世銘關于傳統邏輯混淆了兩種不同程度的周延性的觀點，認為根據傳統邏輯關于周延性的定義可以保證一部分推理的有效性，但是無法保證全部推理的有效性，即無法從整體上保證“必然地得出”。米勒也曾指出，建立三段論的規則僅從周延性的角度考慮命題并不充分，還要對命題質的方面進行研究。

在傳統邏輯中，不論命題中的詞項是否為負詞項，只要聯項是否定的，那么命題的質就是否定的。米勒雖然保留了這種命題質的方面的規定，將命題在形式上的質稱為技術肯定（technically affirmative）和技術否定（technically negative）。但他進一步指出，由于形式上不同的肯定命題“S 是”和否定命題“S 不是P”在邏輯上表達的涵義是相同的，因此需要進一步從涵義的層面界定命題的質。米勒（[13]）指出，命題中的技術否定元素和明確出現在命題形式中的負詞項為命題中的否定性元素，并根據命題中否定性元素的數量定義了命題在涵義上的質（qualityin-sense）：一個命題是涵義否定的（negative-in-sense），當且僅當該命題包含奇數個否定性元素；一個命題是涵義肯定的（affirmative-in-sense），當且僅當該命題包含偶數個否定性元素。例如A是涵義肯定的，因為有兩個否定性元素；SAP 是涵義否定的，因為有一個否定性元素。

基于對詞項強弱周延性的劃分和對命題在涵義上的質的界定，米勒制定了一套新的接納負詞項的檢驗直接推理的規則：

1.如果結論是涵義肯定的，那么前提必須是涵義肯定的；如果結論是涵義否定的，那么前提必須是涵義否定的。

2.如果結論是全稱的，那么結論中強周延的詞項必須在前提中強周延；如果結論是特稱的，那么結論中周延的詞項必須在前提中周延。

（[13]，第108-109 頁）

米勒進一步將多個命題在涵義上的質定義為涵義共同否定（together-negativein-sense）和涵義共同肯定（together-affirmative-in-sense）。涵義共同否定是指，多個命題中共包含奇數個否定元素。涵義共同肯定是指，多個命題中共包含偶數個否定元素。基于詞項強弱周延性的劃分與對多個命題在涵義上的質的界定，米勒制定了一套新的接納負詞項的檢驗三段論的規則：

1.如果結論是涵義肯定的，那么前提必須是涵義共同肯定的；如果結論是涵義否定的，那么前提必須是涵義共同否定的。

2.如果結論是全稱的，那么結論中強周延的項必須在前提中強周延；如果結論是特稱的，那么結論中周延的必須在前提中周延，并且至少一個結論中周延的項在前提中強周延。

（[13]，第111 頁）

這兩套規則可以判定傳統邏輯中所有涉及負詞項的直接推理和三段論的有效性，有趣的是，通過觀察可以發現判定直接推理和三段論推理時各需要兩條規則，而這兩條規則之間存在著一一對應的內在聯系，并且判定三段論的有效性時不需要與中項有關的規則。值得注意的是，在新的周延性的規定中強周延的一定是弱周延的，因此所有周延的都是弱周延的，但弱周延與周延之間的區別并不重要，因為米勒建立的規則僅僅需要明確周延與不周延之間、強周延與不周延之間的差異。

2.2 刪除或修改周延性傳統內涵的路徑

與傳統路徑不同，現代學者往往選擇保留傳統邏輯對命題中詞項周延性的四條規定，并在此基礎上建立判定傳統邏輯中推理有效性的規則。但正如米勒、吉奇等人所分析的，傳統的周延性概念與詞項周延性的四條規定之間存在著明顯的沖突，因此為了保留詞項周延性的四條規定，只能修改或拋棄周延性概念中關于“斷定命題中詞項的全部外延”的內涵，使得對詞項周延性的四條規定并不是依據是否“斷定命題中詞項的全部外延”而得到的，從而避免了因周延性而產生的一系列的爭論。正如帕森斯（T.Parsons）（[14]）指出的，一旦明確了一個詞項是否周延后就很容易應用周延規則，如果人們所關心的只是一個機械的測試，而不需要理解其中的原理，那么我們甚至可以通過列舉來指定一個詞項是否周延。因此在這種單純研究判定推理有效性方法的目的下，只要能夠利用詞項周延性的四條規定成功建立起判定有效性的規則，那么，這四條規定不論是根據詞項的正負出現（[8]）或單調性（[5]）得到的，還是被直接作為某種規定（[20]）而給出的，都并不重要。

威廉姆森（C.Williamson）（[20]）指出，學習命題邏輯的學生有兩種測試推理有效性的方法：一種是構造真值表，另一種涉及演繹技術。在盧卡西維茨（J.Lukasiewicz）（[11]）等人的努力下，傳統邏輯的公理化處理已經得到了廣泛發展，但傳統邏輯還沒有為測試推理的有效性提供一種成熟的類似于命題邏輯真值表法的簡單的判定技術，傳統邏輯有史以來最接近于這種簡單的判定技術的是周延理論。威廉姆森為了模仿命題邏輯基于真值的真值表法，將命題中詞項的周延性稱為周延值（distribution-values）并直接沿用了傳統邏輯對命題中詞項周延性所作的規定：如果一個詞項是周延的，那么該詞項的周延值是1，否則該詞項的周延值是0；全稱命題的主項和否定命題的謂項的周延值是1，其余項的周延值為0。威廉姆森采用了盧卡西維茨對命題的表示方法，指出盧卡西維茨的命題否定算子“N”的作用是將一個命題中所有詞項的周延值進行反轉，例如將O 命題與其中詞項的周延值表示為“Oab：a=0，b=1”，增加“N”后可以得到“NOab：a=1，b=0”，并隨時可以替換為與其等值的“Aab：a=1，b=0”。為了將盧卡西維茨（[11]）放棄的負詞項統一于理論中，威廉姆森（[20]）又增加了詞項否定算子“n”，作用是將一個詞項的周延值進行反轉，如“Oanb：a=0，b=0”。但需要注意，負詞項“nb”只是在一個詞項“b”面前加了一個詞項否定算子“n”，而不是產生了一個新的詞項，所以一個命題中只存在兩個詞項而不是四個詞項。因此，由一個命題推出一個命題的直接推理中應該只有兩個詞項；由兩個命題推出一個命題的三段論推理中應該只有三個詞項，只在前提中出現的詞項稱為中項，剩下兩個稱為端項。根據這種理論，三段論中某詞項與其負詞項的同時存在，并不意味著傳統理論中所謂的“四詞項”錯誤的產生。

為了利用詞項的周延值來判定推理的有效性，威廉姆森定義了“單值”與“雙值”的詞項：一個推理中的某詞項是單值的，當且僅當在推理中該詞項的周延值不發生改變；一個推理中的某詞項是雙值的，當且僅當在推理中該詞項的周延值發生了改變。例如在“Aab→Iab”這個推理中，a 是雙值的因為其周延值由1 變為了0，b 是單值的因為其周延值一直保持為1。

周延理論中的難題涉及了從全稱命題推出特稱命題的過程，因此威廉姆森將從一個全稱命題到一個特稱命題的推理稱為下降型（reductive）推理，使其與從一個全稱命題得到一個全稱命題或從一個特稱命題得到一個特稱命題的非下降型（non-reductive）推理區分開來2這兩類推理涵蓋了傳統邏輯中全部有效的直接推理。。當在詞項邏輯中引入負詞項時，舊的周延律無法適用于下降型推理，甚至為非下降型推理也只能提供必要但不充分的條件。因此，威廉姆森基于其周延值理論制定了一套檢驗接納了負詞項的直接推理的新規則：

1.非下降型直接推理是有效的，當且僅當，推理中的兩個詞項都是單值的。

2.下降型直接推理是有效的，當且僅當，推理中有且只有一個詞項是單值的。

（[20]，第738 頁）

類似地，威廉姆森將傳統邏輯學家所謂的基本三段論（三個命題都是全稱的或一個作為前提的命題是全稱的而另外兩個命題是特稱的）稱為非下降型三段論，而將由兩個全稱命題得出一個特稱命題的三段論稱為下降型三段論，從而制定了一套檢驗三段論有效性的新規則：

1.非下降型三段論是有效的，當且僅當，推理中的所有端項是單值的而中項是雙值的。

2.下降型三段論是有效的，當且僅當，或者（a）推理中有且只有一個端項是單值的（即中項和另一個端項雙值），或者（b）推理中所有項都是單值的。

（[20]，第746 頁）

其中規則2 之所以分為（a）和（b）兩種情況，是因為得出特稱命題作為結論的下降型三段論可以被進一步劃分為兩種性質不同的三段論：一些三段論本可以得出全稱命題作為結論，而另一些只能得出特稱命題作為結論。前者已經被傳統邏輯學家稱為弱化的（weakened）三段論，因此后者可以簡單地被稱為非弱化的（non-weakened）三段論，為了與非下降型三段論相區分，這兩類下降型三段論也可以稱為下降型弱化（reductive weakened）三段論和下降型非弱化（reductive non-weakened）三段論。2（a）和2（b）不僅恰好分別對應了這兩類三段論有效的充分必要條件，而且解釋了傳統邏輯中存在不一致的具體原因。

2（a）解釋了一些有效的三段論（如“Aba∧Acb→Inanc”）與傳統邏輯中“前提中不周延的詞項在結論中也不得周延”這一規則相矛盾的原因。因為這類下降型弱化三段論有效的充分必要條件為：“有且只有一個端項的周延值不能發生改變”，因此有一個端項的周延值需要發生改變，但并沒有要求該詞項的周延值是由1 變為0 還是由0 變為1，這意味著這類三段論的詞項是可以在前提中不周延而在結論中周延的。

2（b）解釋了一些有效的三段論（如“Aba∧Acb→Oanc”）與傳統邏輯中“中項至少周延一次”這一規則相矛盾的原因。因為這類下降型非弱化三段論有效的充分必要條件僅是：“所有詞項的周延值不能發生改變”，但并沒有要求詞項的周延值是1 還是0，因此這類三段論的中項可以兩次都是0 即一次也不周延。

威廉姆森（[20]）與米勒（[13]）雖然以不同的方式建立了檢驗接納負詞項的詞項邏輯推理有效性的規則，并解決了傳統邏輯中存在的難題，但卻同樣為直接推理與三段論分別制定了兩套雖有聯系但并不相同的判定規則。正如科雷亞（M.Correia）（[6]）指出的，傳統邏輯學家雖然試圖接納負詞項，但在教學的過程中卻將傳統邏輯分為了沒有一個共同理論框架的不同分支。因此阿爾瓦雷斯（E.Alvarez）與科雷亞（[2]）試圖找出接納負詞項后的傳統邏輯的各個推理理論之間是否存在共同需要遵守的公理或公理集。

阿爾瓦雷斯（[1]）指出，命題的量（propositional quantity）和詞項的量（quantity of the terms）是一個命題的內在性質，二者都可以被進一步劃分為普遍的（universal）或特殊的（particular）。同威廉姆森（[20]）一樣，阿爾瓦雷斯與科雷亞（[2]）沿用了傳統邏輯中詞項周延性的四條規定3阿爾瓦雷斯與科雷亞并沒有采用“周延”這一術語，為了表述上的統一，本文在表述時將繼續沿用以往的術語，將命題的量稱為全稱或特稱，將詞項的量稱為周延或不周延。，將以往教科書中判定推理有效性的經典規則進行了整合，并重構為了三條公理：

? 數量公理（Axiom of Quantity）：否定命題的謂項是周延的，肯定命題的謂項是不周延的。

? 特稱公理（Axiom of Particularity）：三段論的結論是特稱的，當且僅當，一個前提是特稱的；僅以兩個特稱命題作為前提無法有效地得出結論。

? 聯合公理（Axiom of Linkage）：結論中兩個詞項的周延性必須與前提中保持一致，兩個前提中共同的詞項的周延性必須發生改變。

這三條公理為判定接納了負詞項的三段論的有效性提供了充分必要的條件，但與威廉姆森和米勒的方案不同，這里的有效三段論是指更符合現代邏輯觀點的嚴格有效的三段論，因為阿爾瓦雷斯與科雷亞認為，涉及存在預設問題的三段論是非嚴格有效的，而不是嚴格有效的三段論。命題是否預設了詞項存在的問題，關系到傳統邏輯中由全稱命題推出特稱命題的推理的有效性。阿爾瓦雷斯與科雷亞在現代邏輯的觀點下認為，A 與E 命題沒有存在含義，當推理需要沒有存在含義的詞項存在時，那么應該增加前提，用以表明該存在性不明確的詞項確實是存在的。因此如果詞項x 產生了存在預設問題，那么應該假設“存在x”也是該推理的一個前提。又因為該前提是特稱的，那么根據特稱公理，該三段論的結論必須也是特稱的。

阿爾瓦雷斯與科雷亞通過描述存在預設問題，定義了嚴格和非嚴格有效的三段論，使得其建立的公理集也可以適用于涉及存在預設問題的非嚴格有效的三段論。因為僅僅從全稱命題推出特稱命題時會導致存在預設問題的產生，此時如果推理中有且只有一個詞項x 違反了聯合公理，那么此推理中涉及存在預設問題的詞項就是詞項x。4如果中詞或其負詞項有存在預設問題，那么該詞項在兩個前提中都是周延的或不周延的（該詞項的量在前提中是相同的）；如果端詞或其負詞項有存在預設問題，那么該詞項在前提中周延/不周延，卻在結論中不周延/周延（該詞項的量在前提與結論中不同）。在這種情況下，通過增加前提“存在x”就可以使得x 并不違反聯合公理，因此阿爾瓦雷斯與科雷亞通過描述存在預設問題，使得其建立的公理集可以判定所有嚴格和非嚴格有效的三段論。事實上，這三個公理不僅可以使整個傳統邏輯形成一個統一的理論，而且對其他形式系統也具有適用性。研究表明，這三個公理可以自然地應用于一些簡單的命題邏輯的推理，并提供一種分析任意命題邏輯推理有效性的框架。由此阿爾瓦雷斯與隆施特拉斯(T.Lungenstrass)提出了pouch method，該方法雖然效率較低，但是可以很有趣地替代命題邏輯中測試有效性的真值表法。（[3]）

刪除或修改周延性概念的內涵以保留命題中詞項周延性的四條規定的解決方案，不僅可以與現代邏輯的研究成果相結合，而且可以進一步判定出接納負詞項的全部有效三段論，這種解決方案體現著現代周延理論最前沿的發展趨勢。

3 現代周延理論與現代量詞理論的結合

梅金森(D.Makinson)（[12]）指出，周延性這一概念雖然受到了吉奇等人的猛烈批判，但它也可以被刻畫得非常精確和有意義。在現代邏輯的觀點下，A、E、I、O 四種命題往往參照羅素的方法被表示為：?x(Sx→Px)、?x(Sx→?Px)、?x(Sx ∧Px)、?x(Sx ∧?Px)，但這種表示方法難以與傳統邏輯中的周延性產生聯系。因此梅金森提出了另外一種表示方法：

基于這種表示方法，梅金森給出了關于詞項周延性的一個更加嚴格的定義：

在這種形式的命題中，處于某詞項之下的變量如果被全稱量詞所約束，那么該詞項是周延的；如果被存在量詞所約束，那么就是不周延的。

（[12]，第104 頁）

由于詞項邏輯中所有命題和推理形式都能得到現代邏輯的刻畫，所以存在著在現代邏輯中作出詞項周延性的嚴格形式定義的可能性。我國學者陳慕澤（[22]）采用一階邏輯的方式為詞項的周延性給出了一個形式定義，并基于周延性的定義證明了四種命題中各詞項的周延性。有趣的是，陳慕澤在描述O 命題謂項的周延性時，運用了被其稱為萊布尼茲律的“?x(Sx∧?Px)??y(Py→?x())”，而這恰好與梅金森（[12]）對周延性的刻畫方式相一致。

梅金森認為，雖然周延性被用于制定判定有效推理的規則，但制定的判定規則的適用性似乎僅局限于傳統邏輯中的特殊推理形式，因為這些規則難以處理很多一階邏輯中的推理。以很簡單的有效推理“?x(Sx ∧Px)→?x(Sx→Px)”為例，該推理前提中不周延的S 在結論中就周延了。顯然這種對周延性的刻畫方法過度依賴于量詞的作用。蘭伯特（Lambert of Auxerre）（[19]，第141 頁）指出，雖然使詞項周延的不是特稱量詞而是全稱量詞，但不僅全稱量詞具有使詞項周延的能力，否定符號也具有這種能力，尤其是在一個詞項前增加否定符號可以直接改變這個詞項的周延性。

因此有學者選擇從否定符號的角度研究詞項的周延性，認為詞項的正負出現取決于否定符號的作用，進而將詞項的不周延和周延定義為詞項的正負出現。霍奇斯（[8]）與威廉姆森討論后展示了這種方式。霍奇斯認為，雖然在任意一個一階語句中定義詞項的正負出現是比較復雜的，但利用任意一個一階語句都存在與其等值的而“→”和“?”不在其中出現的一階語句的這個事實，就可以使人們較為容易地定義詞項的正負出現：

在一個其中從不出現“→”和“?”符號的一階句子φ中，如果一個詞項X出現在偶數個否定符號的作用范圍內，則稱它在φ中正出現；如果X 出現在奇數個否定符號的作用范圍內，則稱它在φ中負出現。在有了正負出現的定義之后，就可以定義詞項的周延性：

如果一個詞項X 在一個直言命題φ中出現并且存在一個與φ等值的一階語句φ′，在φ′中X 沒有正出現，那么X 在φ中是周延的。類似地，如果將定義中的“正出現”換成“負出現”，則X 在φ中是不周延的。

以直言命題“所有S 都是P”為例，一階邏輯一般將其表示為“?x(Sx→Px)”，但由于其中出現了“→”符號，導致需要將其轉化為與其等值的一階語句“?x(?Sx ∨Px)”，此時根據正負出現的定義，就可以直接得出S 是負出現的即周延的，并且P 是正出現的即不周延的。5如果僅看“?x(Sx→P x)”，就會使得其中S 似乎為正出現的。

現代邏輯學家以經典量詞理論刻畫了周延性之后，進一步發現詞項的正負出現與廣義量詞理論有著密切的聯系。單調性（Monotonicity）是廣義量詞最重要的語義性質，量詞Q是向上單調的，當且僅當對于論域內的x、y，如果x ?y，那么Q(x)蘊涵Q(y)。廣義量詞理論的這種思想來源于經典量詞理論之父弗雷格（G.Frege）。弗雷格借用數學中的函數作為其邏輯分析的出發點，指出函數的本質是它們的不飽和性。當一個含有空位的函數“f()”被自變元補充完整時，就會產生一個函數值。弗雷格將函數值為真值的函數作為研究對象，用于分析改變句子的成分卻不會使句子的真值發生改變的各種情況。（[27]）廣義量詞理論遵循了弗雷格的函數-自變元理論的研究方法，又借用了數學中的函數單調性的概念。在數學中一個函數f()是單調向上的，當且僅當，對于論域內的x、y，如果x ＜y，那么f(x)＜f(y)。類似地就可以定義弗雷格在邏輯研究中關注的函數值為真值的函數的單調性。邏輯中的函數f()是單調向上的，當且僅當，對于論域內的x、y，如果x ?y，那么f(x)蘊涵f(y)，即以y替換f(x)中的x時，f(y)的值相對于f(x)不會由真變為假。在各種廣義量詞中被研究得最為充分的量詞是<1，1>類型的廣義量詞，<1，1>類型量詞具有四種比較常見的單調性：

? 一個<1，1>類型量詞Q是右單調遞增的（Mon↑），當且僅當，在論域E中，如果B ?C ?E，那么QE(A,B)蘊涵QE(A,C)。

? 一個<1，1>類型量詞Q是右單調遞減的（Mon↓），當且僅當，在論域E中，如果C ?B ?E，那么QE(A,B)蘊涵QE(A,C)。

? 一個<1，1>類型量詞Q是左單調遞增的（↑Mon），當且僅當，在論域E中，如果A ?C ?E，那么QE(A,B)蘊涵QE(C,B)。

? 一個<1，1>類型量詞Q是左單調遞增的（↓Mon），當且僅當，在論域E中，如果C ?A ?E，那么QE(A,B)蘊涵QE(C,B)。

現代邏輯往往將傳統邏輯中的四種命題處理為A、E、I、O 四個邏輯常項對兩個詞項變項的邏輯聯結，而廣義量詞理論中的<1，1>類型量詞恰好可以表示兩個論元各自代表的集合間的二元關系，因此A、E、I、O 這四個邏輯常項實際上就可以視為廣義量詞理論中的四個<1，1>類型的被稱為亞氏量詞的廣義量詞。需要注意的是，廣義量詞理論在分析直言命題時遵循了亞里士多德的方法，將后來傳統邏輯中的“聯項”對命題起到的作用重新移入回了“量項”中，使得四種命題在形式上僅存在量詞上的不同，此時四種直言命題的廣義量詞形式以及其標準集合論解釋就為（[15]，第28 頁）：

雖然沒有了對“聯項”的否定，但廣義量詞理論依然可以借用對當方陣來直接描繪四種亞氏量詞之間存在著的外否定關系（?Q）、內否定關系（Q?）和對偶否定關系（Qd,Qd=?(Q?)=?Q）。（[15]，第132 頁）更重要的是一個<1，1>類型的量詞可以同時體現出兩種單調性，范本特姆（J.van Benthem）認為所有這些都體現在由四種亞氏量詞組成的以下對當方陣中（[4]）：

顯然，傳統邏輯中詞項的周延性與廣義量詞的單調性之間呈現出了高度的一致，以詞項的正負出現定義詞項周延性的方式也可以直接定義單調性：如果X 在φ中沒有正出現，那么它在φ中是向下單調的；如果X 在中沒有負出現，那么它在φ中是向上單調的（[8]）。也因此范本特姆（[5]，第111-112 頁）參考了薩默斯（F.Sommers）等人的思想后，指出通常被認為是現代邏輯的發現的單調性這個概念，實際上正是傳統邏輯中三段論的核心。因為某個表達式的向下單調性恰好對應了傳統邏輯學家口中的詞項的周延出現，而向上單調性正反映了傳統邏輯中的Dictum de Omni即“Whatever is true of every X is true of what is X”，以現代邏輯的術語來說就是：如果所有X 都是Y，并且在一些陳述X 的語句“...X...”中X 處于單調向上的位置，那么就有關于Y 的同樣的陳述“...Y...”。后來薩默斯又給出了Dictum de Omni的周延版本，即“A term that applies to every X may replace any undistributed occurrence of X”，由此可以得出任何具有以下形式的推理都是有效的（[17]）：

總之，傳統邏輯學家眼中的周延性概念以及Dictum de Omni在現代邏輯的觀點下具有重要意義，薩默斯在代數意義上將這些內容進行了刻畫，并由此站在傳統詞項邏輯的立場，以現代邏輯的形式化方法建立起了一個基于詞項的代數演算的演繹系統TFL（term functor logic）。薩默斯指出，TFL 對命題的表示方式可以與傳統邏輯中對詞項周延性的規定直接對應，在TFL 中僅包含“+”、“-”兩個代數符號，而這兩個直接對應其索引詞項的正負出現的算子，可以使我們機械地通過對表達式進行代數化簡來確定表達式中任何詞項的正負性即周延性（[17]）。例如直言命題“所有都是P”，其代數形式為“-(-S)+P”，進一步將其代數化簡后很容易發現S 是正出現的，因此S 就是不周延的。當根據詞項的正負出現確定了體現詞項單調性的周延性后，就可以直接利用Dictum de Omni或其周延版本進行推理。薩默斯將Dictum de Omni形式化為了TFL 中一條重要的推理規則（[18]，第184 頁）：

基于該規則，TFL 不僅刻畫了傳統詞項邏輯中的推理，而且突破了傳統詞項邏輯在單稱命題、關系命題和復合命題方面的局限，從而具有了不弱于現代經典一階邏輯的推理能力。霍奇斯（[9]）也根據詞項正負出現的定義給出了體現單調性的推理規則，其假設A 在P(A)中是正出現的，B 在N(B)中是負出現的，那么：

1.由“所有A 是B”和P(A)可以推出P(B)。

2.由“所有A 是B”和N(B)可以推出N(A)。

霍奇斯客觀地指出，識別句子中任意層次的詞項的正負出現并不是我們固有的技能，這與自然語言邏輯目標中的“自然”存在一定的差距。但無可否認的是，建立在周延性概念基礎上的傳統邏輯得到了經典量詞理論和廣義量詞理論的進一步解釋，最大程度發揮了Dictum de Omni推理能力的TFL，可以看成是把三段論理論發展為有關單調性推理的嘗試。范本特姆（[5]，第111-112 頁）認為，運用單調性進行的單調性推理可以被視為傳統邏輯的一個核心。Dictum de Omni表明，推理規則可以是“全局”的，并且可以在語句級別運行，而不預設任何邏輯推理理論的具體分析。范羅亦（R.van Rojii）（[16]）依據范本特姆與薩默斯等人的思想，進一步展示出了傳統邏輯學家認為的語義層面上的周延性怎樣被視為一種語法上的特征，從而展示出了以三段論邏輯擴充到全部命題邏輯內容的過程。

4 現代周延理論對有效三段論數量的重新判定

保留命題中詞項周延性四條規定的現代周延理論，不僅得到了現代邏輯研究成果的大量支持，而且可以進一步判定出接納負詞項的全部有效三段論。眾所周知，亞氏邏輯中有256 種不含負詞項的三段論，但人們對接納負詞項后存在多少三段論的理論與認知并不成熟。根據威廉姆森的周延值理論，在詞項邏輯引入了詞項的否定算子n 和命題的否定算子N 后，A、E、I、O 中的任何一個邏輯常項都可以構造16 個形式不同的命題，以A 為例：

因此詞項邏輯中共存在4×16=64 個形式不同的命題，由于一個三段論由三個命題組成，因此理論上共存在64×64×64=262144 個形式不同的三段論。（[21]）但傳統理論由于忽略了對命題的否定和對詞項的否定等要素，使得僅存在256 個形式不同的三段論，并且一般認為其中共有24 個是有效的（其中15 個是嚴格有效的），這導致傳統理論忽略了這24 個三段論之外存在著的有效三段論。雖然傳統理論中有一套用于判定256 個三段論的有效性的規則，但這套規則并不適用于這256 個之外的三段論。

從現代邏輯的觀點看，邏輯上等值的命題（如SIM 和MIS）只是表達同一個涵義的不同的命題形式，因此這些由形式上不同、邏輯上等值的命題所組成的三段論（如AII-1 即MAP∧SIM→SIP、AII-3 即MAP∧MIS→SIP）實際上只表達了同一種涵義的三段論。根據傳統理論的研究方法，僅僅從命題形式的角度分析這262144 個形式不同的三段論，不僅工作量巨大，而且很容易導致一些表達相同邏輯涵義的不同形式的三段論被重復計算。因此正確的做法是，從決定命題的邏輯涵義的因素出發，找出所有在邏輯涵義的特征上不同的三段論，最后再利用已找到的不同邏輯涵義特征的三段論確定出所有形式上不同的三段論。

在傳統邏輯中決定命題邏輯涵義的兩個因素為命題的量和詞項的量。根據威廉姆森（[20]）的周延值理論，構成命題的兩個詞項的周延值被稱為命題的周延值。由于詞項的周延值要么是1，要么是0，所以任何命題的周延值只能是以下四個之一：11、10、01、00。因此，從周延值的角度考慮，三段論僅有4×4×4=64 種。又因為任何命題要么具有全稱的量（U），要么具有特稱的量（P），所以同時考慮命題的量和詞項的量時，共存在八種不同的命題：U11、U10、U01、U00、P11、P10、P01、P00。由此可以得出在邏輯涵義的特征上不同的三段論共有8×8×8=512 種，利用威廉姆森的周延值理論很容易得出這512 種三段論中共有多少是有效的。（[21]）

根據命題的量（U 或P）可以將三段論分為以下八種：

首先可以排除公認的無法形成有效三段論的第二行中的四種命題的量的組合。然后考慮第一行中傳統邏輯學家所謂的基本三段論UUU、UPP、PUP（UUU也被稱為全稱三段論，UPP 和PUP 也被稱為特稱三段論）。根據周延值理論，基本三段論有效的充分必要條件是中項周延值的發生改變而大、小項的周延值均不發生改變，符合這一條件的周延值有以下八種組合情況6其中第一個前提是小前提，小前提的第一個項是小項即結論中的前項；第二個前提是大前提，大前提的第二個項是大項即結論中的后項；剩下的中間兩個項是中項。：

三類基本三段論只要滿足這八種情況之一就是有效的，因此共有8×3=24 類有效的基本三段論，其中8 個是UUU 型的，8 個是UPP 型的，8 個是PUP 型的。例如，傳統邏輯中著名的全稱三段論Barbara只是U10∧U10→U10 的一個特例，特稱三段論Ferio和Bocardo分別是P00∧U11→P01 和P01∧U01→P01的特例。

根據邏輯涵義的特征確定的這24 類基本的有效三段論，與傳統教科書中的24 個有效三段論有著根本的不同。前者是根據邏輯涵義的特征確定的，而任何邏輯涵義確定的命題如U10，在傳統教科書的意義上都有以下8 種邏輯等值的不同的命題形式7這8 種命題間的等價性很容易由傳統邏輯或現代邏輯得到證明。：

因此這24 類基本的有效三段論中任何一類都可以有8×8×8=512 種形式上不同的三段論，在教科書的意義上，這24 類基本的有效三段論實際上對應著24×512=12288 種形式上不同的有效三段論。除了基本的有效三段論，還剩下可以被分為弱化和非弱化的UUP 型的三段論。

首先考慮弱化的UUP 型三段論。在傳統邏輯中任何全稱命題都可以推出兩個特稱命題（如SAP→SIP∧PIS），這兩個特稱命題與全稱命題有共同的詞項，并且有一個詞項的周延值發生了改變。因此，周延值不同的四種全稱命題中每個都有兩種滿足條件的變化情況：

威廉姆森指出，傳統邏輯中所謂的弱化三段論之所以是弱的，是因為這些三段論本可以得出一個更強的全稱命題，卻將由該全稱命題推出的特稱命題作為了結論。因此在前文已經得出共有8 種UUU 型三段論的情況下，只需要將UUU型三段論的全稱結論以相應的特稱命題替換即可得到弱化的三段論，因此共存在8×2=16 種弱化三段論。例如U11∧U01→P10 和U11∧U01→P01 都是U11∧U01→U11 的弱化版本。

最后考慮非弱化的UUP 型三段論（如Darapti、Felapton、Fesapo），這類三段論有效的規則為所有詞項都是單值的。例如Darapti（Aba∧Abc→Iac：a=0，b=1，c=0），符合該條件的三段論僅有以下八種：

綜上所述，根據威廉姆森的周延值理論可以得到8×3+8×2+8=48 類不同邏輯涵義的三段論，又因為每類三段論都有512 種不同的形式，因此共有48×512=24576 種形式不同的有效三段論。

威廉姆森的周延值理論基于對命題的量和詞項的量的分析，計算出了所有48類不同邏輯涵義的三段論。但威廉姆森的分析方法過于抽象，無法直觀地體現出與命題的內容相關的詞項因素，這使得其計算出48 類不同邏輯涵義的三段論的過程既不直觀也不完整。考慮到詞項的周延性在現代邏輯中可以由詞項的正負出現定義，因此，結合經典量詞理論對周延理論的刻畫，可以用詞項的正負出現直接表示詞項的量，進而將詞項與詞項的量同時用符號表示出來。例如邏輯涵義特征為U00 的命題?x(?A(x)→B(x))可以轉化為“→”不出現的命題?x(Ax ∨Bx)，并進一步直接表示為Uab，其中U 代表命題的量，a 和b 分別代表詞項變元A 和B，a 和b 的正出現直接對應著a 和b 不周延的量。在這種表示方法中，a 和b 的順序并不影響命題的涵義，即Uab 和Uba 沒有任何區別。因此威廉姆森所描述的八種不同邏輯涵義的命題可以表示為：

阿爾瓦雷斯（[1]）利用這種表示方法，并結合阿爾瓦雷斯與科雷亞所提出的公理集得到了所有有效三段論。遵循阿爾瓦雷斯的方式，也可以將威廉姆森得出48 類不同邏輯涵義的三段論的完整過程具體地展示出來。設三段論的中項、小項和大項分別為m、s 和p，小項所在的前提為小前提，大項所在的前提為大前提。

首先分析現代邏輯視角下嚴格有效的三段論。如果大前提命題的量為U，那么大前提可以為Ump、。當大前提為Ump 時，由于其中m 不周延，所以根據聯合公理在小前提中m 必須周延，因此小前提可以是以下四種m負出現在其中的命題

最后考慮涉及存在預設問題即非嚴格有效的三段論，這類三段論即為威廉姆森所謂的UUP 型三段論，兩個前提的量都是U 并且由于存在預設問題與特稱公理使得結論的量只能為P。所以大前提只能為Ump、當大前提為Ump 時，若m 有存在預設問題，則意味著m 在小前提中的正負性與大前提中的正負性保持一致，因此小前提可以為Ums、Ums：

1.小前提為Ums 時，根據聯合公理，結論中詞項的量應該與前提中保持一致，因此Ump 和Ums 的結論為Psp。

若s 有存在預設問題，則m 沒有存在預設問題，即m 在小前提中的正負性與大前提中的正負性相反，因此小前提可以為

若p 有存在預設問題，則m 沒有存在預設問題，即m 在小前提中的正負性與大前提中的正負性相反，因此小前提可以為

總之，利用同時體現詞項與詞項的量與命題的量的表示方法，根據阿爾瓦雷斯與科雷亞所提出的公理集，可以得到計算出24 ＋24=48 類有效三段論的具體過程。在威廉姆森的觀點下，表達任何一種邏輯涵義的命題都可以由8 個不同的形式表示，這使得每類三段論都可以有8×8×8=512 個不同的形式，因此共有512×48=24576 個不同形式的有效三段論；而阿爾瓦雷斯與科雷亞沒有像威廉姆森一樣引入命題的否定算子，因此表達任何一種邏輯涵義的命題都僅有4個不同的邏輯形式，這使得每類三段論只有4×4×4=64 個不同的形式，因此共有64×48=3072 個不同形式的有效三段論。但不論是什么樣的觀點，當三段論接納負詞項后，都存在邏輯涵義不同的48 類有效三段論，每一類有效三段論都存在多個不同的邏輯形式，這使得傳統理論中的Darii和Datisi都只是以不同形式重復出現的的特例。根據同時體現詞項與詞項的量與命題的量的表示方法，上述48 類有效三段論如下：

5 結語

在保證詞項邏輯中負詞項合法地位的前提下，對周延理論進行怎樣的修改才能使詞項邏輯恢復一致并判定出全部有效三段論，是詞項邏輯面臨的有待解決且必須解決的難題。全面預設詞項邏輯中的詞項為非空詞項的解決方案，不僅會在語義方面限制詞項邏輯，而且無法徹底消解周延理論中存在的不一致性。周延理論難題在現代存在兩類可行的解決方案：要么在保留周延性概念的內涵的情況下修改傳統邏輯對命題中詞項周延性的四條規定，要么刪除或修改周延性概念的內涵以保留命題中詞項周延性的四條規定。第一種方案使得命題中詞項的周延性得到了更加精細的劃分，但這也導致這種較為復雜的周延性規定難以與現代邏輯中的研究成果相結合。相比之下，第二種方案得到了大量現代邏輯學家的支持，因為其不僅可以與經典量詞理論和廣義量詞理論等現代邏輯的研究成果相結合，而且可以為接納負詞項的詞項邏輯推理的有效性提供一種簡單的判定技術，并由此確定出512×48=24576 或64×48=3072 種形式不同的有效三段論，甚至將其與形式化的Dictum de Omni結合，還可以用于構造現代詞項邏輯的形式系統。這種方案體現著詞項邏輯中周延理論最前沿的發展趨勢。詞項邏輯是一種由亞里士多德以及后來眾多學者經過兩千多年發展起來的邏輯理論，結合現代邏輯完善周延理論，不僅對邏輯學科有重要的意義，而且有利于在現實中充分發揮詞項邏輯在培養一般大眾和邏輯初學者邏輯思維的過程中發揮的基礎性作用。