鹽水中法拉第模態的探究

田翠鋒，柏圓圓，高彩云，王 萍

（山西大同大學物理與電子科學學院，山西大同 037009）

法拉第波是自由液體表面在垂直振蕩驅動下，形成駐波波形圖案并以驅動器的一半頻率振動的非線性駐波[1]。Rayleigh[2]通過觀察驗證了法拉第觀點，即水駐波振動頻率為激勵棒頻率一半的結論。Benjamin[3]通過分析圓柱形容器中液體垂直振動規律，推導得出Mathieu 方程并證實了法拉第結論。Faraday[4]研究了不同液面波形，觀察到了三角形、方形、六邊形等形態。液體表面波模態、振幅和頻率變化是探究流體從有序流動到混沌運動轉變機制，判斷穩定性與非穩定性現象閾值等的表征手段，因此探究法拉第表面駐波模態具有重要的理論價值和實際意義。科學工作者研究了表面波模態與激發頻率、容器形狀或邊界條件、液體深度以及液體粘度之間關系[5-11]。在低頻驅動下，Jiang[12]在矩形容器中（水深3 cm）發現了凹窩波峰。近期，法拉第不穩定性問題依然是流體力學研究熱點之一，Jin[13]應用六自由度晃動矩形容器（水深12 cm）研究高階法拉第模態，通過快速傅里葉變換方法識別頻率反應，發現多模態法拉第波是在多頻率激勵下觸發的。Wilson和Shao[14-15]在圓柱形容器中研究了粘性液體（液體厚度0.7 cm）法拉第波模態，高于法拉第波閾值的驅動振幅會產生次諧波，而低于閾值的驅動振幅會導致諧波邊緣波，并給出了多組表面波模態結果。長方形水槽和圓柱形是常用充液容器，兩者液體表面波模態和振幅有差別，圓柱形容器模態表現更多樣[8,16]。

綜上所述，目前的研究中液體表面駐波的驅動頻率大多在幾十赫茲，討論驅動源振幅對駐波的影響偏少，因此實驗利用高功率數控超聲波清洗器作為振蕩源頭，觀察低濃度鹽水的表面波模態，通過改變驅動振幅、液體濃度及容器形狀探究法拉第波的模態及振幅變化規律，深入了解流體力學駐波物理特性。

1 法拉第波模態理論解釋

借助理想流體法拉第波流體力學方程，獲得波函數滿足的振動方程，分析矩形和圓形兩種形狀容器下波函數解。通過本征函數法得到Mathieu 方程，進一步獲得穩態下色散關系，理解頻率與波數、深度、密度和力之間的關系，最后由MATLAB模擬給出不同剛性容器下表面波模態結果。

1.1 法拉第表面波對應的流體方程

一般情況下，描述理想流體法拉第波的流體力學方程[3]為：

其中：g為重力加速度；Fcos(ωt)為振動臺垂直振動的加速度；ρ為液體密度；γ為表面張力系數；ξ為豎直方向上位移；φ為流勢。根據邊界條件可知，ξ、φ可以根據本征函數Sm(x,y)的完全正交集展開：

解方程，獲得本征值和本征函數：

其中：l和m包含0 和正整數，分別表示沿x軸和y軸兩個方向的波數。MATLAB 模擬波形圖如圖1，z為波函數Slm。

唐湘如教授在現場介紹了全國以及廣東省農業生產中的化肥使用情況，強調平衡施肥、科學種植的重要意義，呼吁在科學指導下合理施用化肥。唐教授帶領大家逐一參觀各試驗處理表現情況，實地向參會者講解農戶常規施肥及不同梯度鉀肥施用量對水稻生長發育、產量等的具體差別，介紹鉀肥對水稻生產指標的重要影響。

對于邊界曲線是半徑為R的圓時，使用圓柱形極坐標(r,θ)是很方便的，此時Slm滿足

其解為：

其中：klmR是的第m個零點；m為沿圓周分布的整波數；l為方位角模式，沿半徑分布的最大值個數。

MATLAB 模擬圓柱形壁波函數分布如圖2，z為波函數Slm，圖2（a）～（d）為4 個典型模態（m，l）理論示意圖，其中，(a)圖為(2,0)模態、(b)圖為(1,2)模態、(c)圖為(2,2)模態、(d)圖為(3,3)模態，灰色區域為表面波高于靜止水平面，等高線區域為表面波低于靜止水平面。

圖2 圓形壁波函數分布

以上模擬是穩態結果，當有激勵源時，波函數會隨時間發生變化。另外，從以上結果可以看出，圓柱形剛性壁表面波模態比矩形容器內模態形狀多，這一結論與文獻[8]、[16]一致。

1.2 色散關系與模態之間的關系

接下來推導色散關系，利用公式（1），將ξ、φ逐項展開：

這里a0(t)=0，h為液體深度，km為本征值。將（5）式代入（1）式得到：

由于函數Sm(x,y)是線性無關的，所以系數am(t)滿足Mathieu方程[3]：

法拉第波出現穩定模態的色散關系不含時間項，由公式（6）可知對應的色散關系為

當頻率和外激勵滿足一定條件時，本征模態會被激發，由此可以導出相應的花紋。表面張力和重力對頻率都有影響。由于km=從公式（7）也可以看出，波長與頻率不再是線性關系。

2 鹽水中法拉第表面波實驗

為了給出高頻率激勵鹽水表面波模態，實驗選用KQ-600KDE 型高功率數控超聲波清洗器作為驅動源，頻率為40 kHz，輸入功率可以調節到某個固定值，分別為240、300、360、420、480、540、600 W。超聲振幅與輸入功率關系為

其中：A為超聲振幅；P為輸入功率；f為超聲頻率；s為振動面積；α為傳輸系數。通過計算可知，不同超聲輸入功率對應的超聲振幅分別為106、133、160、186、212、239、265 μm。應用不同驅動功率對低濃度鹽水的法拉第波表面波模態進行了定性觀測，探究了容器形狀、驅動振幅和溶液濃度對法拉第波的影響規律。

2.1 鹽水中振動表面波模態觀察

2.1.1 同一濃度鹽水不同形狀容器下表面波模態

對照理論解釋部分，實驗容器形狀選擇矩形和圓形截面。為了避免額外的能量耗散和振動遲滯，必須選用剛性容器。矩形剛性容器為超聲儀自帶容液器，其內槽尺寸長、寬、高分別為30、24、15 cm。圓形容器選用500 mL的燒杯（直徑為90 mm）作為充液器，并且燒杯與驅動源之間采用剛性連接。液體選濃度為1%的鹽水，驅動源輸入功率600 W，通過高速攝像機獲得法拉第表面波模態圖案，如圖3。

圖3 法拉第表面波模態圖案

為了更清晰地看到波形，用白色虛線沿著表面波紋描出。從圖3（a）可以看出，方形容器的表面駐波模態為條紋狀，與圖1 波形相似，在出水口出有變形，主要原因是水深落差和邊界的影響，另外鹽水并非理想流體。圖3（b）圓形容器的表面駐波模態為圓環狀，與圖2（a）模態相似。從波形圖來看，圖3 與公式（3）和公式（4）所展示的解一致，說明模態結構主要受容器形狀影響。為了避免容器內部的高低落差影響，后面的研究選用圓形容器。

2.1.2 同一濃度鹽水不同驅動振幅下表面波模態

為了探究激勵源振幅變化對鹽水表面波模態的影響，實驗固定頻率，固定鹽水濃度，只變化驅動振幅。當驅動振幅從240 W 升至600 W，駐波圖案形狀無明顯變化，但隨著振幅增大，形貌更清晰明顯。選取驅動功率360 W，鹽水濃度為1%質量百分比條件下的駐波圖作為展示，圖4 為所錄視頻中的一幀，其規律用白色虛線描畫，虛線代表最高峰位置。從圖4 可以看出，整體呈圓環狀，并且觀測到（m，l）=（5，1）振動模態。

圖4 功率360W濃度1%時表面駐波模態圖

2.2 鹽水中振動表面波波幅觀察

從垂直角度觀察，不同驅動振幅對駐波形狀沒有影響。從水平角度觀察，法拉第波波峰受哪些因素影響，主要從驅動振幅和鹽水濃度兩個方面探究波幅變化規律。

2.2.1 驅動振幅對法拉第波波幅影響

增大振幅會使所形成的表面駐波圖案更加明顯，也可通過研究法拉第波振幅變化來證實這一結論。調整高速攝相機的位置、焦距和光強到合適值，使其正好能從側面看清液面。測量不同功率下法拉第波波峰峰值，振幅高度以水平溶液為基準，如圖5，以驅動振幅600 W 鹽水濃度1%為例，紅色虛線之間為所測波峰峰值，其余振幅和濃度測法類似，所測數據列于表1。

表1 不同功率下表面波振幅變化

圖5 功率600W 1%鹽水濃度表面波振幅示意圖

從表1可以看出，增大驅動振幅會使駐波波峰增大，即法拉第波振幅增大，功率由240 W 增到600 W時，表面波波幅幾乎增大4 倍。另外，波峰幅度數量級與文獻[8-9]低頻驅動下的波高一致，說明高頻驅動下，并未引起大幅度變化。

2.2.2 鹽水濃度對法拉第波波幅影響

提高激勵功率會增大表面波波幅，接下來研究鹽水濃度對法拉第波波幅的影響規律。圖6 是驅動功率480 W，不同鹽水濃度下表面波波幅變化結果。從圖6 可以看出，隨著濃度增大，表面波波幅最大值有下降趨勢，這可能是由于增大鹽水濃度會使溶液變得更加黏稠，從而使鹽水與燒杯壁之間的黏滯力增大，導致波峰下降。

圖6 功率480W不同鹽水濃度表面波振幅變化圖

3 結語

通過MATLAB 模擬和實驗分析，對鹽水表面波在小振幅（100 μm＜A＜300 μm）高頻率超聲儀激勵下模態進行了研究。通過改變容器形狀、驅動振幅和鹽水濃度，研究低濃度鹽水的法拉第波模態變化規律。根據實驗結果分析，矩形容器法拉第波呈現條形狀，圓形容器波模態為圓環狀，與模擬結果一致。激勵振幅變化對駐波形狀影響較弱，增大驅動振幅，對應的法拉第波振幅增大，而增加鹽水濃度，對應的法拉第波振幅減小。另外，高頻驅動并未引起駐波波幅發生量級變化。研究結果對于流體力學領域波動問題的認識和理解有一定的參考意義。