基于ANM的非均勻圓陣二維DOA估計

張勝楠，劉 崢，謝 榮，冉 磊

（西安電子科技大學雷達信號處理全國重點實驗室，陜西西安 710071）

0 引 言

波達方向（Direction of Arrival,DOA）估計在軍事與民用領域的應用十分廣泛［1-2］，因而一直是陣列信號處理的研究熱點。其中子空間類算法的典型多重信號分類算法［3］（Multiple Signal Classification,MUSIC）因為能對多目標進行突破瑞利限的角度分辨，所以得到了廣泛關注與應用，但它需要已知信源數目，且需要多快拍采樣數據才能處理非相干信號源，一旦上述條件有任何一條不滿足就會導致其估計性能下降甚至失效。

近年來得益于壓縮感知理論及其相關應用的發展，產生了一系列基于壓縮感知理論的DOA 估計算法［4-6］，如正交匹配追蹤［7］（Orthogonal Matching Persuit, OMP）和稀疏貝葉斯學習［8-10］（Sparse Bayesian Learning, SBL）等在網格類算法，這一類算法需要提前在預期的空域上建立字典集，也就是劃分網格點。當目標方位準確落在網格點上時，這一類算法可以在少快拍和信源相干等條件下實現高精度DOA 估計。但實際情況中，目標的實際方位并不會準確落在既定的網格點上，這就會引起這一類算法無法避免的網格失配問題［11］，從而導致其估計誤差增大。

針對這一問題，一種連續域上的無網格DOA估計方法［12］被提出。該方法利用均勻陣列的陣列流形矩陣具有范德蒙德結構這一特點，基于原子范數最小化（Atomic Norm Minimization,ANM）將原本難以求解的NP 問題凸松弛轉化為一個基于拓普利茲（Toeplitz）矩陣的半正定規劃（Semi-Definite Programming, SDP）問題，最后通過范德蒙德分解獲得陣列流形矩陣，從而實現DOA 估計［13-14］。相比于在網格類壓縮感知算法，該算法做到了在連續空域上進行DOA 估計，從而避免了網格失配問題。但由Caratheodory 分析得到，在高維情況下Toeplitz 矩陣無法正確進行范德蒙德分解，因此上述的ANM 原理不能直接應用于二維DOA 估計中。所以現有的常規ANM應用一般都針對均勻線陣做DOA 估計，或針對某特殊陣列結構如文獻［15］基于L 型陣列實現了二維DOA 估計。然而實際應用中有需求用到不滿足范德蒙德結構的非均勻陣，如非均勻圓陣［16］等，為使ANM 能夠應用于非均勻圓陣，本文基于虛擬陣列變換提出了一種改進的原子范數最小化二維DOA估計算法。

1 虛擬陣列變換

虛擬陣列變換［17］即是通過構造一個變換矩陣使得實際獲得的原始數據矩陣轉換為預期的數據形式。首先要確定一個來波方向的預期范圍，針對這一預定的角度范圍，構造原始陣列與預期陣列的流形矩陣。再利用兩個流形矩陣計算變換矩陣，從而獲得預期陣列的擬接收數據。

本文以某非均勻圓陣作為原始陣列，如圖1所示，以陣元間距為半波長d=0.5λ的均勻L 型陣列作為預期虛擬陣列，如圖2 所示，以此為例說明虛擬陣列變化方法。

圖2 均勻L型陣列

圖1 中共M=7 個陣元，第一個陣元位于原點，定義第k個陣元坐標為rk=(xk,yk,zk)，則來自方向(θn,βn)的信號的導向矢量為

預定的信號源角度范圍設為：俯仰角El=[θmin,θmax]，方位角Az=[βmin,βmax]。以Δθ和Δβ為間隔分別劃分俯仰角區間和方位角區間為ElΔ=[θmin,θmin+Δθ,…,θmax-Δθ,θmax]和AzΔ=[βmin,βmin+Δβ,…,βmax-Δβ,βmax]。那么原始陣列的流形矩陣為

預期的陣列結構為由陣元數為M的兩條均勻線陣x軸和y軸組成的L型陣列，陣元間隔為d，預期陣列的導向矢量與流形矩陣分為x軸和y軸兩部分。

x軸的導向矢量ax和流形矩陣Ax為

縱軸y的導向矢量ay和流形矩陣Ay為

通過原始陣列與預期陣列的導向矢量構造兩陣列間的變換矩陣，下面以x軸為例，推導變換矩陣Bx。

式中，Bx為原始陣列向L 型陣x軸的變換矩陣。不可避免地，由變換矩陣得到的流形矩陣總是與預期陣列的理想流形矩陣之間存在誤差：

式中，||·||F表示Frobenius 模。以式（7）為目標，式（8）為約束，求得變換矩陣Bx：

受限于預定角度區間及其劃分間隔等因素，誤差不可避免，此時的變換誤差定義為

而這一誤差的主要來源之一是預定角度與實際角度間存在差距，這一差距越大DOA 估計誤差也就越大。最簡單的解決辦法就是減小劃分預定角區間的劃分間隔Δθ和Δβ，然而在一定的角區間上一味減小間隔并不會有明顯效果。因此先用較大的劃分間隔進行初步DOA 估計，再在此基礎上縮小預定角區間同時減小劃分間隔后進行二次DOA估計，從而減小誤差。

和Bx同理得到原始陣列向L 型陣縱軸y的變換矩陣By：

通過變換矩陣Bx和By即可獲得預期的L 型陣的流形矩陣Ax和Ay，從而進行下一步的DOA估計。

2 基于ANM的DOA估計

針對如圖1所示陣列結構的接收數據，通過虛擬陣列變換得到虛擬L型陣接收數據，最后利用基于原子范數最小化的DOA 估計算法和L 型陣二維幾何關系得到俯仰角與方位角。

本文假設在遠場條件下，以圖1所示陣列接收來自方向{(θ1,β1),(θ2,β2),…,(θK,βK)}的K個頻率為f的信號s1(t),s2(t),…,sK(t)，則原始陣列接收信號表示為

式中S(t)=[s1(t),s2(t),…,sK(t)]T，N(t) 表示陣列接收噪聲矩陣。

通過式（9）和（11）得到的變換矩陣Bx和By，獲得虛擬陣列的接收信號，分為x軸和y軸兩部分：

至此原本基于非均勻圓陣的DOA 估計問題轉化為兩個簡單的均勻線陣上的DOA 估計問題，接下來以XLx為例介紹均勻線陣上的ANM-DOA 估計算法，XLx即為x軸這一均勻線陣的接收信號。原子a(f,?)和原子集A?參考式（13）的信號形式定義為

由式（13）和式（15）可以看出，虛擬陣列接收信號XLx可以通過原子集A?中的原子線性組合構成，且所用原子數最少的一種對應著DOA 估計目標，類似于通過冗余字典中的原子來表示稀疏接收信號，區別在于冗余字典建立在離散域而原子集建立在連續域，這就避免了網格失配問題。

設x=AxS(t)，其l1-原子范數||·||A,1定義為

基于原子范數最小化的去噪問題模型［18］，式（13）可以表示為

進一步將式（17）轉化為一個半正定規劃問題進行求解：

利用CVX 工具包求解式（18）所述半正定規劃問題，獲得重構出的T(u)，對其進行范德蒙德分解如下：

式中pk為自然系數，a()來自于原子集??？梢园l現ANM 算法要求接收信號的導向矢量a(f)必須滿足范德蒙德結構，才能在這一步進行范德蒙德分解，而本文所用非均勻圓陣并不滿足這一條件，所以需要通過式（13）和式（14）將原接收信號轉變為滿足范德蒙德結構的虛擬陣列接收信號。

對應著接收信號的導向矢量如式（3）所示，通過MUSIC方法進行頻率檢索，獲得：

和為待估計俯仰角與方位角。

同理，代入XLy，得到：

聯立式（20）和式（21）可以解得方位角：

將方位角信息帶入式（20），計算得到俯仰角：

本文算法適用于解決遠場的DOA 估計問題，可以處理相干信源，且對樣本數要求較低，基本步驟如下算法1所示。

算法1：

輸入輸出步驟1步驟2步驟3步驟4接收的回波信號X方位角β和俯仰角θ根據原始陣列與虛擬陣列在預定角區間的陣列流形矩陣，計算虛擬變換矩陣Bx和By對接收信號X 進行虛擬陣列變換處理，獲得虛擬L型陣的x軸接收信號XLx和y軸接收信號XLy分別用基于ANM 的DOA 估計算法處理XLx 和XLy，獲得f?xk和f?yk根據二維角度關系，由式（22）和式（23）估計得到俯仰角θˉk和方位角βˉk

算法復雜度分析：因本文算法所用的變換矩陣Bx和By在陣列結構固定的情況下是可以提前計算得到的常量矩陣，所以并不會增加算法的計算復雜度。而原ANM-DOA 估計算法的時間復雜度由半正定規劃問題求解過程決定為O(n3.5)，所以改進本文算法的時間復雜度也是O(n3.5)。

3 仿真與實驗分析

本節將通過仿真與實測實驗驗證所提算法的可行性與性能。以文獻［16］的塊稀疏貝葉斯學習算法和經典的二維多重信號分類（2D-MUSIC）算法作為對比算法。仿真以圖1 所示的非均勻圓陣為原始接收矩陣，本文算法所用虛擬陣列如圖2 所示。均方根誤差定義為

式中：Nm表示蒙特卡羅仿真的次數，K是信源數；和為估計出的俯仰角和方位角。

3.1 對相干信號的估計性能分析

假設兩目標的俯仰角和方位角分別為：(20°,20°) ，(40°,40°) 。蒙特卡羅仿真的次數Nm=100。在信號相干和非相干情況下分別研究不同算法的均方根誤差隨信噪比變化的情況，如圖3所示。

圖3 對相干信號的估計性能分析

圖3 描述了在信號相干與非相干兩種情況下均方根誤差隨著信噪比變化的情況，快拍數設為N=100。在信號不相干的情況下，當信噪比較低時，MUSIC 算法有較好的估計性能，但隨著信噪比的增加，本文所提算法的性能逐漸超過MUSIC 算法。當信號相干時，接收信號的協方差矩陣存在秩虧損問題，這會導致MUSIC 算法無法正常進行DOA 估計，但本文所提算法不涉及協方差矩陣估計，依然具有較好的精度。由此可見，本文算法可以實現對相干信號的DOA估計。

3.2 信噪比與快拍數對測角的影響

假設兩目標的俯仰角和方位角分別為：(20°,20°) ，(60°,60°) 。蒙特卡羅仿真的次數Nm=100。不同算法的均方根誤差隨信噪比和快拍數變化的情況如圖4和圖5所示。

圖4 均方根誤差隨信噪比變化

圖5 均方根誤差隨快拍數變化

圖4描述了在目標分散分布情況下，均方根誤差隨信噪比的變化情況，此時快拍數設為N=100。當信噪比大于15 dB 時，本文算法具有最好的估計性能，并且隨著信噪比增加這種優勢增加。MUSIC 和BSBL 算法受限于網格失配問題，導致在信噪比較高情況下依然具有一個無法避免的較高誤差。而本文算法因虛擬陣列變換，導致對噪聲較敏感，在信噪比較低情況下均方根誤差較大。

圖5描述了在目標分散分布情況下，均方根誤差隨快拍數的變化情況，此時信噪比設為SNR=20 dB。同快拍數下本文算法具有更好的估計性能，且當快拍數較小時依然有很好的估計精度，具有實時性。而MUSIC 算法因需要估計接收信號協方差矩陣，少快拍時會因為協方差矩陣估計不準而導致測角精度較低。BSBL算法雖然同樣可以完成少快拍DOA 估計，但因網格失配問題，導致測角精度受限。

3.3 信源數對估計性能的影響

假設目標的俯仰角和方位角分別為：(20°,20°) ，(40°,40°) ，(60°,60°) ，(80°,80°) 。蒙特卡羅仿真的次數Nm=100。研究本文算法在單信源、雙信源、三信源和四信源的情況下，均方根誤差的變化情況如圖6和圖7所示。

圖6 信源數對估計性能的影響

圖7 不同算法受信源數的影響

圖6 描述了本文算法在不同信源數下的測角均方根誤差隨信噪比的變化情況。隨著信源數增加，均方根誤差越來越大。圖7描述了不同算法的測角均方根誤差隨信噪比的變化情況，可以看出各算法都有信源數越多估計誤差越大的趨勢，但因為可以避免網格失配問題，所以本文算法性能要優于其他算法。

3.4 虛擬陣列變換誤差的影響

虛擬陣列變換誤差主要來自于預定角與實際角之間的誤差，假設兩目標的俯仰角和方位角分別為：(20°,20°) ，(40°,40°) 。蒙特卡羅仿真的次數Nm=100。在預定角誤差分別為0°,0.2°,0.4°時，本文算法的均方根誤差隨信噪比變化的情況如圖8所示。

圖8 預定角誤差對估計性能的影響

圖8 描述了本文算法在不同預定角誤差下的測角均方根誤差隨信噪比的變化情況。隨著預定角誤差增加，均方根誤差越來越大。這就要求把劃分角度間隔控制在0.1°以下，而且因為變換矩陣都是可以預先計算的固定值，因此不會因為提高劃分精度而影響計算效率。

3.5 實測實驗

實測場景和條件：實驗采用基于彈載7陣元非均勻圓陣陣列天線接收輻射源信號，信號包括1個輻射源和3個有源干擾。初始階段，導彈與目標距離較遠，4 個信號源之間空間角度差較小，隨著導彈接近，角度差逐漸變大，如圖9所示。

圖9 方位角和仰角分布圖

經過與文獻［16］相同的預處理之后，分別用多重分類算法、文獻［16］算法與本文算法進行處理，得到不同脈沖下各自的估計結果如圖10所示。

圖10 實測數據測角均方根誤差圖

圖10 描述了3 種不同算法對同一組實測數據的處理結果。由于單脈沖內采樣數較少，無法穩定正確估計接收信號的協方差矩陣，所以MUSIC的估計結果較差。文獻［16］的算法可以實現少樣本估計，結果較好，但可以發現在某些信源方向沒有落在網格點上的時刻，會有一個比較大的誤差，也就是發生了網格失配問題。而本文算法可以在少樣本的情況下實現無網格的DOA 估計，估計精度不會受到網格限制，估計精度較高。

4 結束語

針對傳統的基于ANM 的DOA 估計算法無法直接應用于不滿足范德蒙德結構的非均勻圓陣這一問題，本文基于虛擬陣列變換提出了一種改進算法。以某非均勻圓陣作原始陣列為例，通過虛擬陣列變換構建ANM 算法可以處理的虛擬L 型陣列接收信號，利用其二維角度關系進行DOA 估計。相比于常規ANM 算法，本文算法可以推廣應用于非均勻陣列結構，同時擁有較好的DOA估計精度。