嵌入式共固化阻尼復合材料圓板的振動分析

紀勝飛，梁森，孫興帥，馬國瑞

(青島理工大學機械與汽車工程學院，山東青島 266520)

0 前言

近年來，技術變革越來越依賴新材料的發展，作為未來發展方向之一的復合材料也得到了更多的應用和推廣。其中，嵌入式共固化阻尼結構作為復合材料的代表，它是由不同性質的材料克服單一材料缺陷、發揮各自材料優勢復合而成的一種多相固體，具有阻尼性能優異、抗老化、不脫落、耐疲勞等優點[1-2]，而且圓板結構作為機械工程中最基本的結構單元，被廣泛應用于航空航天、船舶工業、儀器儀表等領域，因此對嵌入式共固化阻尼復合材料圓板結構的研究具有廣泛的應用前景。

ROSE等[3]提出了一種黏彈性夾層結構模型，用于分析黏彈性層對結構振動性能的影響和動力響應。后來對夾層結構的研究主要集中在有限元與實驗研究。DI SCIUVA[4]利用正交各向異性的較厚層合板的非線性運動方程研究了復合材料板的振動；后來，DI SCIUVA[5]運用連續性假設并建立模型來實現有限元方法的發展。ROY、 GANESAN[6]提出了一種約束阻尼層處理的圓板振動和阻尼分析的有限元方法。 FARAG、 PAN[7]利用數值模擬方法研究了各向同性薄板的面內自由振動和模態特性。李烜等人[8]以丁基橡膠為主要原料，利用模壓法制得阻尼薄膜試件進行實驗探索，結果表明：阻尼層可以有效提高結構的阻尼性能。ESHAGHI等[9]通過實驗分析了磁流變液為芯層的環形圓板的動力學性能。

對夾層板的理論探索大多集中在矩形板[10-13]或各向同性材料圓板[14-15]。ZHAI等[16]結合哈密頓原理與納維解求解了夾層板的動態特性，在驗證效率和精度的基礎上，得到了多參數對夾層板的影響規律。PILGUN、 AMABILI[17]研究了各向同性材料制成的復雜幾何形狀淺圓形圓柱板的非線性自由振動和受迫振動特性。WEI、QING[18]應用修正的耦合應力理論(Modified Couple Stress Theory，MCST)分析了圓形板軸對稱靜力彎曲、彈性屈曲和自由振動特性。JAVANI等[19]利用廣義微分求積法對功能梯度圓板的振動問題進行了細致的研究。

綜上可知，有關嵌入阻尼各向異性圓板結構的理論探索還處于空白階段。本文作者在四邊固支的邊界條件下求解結構的理論模型，利用實驗結果和有限元數值模擬結果驗證理論模型的正確性；在此基礎上進一步探索阻尼層比率、半徑大小與阻尼層厚度比以及復合材料層與阻尼層厚度比對結構的影響，數值計算結果可為工程人員設計大剛度、高阻尼的復合材料結構提供一定的參考。

1 ECDCCPS固有頻率和損耗因子的推導

嵌入式共固化復合材料阻尼圓板結構(Embedded Co-cured Damping Composite Circular Plates Structure，ECDCCPS)的幾何結構如圖1所示。為得到振動方程，做如下基本假設：(1)忽略不計ECDCCPS結構在厚度方向的變形；(2)每層界面之間不發生滑移。

1.1 結構的幾何方程與本構關系

根據一階剪切變形理論表述結構的位移場，各層位移函數用式(1)表示：

(1)

(2)

每層的應力-應變關系表示為

(3)

(4)

黏彈性層的損耗因子與復合材料層相比較大，因此對黏彈性層的彈性模量和剪切模量用式(5)表示：

(5)

1.2 控制微分方程的推導

由上面應力應變關系式可以得到ECDCCPS的應變能和動能為

(6)

(7)

式中：V表示ECDCCPS的體積；ρi表示第i層板的密度；S表示第i層r-θ方向中性面的面積。

黏彈性層的位移可以用上下面板位移來表示：

(8)

結構在四邊固支邊界條件為r=0處解有限及r=R處u=0，v=0，w=0，?w/?r=0，α=0，β=0。

考慮圓板關于坐標的周向對稱性，采用分離變量法，設陣型解為

(9)

其中：ω*表示頻率；非負整數m表示相應振型的周向波數，m=0表示軸對稱振動。

Ritz法采用容許基函數來描述結構的位移，滿足幾何邊界條件。位移函數用多項式函數乘以邊界函數來描述，表示為

(10)

其中：ak、bk、ck、fk、lk為多項式函數的未知系數；k為整數；N表示位移幅度函數多項式的最高次數。

由拉格朗日能量函數得到結構的能量表達式為

Π=U-T

(11)

利用Rayleigh-Ritz法將拉格朗日能量函數相對于任意系數最小化得到阻尼復合材料圓板的自由振動方程為

(12)

將位移表達式代入控制方程并簡化為矩陣形式

(K-(ω*)2M){X}=0

(13)

利用編程程序MATLAB計算式(13)的特征值，ECDCCPS結構的振動頻率和損耗因子由式(14)計算可得：

(14)

2 算例分析與討論

為了驗證理論模型的有效性，采用模態應變能法計算四邊固支邊界條件下嵌入阻尼膜復合材料圓板結構的固有頻率和損耗因子。其半徑R=0.15 m，復合材料層的材料參數見表1，阻尼材料參數見表2。

表1 ECDCCPS上下面板材料參數

表2 ECDCCPS阻尼層材料參數

此算例采用ANSYS有限元模擬對理論模型計算結果進行對比驗證。板單元采用實體185單元，劃分網格單元尺寸為1 mm，上、中、下3層共節點連接。圖2所示為圓板劃分網格，表3為Ritz法理論計算和有限元數值模擬計算結果對比。

表3 理論與模擬結果對比

圖2 圓板劃分網格模型

如表3所示，Rayleigh-Ritz法計算的固有頻率和損耗因子略微大于數值模擬結果，誤差主要來源于理論模型的基本假定以及由于圓板形狀的特殊性造成劃分網格大小不一等因素，但前3階固有頻率和損耗因子誤差均在5%以內，證明了理論模型的有效性。接下來將使用模態實驗法對結果的正確性進行佐證。

3 實驗平臺的搭建與模型驗證

3.1 試件的制備

采用碳纖維-環氧樹脂預浸料加以雙面刷涂工藝制作阻尼層，將復合材料和阻尼層在濕熱環境箱中共固化得到ECDCCPS試件。圓板在固支夾具中放置如圖3所示，夾持部分長度不計，實際測試半徑為150 mm，上下面板總厚度為2.1 mm，阻尼層厚度為0.1 mm。圓板沿半徑方向4等分，沿圓周方向18等分，測點共73個。

圖3 圓板的固支夾具

3.2 實驗測試系統組成及后處理

模態實驗采用B &K公司的模態測試設備[8]，包括激勵力錘(8206-002)、加速度傳感器(4524-B-004)和PULSE (3560B)。具體實驗裝置如圖4所示。

圖4 實驗設備

邊界條件設定為四邊固支，激勵力錘設置在點38，如圖5所示，測試采用單點激勵多點響應，3次激勵數值取平均，3次實驗數據再次取平均，以獲得準確的實驗結果。具體測試過程如圖6所示。

圖5 激勵力錘設置點

圖6 實驗測試過程

將實驗結果導入后處理軟件PULSE Reflex Version中進行參數識別設置，選擇恰當的分析頻帶，模態參數分析方法采用有理多項式Z變換法，進行全局求解，迭代計算結果如圖7所示。其中紅色菱形表示模態頻率、模態阻尼和模態振型都是穩定的，系統自動識別最佳的模態計算結果，表示為黑色圓圈，橫坐標數值即表示實驗得到的固有頻率結果。

圖7 迭代計算結果

3.3 實驗結果及分析

表4為PULSE迭代計算得到的試件前3階模態頻率和模態阻尼。其中，誤差1表示理論解與ANSYS模擬結果的相對誤差，誤差2表示實驗結果與理論解的相對誤差。

表4 理論、模擬與實驗結果對比

由表4知：理論、實驗和數值模擬結果誤差均在5%以內，滿足工程實際應用要求。模態實驗進一步驗證了理論模型的正確性，為工程實際應用Rayleigh-Ritz法求解ECDCCPS的固有頻率和損耗因子提供便利，為固支邊界條件下嵌入阻尼膜復合材料圓板結構的設計和優化奠定基礎。

4 ECDCCPS的動態特性

在驗證理論模型有效的基礎上，運用該理論模型，進一步探討阻尼層比率、半徑大小與阻尼層厚度比以及上下面板厚度與阻尼層厚度比對自由振動頻率和損耗因子的影響，得到四邊固支ECDCCPS振動特性的變化規律。

4.1 阻尼層比率對結構振動特性的影響

將阻尼層比率定義為阻尼層厚度占板總厚度的比值。保持圓板厚度不變，改變阻尼層的厚度，圖8所示固有頻率和損耗因子隨阻尼層比率的變化趨勢。

圖8 阻尼層比率對ECDCCPS固有頻率(a)和損耗因子(b)的影響

由圖8可知：當結構的阻尼層比率增大時，結構的固有頻率均呈現不斷減小的趨勢，高階時表現更為顯著；損耗因子則隨阻尼層比率的增大先增大到峰值后急劇減小并趨于平緩，這說明存在結構設計的最優值，當阻尼層比率為0.4時，損耗因子達到峰值。這是因為當阻尼層厚度增加時，結構總厚度不變，而上下面板變薄，導致阻尼層的剪切應變不斷減小。因此阻尼層越厚阻尼性能不一定越好，較薄的阻尼層更能明顯增強結構的阻尼性能。

4.2 半徑大小與阻尼層厚度之比對結構振動特性的影響

保持結構半徑大小以及上下面板厚度不變，研究半徑與阻尼層厚度比對ECDCCPS固有頻率和損耗因子的影響。為表述方便，引入變量B，將其定義為半徑值與阻尼層厚度之比。圖9描述了改變B值時固有頻率和損耗因子的變化規律。

圖9 B值對ECDCCPS固有頻率(a)和損耗因子 (b)的影響

由圖9可知：隨著B值的不斷增大，一階固有頻率不斷增大并趨于平緩，高階固有頻率呈現不斷增大的趨勢；損耗因子隨B值的增大有突變的情況，表現為先急劇增大到極大值后不斷減小，說明該處存在結構設計的較優點。當B=273時，損耗因子達到峰值。這是因為此時恰當的阻尼層厚度使其得到了充分的受力變形，使得損耗因子達到最大。因此在半徑一定的情況下，取與半徑值適當比例的阻尼層厚度可以使結構擁有較大的剛度和較為理想的阻尼性能。

4.3 復合材料層厚度與阻尼層厚度之比對結構振動特性的影響

保持復合材料層厚度不變，改變阻尼層的厚度，定義二者比值為L，研究它對ECDCCPS動態特性的影響。圖10描述了L隨結構振動頻率和損耗因子的變化規律。

圖10 L值對ECDCCPS固有頻率(a)和損耗因子(b)的影響

如圖10所示：結構的固有頻率變化趨勢基本相同，隨著L的增大而增大；損耗因子隨L的增加先增大到極大值后不斷減小。這說明在復合材料層厚度一定時，適當增加阻尼層厚度可以明顯提高結構剛度，因此存在復合材料層與阻尼層厚度的較優比。當L=4時，結構的損耗因子較大，在此比例下的復合材料層和阻尼層使得ECDCCPS既有較強的剛度又有較為理想的阻尼性能，并且當結構的阻尼層厚度大于復合材料板厚度時，結構的剛度和阻尼性能均較差。

5 結論

文中研究了固支邊界條件下ECDCCPS的自由振動特性。利用Rayleigh-Ritz法得到ECDCCPS的振動控制方程，求解了結構固有頻率和損耗因子計算式；基于數值模擬與模態試驗，驗證了理論模型的正確性；并運用該理論模型進一步研究阻尼層厚度參數對ECDCCPS的影響規律，主要結論如下：

(1)當阻尼層比率為0.4時，損耗因子存在峰值。因此，較薄的阻尼層更能明顯增強結構的阻尼性能；

(2)在半徑一定的情況下，取與半徑恰當比例的阻尼層厚度可以使結構擁有較大的剛度和較為理想的阻尼性能；

(3)存在復合材料層與阻尼層厚度的較優比，為ECDCCPS設計優化提供參考。