分布卷積上的Levi-Civita聯絡

劉思瑤,王 勇

(東北師范大學數學與統計學院,吉林 長春 130024)

1 預備知識

定義1.1[1]若X,Y,Z∈Γ(M),則滿足

(1)

定義1.2[2]若M上的切向量叢TM存在子叢D,且當X,Y∈Γ(D)時,滿足[X,Y]?Γ(D),則稱D∈Γ(M)為不可積分布.同理,當X,Y∈Γ(D)時,滿足[X,Y]∈Γ(D),則稱D∈Γ(M)為可積分布.

由M上的ɡ可以得到分布D上的度量張量場ɡD.令D⊥∈Γ(M)為D的正交分布,則存在度量張量場ɡD⊥,且滿足ɡ=ɡD+ɡD⊥.

對于X,Y∈Γ(M),定義:

(2)

其中πD：TM→D和πD⊥：TM→D⊥為投射.

定義1.3[3]若X1,X2∈Γ(D),Y∈Γ(D⊥),滿足

(3)

ɡ(A(X1,X2),Y)=-ɡ(A(X1,Y),X2),

(4)

則稱此(1,2)型光滑張量場A為可積張量.

定義1.4[4]令(M,ɡM)和(N,ɡN)為偽黎曼流形,f：M→為光滑函數.由M×N及度量張量ɡM?f2ɡN構成的積流形稱為卷積,記作M×fN.

定義1.5[2]令(M,ɡM)和(N,ɡN)為偽黎曼流形且TM=D1?D1,⊥,TN=D2?D2,⊥.f：M→為光滑函數,πM：M×N→M和πN：M×N→N為投影.令:

(5)

(6)

(7)

定義1.7[5]若X1,X2,X3∈Γ(D),都滿足Rf,D(X1,X2)X3=0,則稱曲率張量Rf,D是平坦的.

定義1.8[2]若X1,X2∈Γ(D),定義D上的Ricci張量為

(8)

定義1.9 定義D上的數量曲率為

(9)

定義1.10[2]若X1,X2∈Γ(D),滿足

(10)

2 主要結果

性質2.1 若X1,X2∈Γ(D1),Y1,Y2∈Γ(D1,⊥),U1,U2∈Γ(D2),V1,V2∈Γ(D2,⊥),則:

性質2.2 若X1,X2∈Γ(D1),U1,U2∈Γ(D2),則:

性質2.3 若X1,X2,X3∈Γ(D1),U1,U2,U3∈Γ(D2),則:

(1)Rf,D(X1,X2)X3=RD1(X1,X2)X3;

(4)Rf,D(U1,U2)X1=0;

性質2.4 若X1,X2∈Γ(D1),U1,U2∈Γ(D2),則:

(2) Ricf,D(X1,U1)=Ricf,D(U1,X1)=0;

性質2.5D上的數量曲率為

定理2.1 若曲率張量Rf,D是平坦的,則D1為可積分布.

證明若曲率張量Rf,D是平坦的,則滿足[X1,X2]D1,⊥(f)=0,其中X1,X2∈Γ(D1).故[X1,X2]=[X1,X2]D1+[X1,X2]D1,⊥=[X1,X2]D1∈Γ(D1).

3 例子

例3.1 令M=,則有:

f：→,ɡD2?(πN)*ɡD2,⊥,

(11)

D=(πM)*(T)ɡD2.

(12)

性質3.1 若?t∈Γ(T),U1,U2∈Γ(D2),V1,V2∈Γ(D2,⊥),則:

性質3.2 若?t∈Γ(D1),U1,U2∈Γ(D2),則:

性質3.3 若?t∈Γ(D1),U1,U2,U3∈Γ(D2),則:

(1)Rf,D(?t,?t)?t=Rf,D(?t,?t)U1=Rf,D(U1,U2)?t=0;

(4)Rf,D(U1,U2)U3=RD2(U1,U2)U3-(f′)2(ɡD2(U2,U3)U1-ɡD2(U1,U3)U2).

性質3.4 若?t∈Γ(D1),U1,U2∈Γ(D2),則:

(2) Ricf,D(?t,U1)=Ricf,D(U1,?t)=0;

(3) Ricf,D(U1,U2)=RicD2(U1,U2)+[(m-1)(f′)2+ff″]ɡD2(U1,U2).

性質3.5D上的數量曲率為

(3)αD2+(m-1)(f′)2+ff″=αf2.

例3.2 令

(13)

f：M→,ɡD1?f2(πN)*ɡD2.

(14)

性質3.6 若X1,X2∈Γ(D1),U1,U2∈Γ(D2),則:

性質3.7 若X1,X2,X3∈Γ(D1),U1,U2,U3∈Γ(D2),則:

(1)Rf,D(X1,X2)X3=RD1(X1,X2)X3;

(4)Rf,D(U1,U2)X1=0;

性質3.8 若X1,X2∈Γ(D1),U1,U2∈Γ(D2),則:

(2) Ricf,D(X1,U1)=Ricf,D(U1,X1)=0;

性質3.9D上的數量曲率為