無記憶狀態反饋廣義H2控制

孫 鳳 琪

(吉林師范大學數學學院,吉林 四平 136000)

0 引言

廣義控制理論的提出,有效地改善了由魯棒性引起的系統性能衰竭與不穩定等現象,使系統具有了更好的動態穩態性能和穩定奇異攝動區間.記憶控制在外部干擾輸入變化不大的情況下效果良好,但當干擾信號復雜且頻繁變化時,就很難達到預期控制目的,此時無記憶控制就顯示出其控制方法的優越性.

近年來,廣義H2控制問題已成為自動控制理論及工程應用研究的熱門課題之一,在諸多學者的共同努力下,已形成了比較完善的理論體系.[1-3]

文獻[4]針對一類含有馬爾可夫跳變參數和時滯的廣義系統的L2-L∞控制問題,提出一種基于模態跳變的無記憶狀態反饋控制器的構造方法.其通過反證法、線性變換技巧以及矩陣分塊技術,將含有馬爾可夫跳變參數廣義系統的正則性轉化為系統矩陣不等式的可解性問題,給出一個新的控制器的設計方法.但矩陣分塊技術的引入帶來了計算復雜度的增加.文獻[5]研究了時滯系統的非脆弱廣義H2控制問題.設計了無記憶的狀態反饋控制器,使得對于所允許的不確定性,對應的閉環系統是穩定的,同時具有固定的廣義H2性能指標.利用線性矩陣不等式技術,得出時滯系統存在非脆弱廣義H2控制器的充分性條件.然而,在奇異攝動不確定性時的條件并沒有提及,系統存在單一性.

本文在記憶狀態反饋廣義H2控制器存在的理論基礎上[6],以Lyapunov穩定性定理、線性矩陣不等式方法以及交叉項界定方法為基礎,討論了系統廣義H2鎮定方法.選取新的依賴于時滯和攝動參數的二次型李雅普諾夫泛函,同時借助新的引理及交叉項界定方法,推出了在時滯依賴和時滯獨立2種情形下的無記憶廣義H2控制充分性的判據.

考慮如下系統:

(1)

設計無記憶狀態反饋控制器為

u(t)=Kx(t),

(2)

其中K是待定的控制器增益矩陣,則閉環系統為

(3)

其中

1 判定定理

以下結論中的時滯和不確定性滿足文獻[6]中的條件(2)—(3),當矩陣不等式條件(6)—(8)成立時,可得如下時滯依賴情形下的無記憶狀態反饋廣義H2控制定理:

其中:

類似文獻[6]中定理1,可構造新的Lyapunov-Krasovskii泛函:

其中Q,M為對稱正定矩陣,即Q>0,M>0,從而V(x(t))正定.

顯然,定理1的矩陣不等式條件對于變量Q,M,P,K和Z(ε)是非線性的,對定理1進行線性化,可得如下結果:

其中:

Φ12(0)=AdZ(0),

其中

2 推論

若去掉系統(1)中的不確定性矩陣F(t),則系統成為

(4)

其中系統矩陣等均與系統(1)相同,則閉環系統成為

(5)

其中:

由定理2得如下線性化推論.

其中:

若去掉系統(1)中的時變時滯可微函數d(t),則系統成為

(6)

其中系統矩陣等均與系統(1)相同,則閉環系統為

(7)

其中:

類似地,對于時滯獨立情形,若去掉系統(1)中的控制輸入u(t)和干擾輸入ω(t),則系統成為

其中系統矩陣等均與系統(1)相同,則可推出新的推論,此處略去.

3 算例

考慮如下帶有控制輸入和干擾輸入的時變時滯不確定控制系統:

令

δ1=1.031 3,δ2=3.915 0,η1=1.439 0,η2=4.755 0,η3=2.884 0,

Z1=1.578 9,Z2=-7.015 0,Z3=6.380 1,Z4=3.708 6,Z5=3.252 2.

表1 廣義H2穩定性能指標對比

由表1可見,定理2所設計的控制器有較大的奇異攝動參數上界值0.35,同時廣義H2控制區間在(0,0.35]內,大于文獻[7]的(0,0.3],擴大了閉環系統的漸近穩定范圍,最優L2-L∞性能指標1.320 1也相對較小.通過將本文所得定理的廣義H2穩定的性能指標與相關文獻對比,可見本文定理得到的控制器控制效果具有一定的優越性,并且適用于標準和非標準情形.

4 結論

本文可為多時滯奇異攝動控制系統研究提供理論參考.如何將結論推廣到輸出反饋廣義H2控制問題中、將連續奇異攝動系統拓展到離散奇異攝動系統[8],是進一步需要研究的問題;如何引入新的交叉項界定,使得即使結果具有一定的保守性,也能換取實際控制系統的可行性等[9-11],有待進一步探討.