半Markov跳變系統的有限時間耗散控制

李秀英,姜 囡

(1.通化師范學院數學學院,吉林 通化 134002;2.中國刑事警察學院聲像資料檢驗技術系,遼寧 沈陽 110854)

0 引言

眾所周知,Markov跳變系統作為一類特殊的混雜系統在電力系統、經濟系統和網絡控制系統等方面具有廣泛應用[1-6].但在Markov跳變系統中,Markov過程的駐留時間遵循指數分布,從而系統的轉移概率是常數.而半Markov跳變系統的駐留時間可以延伸到更普遍的分布,對比Markov跳變系統,半Markov跳變系統在實際問題中占有更重要的地位.文獻[7]研究了半Markov跳變系統的輸出反饋滑膜控制;文獻[8]給出了一類駐留時間依賴轉移概率的半Markov跳變系統的模態依賴H∞濾波器設計方法;文獻[9]考慮了具有時變時滯的半Markov跳變系統的輸出反饋控制問題;文獻[10]研究了一類具有時滯的半Markov跳變神經網絡系統的基于濾波器的故障檢測問題.

有限時間穩定是指系統的狀態在有限時間內不超過某個設定的閾值,因此,有限時間穩定能更好地刻畫系統的瞬態性能.文獻[11]針對有限頻段Markov跳變系統,研究了有限時間H∞濾波問題;文獻[12]研究了半Markov跳變系統的有限時間的H∞控制問題;文獻[13]研究了具有一般轉移概率的半Markov跳變系統的有限時間隨機穩定性分析與控制問題.

耗散控制是H∞控制的推廣,在系統穩定性理論研究中具有舉足輕重的作用,但關于半Markov跳變系統的有限時間耗散控制的研究成果還不多見.本文針對一類半Markov跳變系統,考慮了該系統的有限時間耗散性分析與控制器設計問題.將嚴格耗散概念引入半Markov跳變系統,設計了模態依賴耗散狀態反饋控制器,使閉環系統有限時間有界且嚴格耗散,給出了數值算例表明所給方法的有效性.

本文對于實對稱矩陣X,Y,X

1 預備知識

考慮如下連續半Markov跳變系統:

(1)

其中:x(t)∈n是狀態向量;u(t)∈m是控制輸入;ω(t)∈p是外部輸入且取值于L2[0,+∞)空間;z(t)∈q是控制輸出;x0,r0,t0分別表示初始狀態、初始模態與初始時間;{r(t),t≥0}是取值在有限集合S={1,2,…,N}內的連續時間半Markov過程,為表述方便,對任意的r(t)=i∈S,記r(t)的函數f(r(t))=f(i).對任意的r(t)=i∈S,Ai,Bi,Ci,Di,Gi,Hi是已知的適當維數的矩陣.

半Markov過程{r(t),t≥0}中,從模態i到模態j的轉移概率為

(2)

其中:

(3)

注1 半Markov過程中的轉移概率λij(h)是依賴于駐留時間h的時變的函數,較Markov過程具有更廣泛的研究意義.

假設1 對于給定的正數τ與T,外部輸入ω(t)是時變的且滿足以下約束條件:

針對系統(1),當u(t)=0時,給出如下定義:

定義1[12]稱系統(1)是關于(c1,c2,T,Mi,τ)有限時間有界的,如果滿足

其中00,i∈S.

注2 當系統(1)中ω(t)=0時,有限時間有界轉化為有限時間穩定,這表明有限時間穩定是有限時間有界的特殊情形.

考慮系統(1),當u(t)=0時,引入二次型能量函數

G(ω,z,T)=〈z,Qiz〉T+2〈z,Siω〉T+〈ω,Riω〉T,

定義2 給定對稱矩陣Qi,Ri和矩陣Si,稱系統(1)的自治系統(u(t)=0)是嚴格(Qi,Si,Ri)-耗散的,如果存在α>0,使得在零初始條件下,對任意的實數T≥0,有

E{G(ω,z,T)}≥αE{〈ω,ω〉T}.

假設2Qi≤0.

本文目的是對系統(1),設計模態依賴狀態反饋控制器

u(t)=K(r(t))x(t),

(4)

使閉環系統

(5)

是有限時間有界且嚴格(Qi,Si,Ri)-耗散的,相應的控制器稱為有限時間耗散狀態反饋控制器.

引理1[12]設τ1與τ2是有界的駐留時間且滿足0≤τ1≤τ2.若對于任意t∈[τ1,τ2],V(x(t),r(t),t)與LV(x(t),r(t),t)是有界的,則

注3 本文假設滿足引理1的條件.

引理2[12]設W∈n×n是對稱矩陣,x∈n是任意向量,則以下不等式成立:

λmin(W)xTx≤xTWx≤λmax(W)xTx.

2 有限時間耗散性分析

定理1 令u(t)=0,給定常數c1>0,T>0及對稱矩陣Qi,Ri和矩陣Si,半Markov跳變系統(1)是關于(c1,c2,T,Mi,τ)有限時間有界的.若在假設1下,則存在常數α>0,ρ>0和矩陣Pi>0,i∈S使得

(6)

(7)

(8)

其中

證明對系統(1)(u(t)=0),選取Lyapunov函數V(x(t),r(t),t)=xT(t)P(r(t))x(t),令L表示半Markov過程{r(t),t≥0}的弱無窮小算子,有

由(6)式可得LV(x(t),r(t),t)≤αV(x(t),r(t),t)+ρ2ωT(t)ω(t).

以e-αt乘上式兩邊得E{L[e-αtV(x(t),r(t),t)]}≤ρ2e-αtωT(t)ω(t),由引理1有

由引理2有

于是利用假設1有

(9)

同時

(10)

由(9)與(10)式可得

因此,由定義1知系統(1)關于(c1,c2,T,Mi,τ)有限時間有界.

定理2 令u(t)=0,給定常數c1>0,T>0及對稱矩陣Qi,Ri和矩陣Si,半Markov跳變系統(1)是關于(c1,c2,T,Mi,τ)有限時間有界且嚴格(Qi,Si,Ri)-耗散的.若在假設1與假設2下,則存在常數α>0,ρ>0和矩陣Pi>0,i∈S使得

(11)

(12)

證明利用Schur補引理,由(11)和(12)式可得

(13)

由定理1知系統(1)關于(c1,c2,T,Mi,τ)有限時間有界.令

J(t)=-zT(t)Qiz(t)-2zT(t)Siω(t)-ωT(t)Riω(t),

當(13)式成立時有

LV(x(t),r(t),t)≤αV(x(t),r(t),t)-J(t),

則

E{L[e-αtV(x(t),r(t),t)]}≤-E{e-αtJ(t)}.

在零初始條件下有

于是

E{G(ω,z,T)}≥αE{〈ω,ω〉T},

即系統(1)是嚴格(Qi,Si,Ri)-耗散的,于是定理2成立.

注4 當Qi=-I,Si=0,Ri=γ2I時,定理1的結果轉化為H∞性能,同時說明系統(1)關于(Qi,Si,Ri)-的嚴格耗散性包括H∞性能.

3 有限時間耗散控制

定理3 令u(t)=0,給定常數c1>0,T>0及對稱矩陣Qi,Ri和矩陣Si,半Markov跳變系統(1)存在有限時間耗散狀態反饋控制器.若在假設1與假設2下,則存在常數α>0,ρ>0和矩陣Xi>0,i∈S,Wij>0,i,j∈S,i≠j及矩陣Yi>0,i∈S使得(12)式與以下條件成立:

(14)

(15)

(16)

其中:

證明將(11)式中的Ai,Ci分別替換為Ai+BiKi,Ci+DiKi,有

(17)

(18)

4 數值算例

考慮形如系統(1)的半Markov跳變系統,系統參數如下:

模態1為

模態2為

對于i=1,2,設半Markov過程{r(t),t≥0}服從韋布爾分布,即

f1(h)=f2(h)=2he-h2,h>0,

則轉移概率矩陣為

轉移概率λ12(h)的數學期望為

取α=1,ρ=1,根據定理3可得

5 結 論

本文針對半Markov跳變系統,通過線性矩陣不等式和構造Lyapunov函數的方法,給出了半Markov跳變系統的有限時間耗散狀態反饋控制器的存在條件和設計方法,該控制器能保證閉環系統有限時間有界且嚴格耗散.數值算例結果表明,控制器可通過求解線性矩陣不等式而得到.