三角函數常見典型考題賞析

■趙 昆

三角函數是每年高考的熱點之一,高考主要考查三角函數的圖像與性質、三角函數的化簡與求值等。下面就三角函數常見典型考題,進行實例剖析,供大家學習與參考。

題型1:終邊相同的角

終邊相同的角之間相差360°的整數倍;終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數倍;終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90°的整數倍。

例1 (1)把-1480°寫成α+2kπ(k∈Z)的形式,其中0≤α≤2π。

跟蹤訓練1:已知角α=2025°。

(1)將角α改寫成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出角α是第幾象限的角。

(2)在區間[-5π,0)上找出與角α終邊相同的角。

提示:(1)因為,又是第三象限角,所以α是第三象限角。

題型2:象限角

判斷角α是第幾象限角的常用方法:將α寫成β+k·360°(其中k∈Z,β在0°～360°范圍內)的形式,觀察角β的終邊所在的象限即可。由α所在的象限確定2α所在的象限時,應注意2α可能不再是象限角,對此特殊情況應特別指出,如α=135°,而2α=270°就不再是象限角。

例2 若α是第二象限角,則180°-α是( )。

A.第一象限角 B.第二象限角

C.第三象限角 D.第四象限角

解:α為第二象限角,不妨取α=120°,則180°-α為第一象限角。應選A。

跟蹤訓練2:在0°～360°范圍內,找出與下列各角終邊相同的角,并判斷它們是第幾象限角。

(1)-150°;(2)650°;(3)-950°15′。

提示:(1)因為-150°=-360°+210°,又210°是第三象限角,所以-150°是第三象限角。

(2)因為650°=360°+290°,又290°是第四象限角,所以650°是第四象限角。

(3)因為-950°15′=-1080°+129°45′,又129°45′是第二象限角,所以-950°15′是第二象限角。

題型3:三角函數角的判斷

當角θ的終邊在不同象限時,其三個三角函數值的符號會發生變化,記憶的口訣是“全正切余”,即第一象限全為正,第二象限正弦為正,第三象限正切為正,第四象限余弦為正。

例3 若sinαtanα<0,且,則角α是( )。

A.第一象限角 B.第二象限角

C.第三象限角 D.第四象限角

解:因為,所以cosα<0。又因為,所以sinα<0,所以角α為第三象限角。應選C。

跟蹤訓練3:“θ為第一或第四象限角”是“cosθ>0”的( )。A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

提示:當θ為第一或第四象限角時,cosθ>0,所以“θ為第一或第四象限角”是“cosθ>0”的充分條件。當cosθ>0時,θ為第一或第四象限角或x軸正半軸上的角,所以“θ為第一或第四象限角”不是“cosθ>0”的必要條件。故“θ為第一或第四象限角”是“cosθ>0”的充分不必要條件。應選A。

題型4:sinα±cosα 與sinαcosα 關系的應用

sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα這三個式子,已知其中一個,可以求其他兩個,即“知一求二”,它們之間的關系是(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα。求sinα+cosα或sinα-cosα的值,要注意根據角α所在的象限判斷它們的符號。

題型5:已知tanα,求關于sinα 與cosα的齊次式的值

題型6:誘導公式的應用

誘導公式的應用策略:將已知角化為k·360°+α(k為 整 數,0°≤α<360°)或2kπ+β(k為整數,0≤β<2π)的形式;將原三角函數值化為角α的同名三角函數值,借助特殊角的三角函數值或任意角的三角函數的定義達到化簡求值的目的。對于角(k∈Z)”的變換遵循“奇變偶不變,符號看象限”的法則。“奇變偶不變”是指“當k為奇數時,正弦變余弦,余弦變正弦;當k為偶數時,函數名不變”。“符號看象限”是指“在角α的三角函數值前面加上當α為銳角時,原函數值的符號”。

例6 已知角α終邊上一點P(-4,3),則的值為_____。

解:因為P(-4,3)是角α終邊上一點,所以

題型7:三角函數的奇偶性與周期性的應用

解決三角函數的奇偶性與周期性問題的方法:利用函數的周期性,把x+nT(n∈Z)的函數值轉化為x的函數值;利用奇偶性,找到-x與x的函數值的關系,從而解決求值問題。若f(x+t)=f(x),則函數周期為t;若f(x+t)=-f(x),則函數周期為2t;若,則函數周期為2t;若,則函數周期為2t。

例7 下列函數中,不是周期函數的是( )。

A.y=|cosx| B.y=cos|x|

C.y=|sinx| D.y=sin|x|

解:函數y=|cosx|是周期函數,排除A。函數y=cos|x|=cosx是周期函數,排除B。函數y=|sinx|是周期函數,排除C。函數y=sin|x|不是周期函數,D 滿足題意。應選D。

題型8:三角函數單調性的應用

求正、余弦函數有關的單調區間,可利用正、余弦函數的圖像,結合它們的單調區間求解。確定函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)單調區間的方法:采用換元法整體代換,將ωx+φ看作一個整體,令z=ωx+φ,通過求y=Asinz的單調區間而求出此函數的單調區間,注意當ω<0 時,可利用誘導公式將x的系數轉變為正數。比較三角函數值大小的步驟:把異名函數化為同名函數,利用誘導公式把角化到同一單調區間上,利用三角函數的單調性比較大小。

例8 已 知 函 數f(x)=sin（ωx+）(ω>0),對 任 意x∈R,都 有f(x)≤,且f(x)在區間上不單調,則ω的最小值是( )。

A.1 B.3 C.5 D.7

解:由題意得是函數f(x)的最大值,所以,k∈Z,即ω=6k+1,k∈Z。

因為ω>0,所以取k=0,可得ω=1,且上單調遞增,這時不符合題意;

取k=1,可得ω=7,且f(x)=sin（7x+）,這時符合題意。

故ω的最小值為7。應選D。

跟蹤訓練8:函數f(x)=cos(x+θ)在[0,π]上為增函數,則θ的值可以是( )。

提示:對于A,f(x)=cosx,由余弦函數的性質知f(x)在[0,π]上為減函數,排除A。對于B,在[0,π]上先減后增,排除B。對于C,f(x)=cos(x+π)=-cosx,由余弦函數的性質知f(x)在[0,π]上為增函數,C 成立。對于D,在[0,π]上先增后減,排除D。應選C。

題型9:正切函數的圖像與性質的應用

題型10:和角公式與差角公式的應用

四個 公 式C(α±β)、S(α±β),雖 然 形 式 不 同、結構不同,但它們的本質是相同的,其內在聯系為-β)。對于公式C(α-β)與C(α+β),可記為“同名相乘,符號相反”,對于公式S(α-β)與S(α+β),可記為“異名相乘,符號相同”。使用和差角公式時,不僅要會正用,還要會逆用,如化簡sinβ·cos(α+β)-cosβsin(α+β)時,不要將cos(α+β)和sin(α+β)展開,應采用整體思想,作如下變形:sinβcos(α+β)-cosβ·sin(α+β)=sin[β-(α+β)]=sin(-α)=-sinα。對 于 公 式T(α+β),T(α-β),tanα·tanβ,tanα+tanβ(或tanα-tanβ),tan(α+β)(或tan(α-β)),三者可“知二求一”。

例10 求值:

跟蹤訓練 10:下列化簡正確的是( )。

題型11:給值(或式)求值

對于給值求值問題,當“已知角”有兩個時,“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式;當“已知角”有一個時,應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系,應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”。

題型12:給值求角

給值求角的實質是轉化為給值求值,先求角的某一三角函數值,再求角的范圍,最后確定角的大小。

例12 已知sin(α+β)=sinα-sinβ,若,且β∈（0,π ）,則β=( )。

題型13:二倍角公式的應用

公式的正用:從條件出發,順著問題的線索,以“展開”公式的方式使用。公式的逆用:逆向轉換,應用時要求對公式特點有一個整體感知,主要形式有2sinαcosα=sin2α,等。公式的變形應用:將公式進行簡單等價變形后,利用其新形式,主要形式 有1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=

題型14:函數y=Asin(ωx+φ)的圖像與性質的應用

給出y=Asin(ωx+φ)的圖像的一部分,確定A,ω,φ的三種方法:先從圖像上可直接確定A和ω,再選取五點法中的“第一零點”代入“ωx+φ=0”(要注意正確判斷哪一點是“第一零點”),求得φ,或選取最大值點代入,k∈Z,選取最小值點代入,k∈Z,求得φ;結合五點法,將特殊點代入函數式,可以求得相關待定系數A,ω,φ,這里需要注意的是,要認清所選擇的點屬于五點法中的哪一點;利用逆向思維的方法,先確定函數的基本解析式y=Asinωx,再根據圖像平移、伸縮規律,確定相關的參數。

例14 已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖像,如圖1所示。

(1)求函數f(x)的解析式。

(2)將函數f(x)的圖像向左平移個單位,再將圖像上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)得到函數g(x)的圖像,求函數g(x)在區間[0,π]上的值域。

解:(1)由圖可知,,可得T=π,則ω=2,這時f(x)=Asin(2x+

圖2

A.函數g(x)是奇函數

B.函數g(x)在區間[-2π,0]上是增函數

C.函數g(x)的圖像關于點(3π,0)對稱

D.函數g(x)的圖像關于直線x=-3π對稱