復合材料變截面壓桿變形性能研究

馬 森 趙啟林

（1 武警警官學院訓練基地，廣州 510440）

（2 南京工業(yè)大學機械與動力工程學院，南京 211816）

文 摘 為了對復合材料變截面壓桿的變形性能進行理論預測，本文以航天器空間桁架結構中的復合材料變截面壓桿作為研究對象，首先，基于經(jīng)典層合板理論，將復合材料變截面桿的壁板等效為主方向與桿軸線方向一致的正交異性板，此時復合材料變截面桿可近似為正交異性桿；其次，基于彈性變形理論和小變形假設，推導了反映桿軸向變形能力的等效軸壓剛度理論公式；最后，利用有限元對等效軸壓剛度理論的準確性進行了驗證。結果表明，不同中間半徑和變截面段長度條件下，理論值和有限元值之間的偏差基本保持在3%以內；不同鋪層角條件下，理論值和有限元值之間的偏差基本保持在2%以內。因此，本文的理論能夠較準確地預測復合材料變截面壓桿的變形。

0 引言

空間桁架結構由一定數(shù)量的一維桿件在空間拼接而成，非常適用于大型或特大型航天器的構建［1-2］。復合材料因具有諸多性能優(yōu)勢，在衛(wèi)星承力筒［3］、支架［4］、結構板［5］、支撐桿［6］等場合得到了大量應用。在空間桁架結構中利用復合材料桿作為主承力桿可以充分發(fā)揮復合材料的材料優(yōu)勢和桁架的結構優(yōu)勢，在滿足結構性能要求的前提下，使得結構的質量更小。

航天器結構上的桁架通常由接頭和復合材料桿套接而成，桿通常為變截面桿，變截面桿在實現(xiàn)構件輕量化、提升構件的連接性能等方面較均勻桿件均具有優(yōu)勢，2010 年NASA［6］首次將復合材料變截面桿應用于登月器桁架結構中。前期已有變截面桿結構方面的研究，如王建華［7］推導了在多個橫、軸向力協(xié)同作用下錐形鋼管桿變形的解析計算方法；崔允亮等［8］基于光纖監(jiān)測技術對大直徑變截面鋼管復合樁承載性狀進行了研究；N.K.GUPTA 等［9］對空心和泡沫填充的復合材料變截面殼進行了軸向荷載作用下的實驗研究；H.N.R.WAGNER 等［10］對軸壓荷載條件下的復合材料變截面錐形殼進行的屈曲問題的研究；本文作者前期也對復合材料變截面桿進行了研究［11］，取得了一定的成果。

基頻是在對航天器結構進行設計時需要考慮的重要因素，復合材料桁架結構在滿足結構的基頻要求方面很有優(yōu)勢［12］，在質量確定的情況下，桁架桿的軸向變形性能（或軸壓剛度）成為影響桁架結構基頻的主要因素。目前，對復合材料變截面桿軸向剛度性能的研究還比較少，本文以航天器桁架結構中的復合材料變截面壓桿作為研究對象，從理論角度出發(fā)研究桿的軸向變形性能，為復合材料在航天領域的應用提供支撐。

1 復合材料變截面壓桿軸向變形問題

復合材料變截面壓桿是指截面尺寸沿軸線方向變化的復合材料空心桿，該類桿具有易于實現(xiàn)結構輕量化、便于實現(xiàn)與節(jié)點的連接等優(yōu)點，是航天器桁架結構中常用的主承力構件，如美國Altair 號登月器［6］空間桁架結構主承力構件，如圖1所示。

圖1 美國Altair號登月器空間桁架結構Fig.1 Aerospace truss structure of America Altair lunar lander

典型復合材料變截面桿的結構和材料相關參數(shù)示意圖如圖2 所示，桿橫截面為圓形，沿軸線方向主要分為兩個部分：均勻段和變截面段。該類桿與傳統(tǒng)桿的區(qū)別主要體現(xiàn)在兩個方面：材料方面，桿身由復合材料纏繞而成，變形需要考慮復合材料的各向異性；結構方面，桿的橫截面尺寸沿軸向是變化的，桿的變形不能再按照均勻桿來考慮。

圖2 典型復合材料變截面桿結構及材料示意圖Fig.2 Diagram of structure and material of composite strut with varying cross-section

對于圖2中的復合材料變截面桿，截面變化可以通過截面半徑沿軸線方向的變化方程表示：

式中，半錐角α表示變截面段回轉體母線與桿軸線方向的夾角，小變形情況下可以認為截面半徑的方程保持不變。

作為航天器空間桁架結構的主承力構件，復合材料變截面桿的軸向變形性能（軸向剛度）對結構的基頻產(chǎn)生重要影響，因此對復合材料變截面桿的軸向變形性能進行分析十分重要。

2 基本方法

本文采取的基本思路是：首先基于經(jīng)典層合板理論，將空心桿壁板的平衡-對稱復合材料層合板等效為主方向與桿軸線方向一致的正交異性單層板（圖3），求得該正交異性單層板主方向的彈性參數(shù)；然后基于小變形假設，根據(jù)軸向荷載F和結構特點求得沿軸線方向的變形ΔL，繼而根據(jù)式（2）求得桿的等效軸壓剛度［EA］。

圖3 平衡-對稱復合材料層合板的近似Fig.3 Approximation of balanced-symmetric composite laminates

［EA］反映了復合材料變截面桿在軸力作用下的軸向變形能力，［EA］越大，桿件的軸向變形能力越小，［EA］越小，桿件的軸向變形能力越大。

2.1 剛度等效參數(shù)

對于復合材料層合板，以單位尺寸的殼體微元作為研究對象，該微元體上的內力分別為Nx、Ny、Nxy，根據(jù)復合材料力學［13-14］，層合板內力和應變之間的關系可以寫為：

式中，aij（i，j=1，2，6）為六階柔量矩陣a中對應位置的元素，稱為柔量系數(shù)，柔量系數(shù)是和材料參數(shù)、層數(shù)、鋪層厚度、鋪層角度有關的量。對于平衡-對稱鋪層，忽略平面內、外的應力耦合效應，在單向荷載Nx（Ny=Nxy=0）的作用下

可得x方向的彈性模量

式中，h為層合板的厚度。同理可得y方向的彈性模量

2.2 軸向變形計算公式

變截面桿的母線可以看作在A 點出現(xiàn)折點的折線（圖4），其中區(qū)域①對應桿的變截面段、區(qū)域②對應桿的均勻段。

軸向荷載F的作用下，由于環(huán)向約束等作用（實際應用中，在折點A 處一般也會做加強處理），可以假定桿件在折點A 處承受圖4所示的“滑輪約束”，即在外界荷載F的作用下，A 點兩側所承受力的大小是相等的，亦即

此時，A點兩側回轉體母線方向的面力均為：

式中，Rz為任意一點z處的截面半徑。

對圖4 中復合材料變截面桿軸向變形的分析可以針對變截面段和均勻段分別考慮。

2.2.1 變截面段軸向變形的分析

如圖5所示，取左側變截面段作為研究對象。

圖5 變截面段結構Fig.5 Structure of the part with varying cross-section

母線為直線，由空間幾何關系可得母線的長度

截面上任意一點z處的半徑Rz可以根據(jù)公式（1）求得，則z處單位圓周上母線方向的面力為

式中，h為桿壁板的厚度。

平均應變?yōu)?/p>

式中，Ez為桿壁板沿母線方向的彈性模量，可以根據(jù)式（5）求得。

將平均應變Δε沿母線方向積分可得母線方向的變形量：

根據(jù)空間幾何關系可得沿桿軸線方向的長度變化量為：

2.2.2 均勻段軸向變形的分析

均勻段長度L2=L-2L1，半徑為R2，軸力F作用下，均勻段軸向變形為：

荷載p作用下的軸向變形量為變截面段和均勻段變形之和：

根據(jù)桿的長度和變形可以求得桿的等效軸壓剛度［EA］：

從式（18）可以看出，影響復合材料變截面桿軸向變形性能的參數(shù)既有材料層面的參數(shù)Ez，也有結構層面的參數(shù)L1、R1、R2等。

下面利用有限元對該公式的準確性進行驗證。

3 數(shù)值算例

本節(jié)利用有限元對推導的復合材料變截面桿等效軸壓剛度理論進行驗證。

3.1 算例描述

算例中用到的材料為IM7/5582 復合材料鋪層，材料屬性如下：E1=144.79 GPa，E2=E37.58 GPa，G12=G213.6 GPa，μ12=μ21=0.3，μ23=0.35。單個鋪層的厚度標記為t。

利用有限元分析軟件ANSYS對復合材料變截面進行參數(shù)化建模和變形計算，典型有限元模型如圖6所示。

圖6 復合材料變截面桿典型有限元模型Fig.6 Typical finite element model of composite strut with varying cross-section

ANSYS 中，在復合材料變截面壓桿一端施加軸向壓力F，并計算其軸向變形量ΔL，根據(jù)式（2）即可求得其等效軸壓剛度［EA］。

3.2 結果及分析

分別改變變截面桿中間半徑R2、變截面段長度L2和復合材料鋪層角θ的值，分析這些參數(shù)的改變對等效軸壓剛度［EA］理論準確性的影響。

3.2.1 中間半徑R2的影響

控制IM7/5582 復合材料鋪層的厚度為t=0.1 mm、鋪層序列［75，-75，-65，65，65，-65，-75，75］（與環(huán)向的夾角）、桿長L=1 600 mm、變截面段的長度L1=400 mm、固定端半徑R1=20 mm、軸向荷載p=128 kN。取R2為區(qū)間［25，100］ mm中的一系列值。

圖7 給出了理論和有限元計算結果隨R2的變化趨勢；圖8給出了理論值和有限元值之間的偏差隨R2變化的趨勢。

圖7 R2對等效軸壓剛度的影響規(guī)律Fig.7 Influence of R2 on the equivalent axial compression stiffness

圖8 理論值和有限元值之間的偏差隨R2變化的趨勢Fig.8 Deviation between theoretical value and finite element value along with the change of R2

從圖7 可以看出，隨著R2的增大，等效軸壓剛度［EA］隨之增大，這是因為R2增大后，桿的橫截面面積增大，在彈性模量保持不變的情況下，桿的等效軸壓剛度基本與橫截面面積成正比，此時桿的等效軸壓剛度肯定增大。

從圖8 可以看出，隨著R2的增大，理論值和有限元值之間的偏差基本保持在3%以內。

3.2.2 變截面段長度L1的影響

控制桿總長為L=1 600 mm、固定端半徑R1=20 mm、中間半徑R2=60 mm、鋪層序列［75，-75，-65，65，65，-65，-75，75］（與環(huán)向的夾角）、軸向荷載p=128 kN。取L1為區(qū)間［100，750］ mm 中的一系列值，得到的計算結果如圖9所示，理論值和有限元值之間的偏差如圖10所示。

圖9 L1對等效軸壓剛度的影響趨勢Fig.9 Influence of L1 on the equivalent axial compression stiffness

圖10 理論值和有限元值之間的偏差隨L1變化的趨勢Fig.10 Deviation between theoretical value and finite element value along with the change of L1

從圖9 可以看出，在其他參數(shù)固定的情況下，隨著L1的增加，等效軸壓剛度［EA］隨之減小，這是因為隨著L1的增大，相同位置處，桿件的橫截面面積變小，軸向應力增大，軸向變形增大，加大了桿件的軸向變形，等效軸壓剛度變小。

從圖10可以看出，隨著L1的增加，理論值和有限元值之間的偏差基本保持在3%以內。

3.2.3 鋪層角的影響

控制桿總長為L=1 600 mm、固定端半徑R1=20 mm、中間半徑R2=60 mm、變截面段長度L1=400 mm、軸向荷載p=128 kN。鋪層序列為［θ］bs形式，“［θ］bs”表示鋪層按照平衡-對稱方式排列，鋪層角θ取區(qū)間［0，90］中的一系列值，得到的計算結果如圖11所示，理論值和有限元值之間的偏差如圖12所示。

圖11 鋪層角對等效軸壓剛度的影響趨勢Fig.11 Influence of ply angle θ on the equivalent axial compression stiffness

圖12 理論值和有限元值之間的偏差隨鋪層角θ變化的趨勢Fig.12 Deviation between theoretical value and FE value along with the change of ply angle θ

從圖11可以看出，在其他參數(shù)固定的情況下，隨著鋪層角的增加，等效軸壓剛度隨之減小，這是因為隨著鋪層角的增大，桿件壁板的鋪層在軸線方向的等效彈性模量Ez減小，相同荷載時桿的變形增大，等效軸壓剛度減小。

從圖12可以看出，隨著鋪層角的變化，理論計算值和有限元計算值之間的偏差基本保持在2%以內。

3.3 討論

本節(jié)分析了復合材料變截面桿中間半徑、變截面段長度和鋪層角的變化對等效軸壓剛度的影響。結構層面，考察了中間半徑和變截面段長度對等效軸壓剛度理論準確性的影響，理論值和有限元值之間的偏差基本保持在3%以內。材料層面，考察了鋪層角對理論值準確性的影響，理論值和有限元值之間的偏差基本保持在2%以內。

本節(jié)的工作表明，提出的理論能夠較好地預測復合材料變截面桿的軸向變形性能。

4 結論

本文的工作拓展了復合材料結構計算理論的研究，研究結果對實際工程中的復合材料結構設計具有指導意義，為進一步工作奠定了基礎，具體研究過程中得到以下結論。

（1）分析復合材料變截面壓桿的軸向變形性能，在材料層面需要考慮復合材料鋪層力學性能的影響，在結構層面需要考慮截面變化的影響。

（2）復合材料變截面桿的壁板由多個鋪層角度不同的復合材料纏繞而成，利用等效參數(shù)的思想將復合材料空心桿的壁板等效為主方向與桿軸線方向一致的正交異性板，此時復合材料桿可以近似為正交異性桿，同時可以得到正交異形板主方向的材料彈性參數(shù)；

（3）針對得到的正交異性桿，基于小變形假設，推導了反映桿軸向變形能力的等效軸壓剛度計算公式，該公式可以同時考慮材料參數(shù)和結構參數(shù)；

（4）利用有限元對推導的等效軸壓剛度理論的準確性進行驗證和討論，結果表明，本文的理論能夠較準確地預測復合材料變截面桿的軸向變形性能。