矩陣奇異值分解算法在圖像處理中的應用

張繼龍 曹石

摘要：隨著互聯網技術的飛速發展，矩陣分解尤其是矩陣奇異值分解在圖像處理、信號處理以及神經網絡等領域有著廣泛應用。針對圖像處理問題，文章首先給出了奇異值分解的基本理論，隨后分別介紹了奇異值分解應用于圖像壓縮及數字水印技術的基本原理并進行Matlab應用實現，最后構建了數據分析模型并進行了數值實驗綜合分析，將圖像處理的幾類應用結合實現了綜合性的圖像處理程序。

關鍵詞：矩陣分解；奇異值分解；圖像壓縮；低秩逼近；數字水印

中圖分類號：TP18? ? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2023）31-0001-04

開放科學（資源服務）標識碼（OSID） ：

0 引言

奇異值分解是特征分解在任意矩陣上的推廣，在互聯網技術發展后廣泛運用于解決各類實際問題，其中圖像處理問題是奇異值分解最具有代表性的應用場景之一。目前使用的圖像都是以數據形式進行存儲，對數據存儲的高要求使得在盡可能保持圖像清晰度的前提下減少圖像存儲空間，具有一定應用價值，而使用低秩逼近的方法進行圖像壓縮是一種在獲得相同壓縮比的前提下誤差較小的方法，能夠取得不錯的效果。

然而本方法在實際應用中依舊需要進一步獲取更多信息來平衡圖像清晰度和數據大小，數字水印是一種在圖像中嵌入信息的算法，同樣可以使用奇異值分解來進行處理。添加數字水印后進行圖像壓縮，之后再將水印提取，通過對比壓縮前后水印的相似度可以用于評估壓縮圖像后圖像信息的損失程度，以此來得到代表圖像清晰度的數據。在此基礎上，通過壓縮比以及圖像清晰度構建模型評估壓縮質量，以此在低秩逼近圖像壓縮算法的基礎上，進一步得到更具備實用性的圖像壓縮結果。

綜上所述，文章在利用奇異值分解低秩逼近圖像壓縮的基礎上，進一步結合數字水印技術來構建評估模型進行數據分析論證，得到了一種更具有實用價值的圖像壓縮處理方法，細化了圖像壓縮程序的應用實現，對該方法的應用進行了進一步的深入研究。

1 奇異值分解基本理論

1.1 奇異值分解定義[1-2]

定義矩陣的奇異值，對[A∈Cm×nr]，記[AAH]的特征值為[λi]，[AHA]的特征值為[μi]，可以通過直接計算得到[δi=λi=μi]，[δi]稱為[A]的奇異值。

對[A]進行奇異值分解：記[δ1≥δ2≥…≥δr>0]是[A]的r個正奇異值，則存在使得[A=UDVH=UΔ000VH]成立的m階酉矩陣[U]和n階酉矩陣[V]，式子中的[Δ=diagδ1，δ2，...，δr]為正奇異值為對角元的對角陣。

1.2 奇異值分解求解步驟

1） 通過求矩陣[AAH]的特征值[λi]，計算對應的奇異值[δi]，得到[Δ=diagδ1，δ2，...，δr]，計算[AAH]的特征值及特征向量，標準正交化后得左奇異矩陣[U]。

2） 由[A=UDVH]得[VH=D-1UHA]，此即[V=AHUD-H]。

3） 奇異值分解的形式為[A=UDVH]。

2 基于奇異值分解的圖像壓縮原理

2.1 利用低秩逼近的圖像壓縮方法

設[A∈Cm×nr]，[A]的奇異值分解形式為[A=UDVH]，可以將分解形式改寫為：[A=UD1+D2+...+DrVH]，其中[Dk=Δk000，Δk=diag（0，...，δk，...0）]，這樣就將[A]分解為了r個秩為一的矩陣之和，設[Ak=UD1+...+DkVH]，則[Ak]是矩陣[A]的低秩逼近，對于圖像來說，只需要將其圖像信息讀取為數據矩陣就可以通過低秩逼近來進行壓縮。

由矩陣[A]的Frobenius范數（F-范數）的酉不變性，[A]的F-范數[||A||F=||UDVH||F=||D||F=δ21+δ22+...+δ2r]，因此該方法可以表示為如下最小二乘問題：[minrankB=k||A-B||F=||A-Ak||F=δ2k+1+...+δ2r]，由于矩陣奇異值[δ1≥δ2≥...≥δr>0]，而往往其中前10%甚至更少的奇異值之和就能達到總和的90%以上[3]，少量奇異值就可保存較多信息，因此使用該方法進行圖像壓縮可以取得較良好的效果。

2.2 通過Matlab實現的算法實例

1） 讀入圖像數據，對于彩色圖像需要進行灰度化處理使其變成矩陣的形式。

將該圖片命名為test.jpg，分辨率為4 160×3 120，首先讀取圖像信息：

A = imread（'D：＼examset＼test.jpg'）;%將圖像信息存儲為數據矩陣A，A為3 120×4 160×3，3代表為彩色圖像

對A進行灰度化處理：

A_gray=rgb2gray（A）;%經過灰度化處理后的A_gray為3 120×4 160的灰度矩陣

[m，n]=size（A_gray）;%m為行數，n為列數

2） 設置壓縮比[ρ=mnkm+n+1][4]，[k]為保留的奇異值個數，[k]越小壓縮比越大，壓縮后占空間大小越小，清晰度也越低。

k1=20;k2=40;k3=60;k4=80;%設置k值間隔

rho1=m*n/（k1*（m+n+1））;rho2=m*n/（k2*（m+n+1））;

rho3=m*n/（k3*（m+n+1））;rho4=m*n/（k4*（m+n+1））;%計算壓縮比

根據本例設置的k值以及選取的圖像大小，計算得到的壓縮比分別為rho1=89.130 6，rho2=44.565 3，rho3=29.710 2，rho4=22.282 7。

3） 將灰度化矩陣作奇異值分解，低秩逼近后對灰度矩陣進行重構，讀取壓縮圖像。

A_gray1=double（A_gray）;%將灰度矩陣轉換為double型

[U，S，V]=svd（A_gray1）;%奇異值分解

S1=diag（S）;S2=diag（S）;S3=diag（S）;S4=diag（S）;%將奇異值矩陣轉化為列向量

S1（k1：end）=0;S2（k2：end）=0;S3（k3：end）=0;S4（k4：end）=0;%截取前k個奇異值

if m >=n%對奇異值矩陣進行低秩逼近

S1=[diag（S1）;zeros（m-n，n）];S2=[diag（S2）;zeros（m-n，n）];

S3=[diag（S3）;zeros（m-n，n）];S4=[diag（S4）;zeros（m-n，n）];

else

S1=[diag（S1），zeros（m，n-m）];S2=[diag（S2），zeros（m，n-m）];

S3=[diag（S3），zeros（m，n-m）];S4=[diag（S4），zeros（m，n-m）];

end

g1=U*S1*V';g2=U*S2*V';g3=U*S3*V';g4=U*S4*V';%重構得到壓縮后的灰度矩陣

g1=uint8（g1）;g2=uint8（g2）;g3=uint8（g3）;g4=uint8（g4）;%將矩陣轉為可顯示的格式

這樣就完成了對樣例圖像的壓縮實現，然而僅憑借主觀判斷是很難對[k]值進行取舍的，若[k]值選取較低，雖然壓縮比足夠大，然而壓縮圖像清晰度就可能不足，反之亦然，因此文章將繼續介紹一種通過添加數字水印并提取的方法對圖像壓縮質量進行評估，以完善該算法應用的實用性。

3 基于奇異值分解的數字水印

隨著數字產品普及、版權保護以及加密的要求，奇異值分解被應用于向圖片中添加數字水印[5-6]，例如通過提取水印檢查圖像是否因為某些攻擊受損，標識圖片信息等，且通過此方法添加的數字水印不會將圖片原本的信息過多改變，具有很好的隱蔽性。

3.1 數字水印添加的基本原理

設[A∈Cm×nr]，[A]的奇異值分解形式為：[A=UDVH]，添加數字水印矩陣[B]，可以進行如下處理：記[Q=B+D]，將矩陣[Q]作奇異值分解得：[Q=U1D1VH1]，取出奇異值矩陣[D1]，重新構建添加完數字水印后的新矩陣[H]：[H=UD1VH][7]。

得到的矩陣[H]就是需要的新矩陣，[H]能保存足夠多的圖像信息是因為對于圖像的數據矩陣而言，不僅矩陣[D]保存了圖像信息，左右奇異矩陣[U]和[VH]同樣保存了圖像信息。

3.2 利用Matlab進行數字水印添加實例

以圖像壓縮例子中所使用的圖像做例子，使用圖4作為數字水印圖像：

B = imread（'D：＼examset＼watermark.jpg'）;%讀取水印圖像信息

B_gray=rgb2gray（B）;%灰度化處理

B_gray=double（B_gray）;%轉換為可計算格式

Q=S+B_gray;

[U1，W，V1]=svd（Q）;

H=U*W*V';%將數字水印添加入圖2的灰度圖像中

這樣添加的數字水印可以通過對添加過程取逆的方法重新提取出來，若按照文章介紹的圖像壓縮方法將添加數字水印后的矩陣進行壓縮，則按照下列方法提取出的數字水印矩陣會與原水印矩陣有一些差異，這個差異與壓縮比是正相關的：

Q1=U1*W1*V1';Q2=U1*W2*V1';Q3=U1*W3*V1';Q4=U1*W4*V1';

B1=Q1-S;B2=Q2-S;B3=Q3-S;B4=Q4-S;%這些矩陣是根據上節介紹的算法進行壓縮的

因此，可以通過計算壓縮后提取的B1、B2、B3、B4等矩陣與原水印矩陣B的相似度來評估壓縮后圖像與原圖像的相似程度。

4 圖像壓縮質量評估數值實驗

4.1 評估模型

圖像質量評估的方法可以通過許多途徑實現[8]，文章通過數字水印將構建一個評估模型來評價圖像壓縮效果，模型由以下幾部分組成：

1） 相似度[NC=trB1BHtrBBH]，壓縮后提取的數字水印矩陣為[B1]，原數字水印矩陣為[B]。

2） 壓縮比[ρ=mnkm+n+1]。

3） 評估分數[final_score=ρ×NCweight_NC]，在本評估模型中取[weight_NC=60]時所得到的數據進行分析。

如圖6所示，根據本模型構造得到的評分變化曲線具有良好的性質，在最佳壓縮比附近區域變化較緩，因此可以通過平均值法得到對絕大多數相同像素大小圖像都較優秀的壓縮比選取結果。

4.2 評估數值結果

本節匯總了所使用的圖像所得的所有數據，采用如下方法進行數據分析：

1） 通過統計相同[k]值時的平均評分及其相似度數據作為分析依據，選取普遍更適用的結果。

2） 由于所采用數據均在同一相似度權重進行采集，因此根據數據分析結果，本節將就其應用需求不同進行分支討論。

表1為根據總共8組數據得到的綜合性結果，數據變化曲線將由折線圖展示，根據綜合統計，最佳[k]值選取在80可以取得綜合最優的效果。

若改變權重，對于相同大小的圖像所取到的最佳[k]值也會發生相應改變，文章分析得到的最佳[k]值可參考圖3的壓縮結果，若采取更高的清晰度權重，則最佳[k]值會相應變大，若需要更高的壓縮比，最佳[k]值就相應變小。可以根據實際應用需求進行適當調整，對于固定大小的圖像進行處理時，可以通過在最佳[k]值附近進行評估，對于文章所使用的圖像數據庫，可以進行如下細化，在[k=80]附近進行進一步評估，平均數據如表2所示，可以在此基礎上再進行細化，本文不再展示。

最終結果應該取在[k=85]和[k=70]附近，可以根據對于圖像清晰度以及壓縮空間的具體應用傾向進行選擇，而對于不同像素大小的圖像，繼續擴大分析圖像壓縮數據的數據庫都可以按本方法得到一個能夠普遍應用的最佳[k]值，只需要在程序中優先對圖像大小進行判斷與分類即可，因此本程序具有良好的可拓展性，已經初步具備可實際應用的條件。

5 結論與展望

文章系統性地介紹了適用矩陣奇異值的圖像壓縮及數字水印算法原理并將其結合，通過Matlab作為工具予以實現，創新性地使用了數字水印提取作為相似度標準，利用評估模型得到了所使用圖像同等像素大小適用壓縮比并進行細化研究，最終完成了具有初步實用性的圖像壓縮工具。

該方法還可以進行擴展，通過應用于更多大小的圖像數據庫來豐富各種處理情況下的最佳壓縮比選取，也可以通過進一步縮小壓縮比取值間隔來得到更精確的結果，對于相關內容的學習者來說，通過文章獲取有關矩陣奇異值分解應用實現的思路應當是有一些幫助的。

參考文獻：

[1] 張紹飛，趙迪.矩陣論教程[M].2版.北京：機械工業出版社，2012.

[2] 史榮昌，魏豐.矩陣分析[M].3版.北京：北京理工大學出版社，2010.

[3] 李順利，姚廷富，余萍，等.矩陣的奇異值分解在圖像壓縮中應用[J].電腦知識與技術，2022，18（19）：1-2，8.

[4] 張帥，董亞芬.基于奇異值分解的數字圖像壓縮及重構研究[J].信息技術與信息化，2017（S1）：112-115.

[5] BARNI M，BARTOLINI F，CAPPELLINI V，et al.A DCT-domain system for robust image watermarking[J].Signal Processing，1998，66（3）：357-372.

[6] YEN J C.Watermark embedded in permuted domain[J].Electronics Letters，2001，37（2）：80.

[7] 雷超陽，鐘一青.奇異值分解算法在數字水印技術中的應用[J].長沙交通學院學報，2008，24（4）：78-82.

[8] 王冠軍，幸濤，沈靜.基于奇異值分解與自然圖像統計的無參考圖像質量評價方法[J].信息技術與信息化，2022（1）：122-125.

【通聯編輯：唐一東】