高等數學教學設計探索與實踐
——以羅爾定理為例

李瑞芬

（金肯職業技術學院 江蘇 南京 211156）

當前很多高職院校的高等數學課程教學依然延續傳統的講授模式，強調知識的系統性、嚴密性，而知識的實用性、文化性及趣味性卻無法完全體現出來。2022 年5 月，新修訂的《中華人民共和國職業教育法》正式施行，其中強調職業教育“立德樹人、德技并修”的人才培養目標，將思想政治教育、職業道德教育、科學文化素養與專業技能培養放在同等重要的位置[1]。基于職業教育的理念與高職學生數學學習情況，高職數學教學更應注重學生綜合素質與核心素養的培養。正如李大潛[2]所說，數學是一種先進的文化，數學教學體現了素質教育的精神。在實際教學過程中，要結合知識點蘊含的數學史、數學文化，挖掘學生感興趣的元素，如此才能使學生愛學、想學，豐富學習內容，提高綜合素養。

1 以素質教育為目標的羅爾定理教學實施

1.1 學情分析

微分中值定理理論性強，是教學難點。職業院校學生的基礎知識薄弱，對學習缺乏興趣與毅力，故增加了教學難度。因此，教師在講授中值定理時應先聯系生活，激發學生的學習興趣，再充分理解定理的內容、證明、條件、應用，并在此過程中體會其中的數學方法。

1.2 教學目標

知識目標：掌握羅爾定理的條件、結論、幾何意義及應用。

能力目標：鍛煉學生分析問題的能力以及表達能力。

素質目標：培養學生的國家榮譽感、艱苦奮斗、科學精神，提升其綜合素養。

1.3 教學重點與難點

羅爾定理的條件與應用是該教學的重點；羅爾定理的證明則是教學的難點。

1.4 教學方法

“講授法”和“問題教學法”相結合，“互動式”和“啟發式”交互進行，采用多媒體動畫輔助教學。

1.5 教學過程

1.5.1 課程引入

引例：生活中的垂直上拋運動。乒乓球賽事中，要求發球員用手幾乎垂直上拋乒乓球，當球從拋起的最高點下降時，發球員方可擊球。乒乓球是我國的國球，通過該項運動可聯想到奧運精神，奧運的精神更高、更快、更強在我國的乒乓球運動中得到完美體現。此時可播放視頻，我國運動健兒發球和奪冠的精彩瞬間。

設計意圖：通過觀看視頻激發學生的學習興趣，培養學生的國家榮譽感與艱苦奮斗的精神。

實例：如圖1，在某個位置垂直上拋一個物體，然后在同一位置把它接住。在這里，物體沿直線運動，設它的位移函數是x=f（t），物體在開始時刻t=a與結束時刻t=b處于同一位置，即f（a）=f（b），那么在時刻t=a和t=b之間，必定有這么一個時刻t=c，在該時刻，物體的速度為零，即f'（c）=0。這個結論成立嗎？

圖1 垂直上拋物體示意圖

設計意圖：此實例和引例對應，均為垂直上拋，垂直上拋運動是生活中出現的現象，數學來源于生活、應用于生活。這個結論的成立可以通過羅爾定理來驗證，從而引出羅爾定理。

1.5.2 羅爾定理的定義

羅爾定理的條件：如果函數y=f（x）滿足如下三個條件：①在閉區間[a，b]上連續；②在開區間（a，b）內可導；③在區間端點處的函數值相等，即f（a）=f（b）。接下來引導學生給出定理結果，教師可引導學生思考定理的三個條件分別對應什么樣的圖形特征，請學生看圖觀察，思考出定理的結論。其中條件①閉區間[a，b]上連續表示圖形在區間上是連續不斷的，不存在間斷點。②在開區間（a，b）內可導表示圖形在區間內是光滑的，沒有尖點。③在區間端點處的函數值相等，表示函數圖形在兩個區間端點處到x 軸的高度一致，通過此分析，可以得出函數圖形具有如下圖2 形狀。

圖2 羅爾定理條件示意圖

讓學生觀察圖形并思考，從圖形上能看到何種規律。學生很容易得出結論:左邊的圖形和右邊的圖形是中間圖形的局部，均滿足羅爾定理的條件。左邊和右邊的圖形均有一條平行于x 軸的水平切線，中間的圖形有兩條平行于x軸的水平切線，因此得出結論：函數圖形至少有一條水平切線，且此切線平行于x 軸。

設計意圖：“互動式”和“啟發式”相結合，激勵了學生的學習主動性，同時也增強了學生對羅爾定理的記憶，更便于理解。

羅爾定理的完整表述是：如果函數滿足如下三個條件：

①在閉區間[a，b]上連續；

②在開區間（a，b）內可導；

③在區間端點處的函數值相等，即f（a）=f（b），

結論是則在（a，b）內至少存在一點，使得f（'）=0。

1.5.3 羅爾定理的證明

啟發式教學方式依然貫穿定理的證明過程，在授課過程中，教師可引導學生由果索因，定理的結論是要證明在區間（a，b）內存在一階導數為0 的點。此時可以數形結合，如圖2，通過圖形觀察：導數為0 的點可能是最大值點或者最小值點，但是函數在（a，b）內能否取到最大值和最小值呢？條件①告訴我們，函數在[a，b]上連續，閉區間上連續函數的最值性質又告訴我們，函數在閉區間上有最大值和最小值。接下來還有一個問題，最大值和最小值可能相等嗎？相等是什么情況？不相等又是什么情況？從而可以得到：

若M=m，則f（x）在[a，b]上恒為常數，因此在（a，b）內，恒有f'（x）=0。

第二種可能，Mm的情況：因為端點函數值由圖2 可以看出，最大值和最小值至少有一個不在端點處取得。那我們不妨設大M不在端點處取得，那么就應該在開區間內的某一個位置取得，也就是在（a，b）內必有一點即f（x）在處的值最大。在的鄰域內，取一個增量依然在這個領域內，f（x）在處函數值最大，那么是小于等于0 的。所以當大于0時，這個增量之比小于等于0。小于0 時，這個增量之比大于等于0。

條件②告訴我們，f（x）在區間（a，b）內的任意點都可導，那在點當然可導，點的左右導數存在且相等。導數等于這個增量比也就是這個函數的極限。根據極限的局部保號性，左導數大于等于0，右導數小于等于0。因此點的導數等于0。這樣，我們就分兩種情況證明出了羅爾定理。

設計意圖：以學生為主體的啟發式教學模式，激發學生的學習興趣，同時引導學生邏輯清晰的自主思考，將復雜的定理證明簡單化，達到了教與學雙向的良好效果。

接下來和引例對應，說明開始例子當中的位移函數就是定理中的函數時間間隔對應區間點對應時刻c。由羅爾定理的結論可知，在垂直拋球的過程中，必定有一時刻的速度為0。

1.5.4 羅爾定理的條件分析

羅爾定理的三個條件如果有任何一個不滿足，結論都可能不成立，如

圖3 例1 函數圖象

分析：引導學生觀察，f（x）是個分段函數，這個函數有如下特點：在（0，1）內可導，兩端點函數值相等，但f（x）在X=1處不連續，故不滿足羅爾定理的條件①。從圖中也容易看出在（0，1）內不存在導數等于0 的點。事實上，可以求出在（0，1）內，f（x）的導數等于1。

圖4 例2 函數圖象

圖5 例3 函數圖象

設計意圖：上述三個例子驗證了羅爾定理的三個條件如果有一個不滿足，結論可能不成立。即可能找不到使f'（）=0 的點。此三個例題放在一起，分別從定理的三個條件出發，體現了解決問題過程中考慮問題的嚴謹性、全面性，有助于學生考慮問題時良好習慣的養成。

那能不能認為，如果定理的三個條件不全成立時，一定找不到導數為0 的點呢？我們再來看這樣一個例題：

圖6 例4 函數圖形

分析：引導學生觀察，f（x）在[-2，2]上有定義，在x=1處不連續，從而也不可導，兩端點函數值也就是說，這里羅爾定理的三個條件均不滿足。而我們容易看出，x=0處，f'（0）=0。由此可見，羅爾定理的三個條件，不是結論成立的必要條件，而是充分條件。

設計意圖：全面理解羅爾定理的三個條件，解決問題時不僅要考慮問題的充分條件，還要考慮是否為必要條件。考慮問題時不僅要探究問題的廣度，深度也同樣重要，至此發散學生思維，提高其綜合素質。

1.5.5 鞏固提高

例5：設f（x）滿足以下條件：（1）f（x）在閉區間0,a上連續；（2）f（x）在0,a內可導；（3）f（a）=0；證明：在0,a內至少存在一點，滿足

1.2.6 定理的起源

1691 年，法國數學家羅爾在論文《任意次方程的一個解法的證明》中提出，這個多項式方程的兩個相鄰實根中間，另一個方程至少有一個實根，這個定理是羅爾定理的前身。羅爾當時對微積分的正確性提出了質疑，故此定理的證明方法是純代數的。一百多年后，意大利數學家貝拉維蒂斯提出了現在的羅爾定理。由于此定理是建立在羅爾提出的定理的基礎之上，故貝拉維蒂斯將此定理命名為羅爾定理。

設計意圖：講解羅爾定理的起源，學習科學家的探索精神和誠實謙遜的優良品德。

2 教學反思

學習完“羅爾定理”后，學生做了相關的練習題和調查問卷，總體反映學習效果較好，雖然定理的證明稍難，但是通過教師的引導與啟發式教學還是能理解掌握，故本次教學設計符合高職院校學生的學情，教學理念較為新穎，教學方法合理。教學設計中，特別是上課開始引入的乒乓球運動和奧運奪冠瞬間的視頻能激發學生的學習興趣，培養學生的國家榮譽感與艱苦奮斗的精神。課堂中，教師層層遞進，抽絲剝繭，能有效引導學生積極參與，認真思考，在此過程中學生能感受到知識點的整體性和學習相應的數學方法。此種教學設計不僅可以提高學生的數學思維，也提高了其綜合素質，培養了學生的綜合素養。

3 總結與展望

高等數學是一門抽象的學科，這種特點使學生在學習的過程中感覺難度大，因此，在教學過程中合理地使用引導式與啟發式的教學方法尤為重要。且提高數學核心素養與解決問題的能力是學生學習教學的主要目的。引導式與啟發式的教學方式更能激發學生學習興趣，提升其學習主動性，從而培養出會思考問題，能解決問題的學生，提高學生的綜合素養。