基于超螺旋二階滑模理論的直流微電網母線電壓控制

吳博寧，高志強，周雪松，馬幼捷，王成龍

( 天津理工大學電氣電子工程學院，天津 300384)

0 引言

國內外研究表明，相比于交流微電網，直流微電網在系統可控性、經濟性以及供電質量方面具有更加優越的性能［1-4］。

如何抑制直流微電網母線電壓波動，保證系統穩定運行，是直流微電網領域研究的熱點問題之一［5-7］。當直流微電網與交流電網相連時，往往是通過優化三相AC-DC 雙向變流器的控制系統來實現對母線電壓的控制。但在對變流器進行建模和控制時，變流器所帶負荷通常是復雜多變的，輸入側的電阻、電感、電容參數是不能精確測量的，而且隨著時間的推移還會出現一定程度的老化，存在參數攝動［8〗。因此，要保證直流微電網母線電壓恒定，就需要控制器對時變的直流負載以及參數攝動具有良好的魯棒性。

滑模控制是一種典型的非線性控制方法，它不依賴于被控對象精確的數學模型，對負載波動、參數攝動具有較強的魯棒性，近年來被廣泛應用于電機、整流器等系統中［9-10］。但在傳統的滑模控制方法中，需要較大的控制增益來提高系統的動態性能，過大的增益和控制的不連續性使得系統存在一定程度的抖振，嚴重影響了滑模控制在實際工程中的應用。

為削弱抖振影響，文獻［11-13］提出了一種變趨近律滑模控制方案，通過狀態變量偏差信號的大小來修正滑模切換項增益;文獻［14-15］將模糊控制與滑模控制相結合，利用模糊規則來調整更新滑模切換項增益。上述控制方法，本質上都是通過不斷調整、減小不連續滑模切換函數的增益來抑制系統的抖振，雖在一定程度上達到了抑制抖振的目的，但同時也增大了控制器的復雜程度，不利于滑模控制的進一步工程推廣。高階滑模控制在保持傳統滑模算法設計簡單、易于實現、魯棒性強等優點的同時，還能夠有效地抑制系統抖振，因此，成為了解決滑模抖振的新型控制方法。

文中針對高階滑模控制在直流微電網系統中應用較少的情況，將超螺旋( Super-Twisting，ST) 二階滑模控制算法應用于直流微電網三相AC-DC 雙向變流器控制系統中的電壓外環，以此來提高系統對負載波動、參數攝動等不確定性因素的魯棒性。最后，通過數字仿真驗證了該制策略的可行性與正確性。

1 三相AC-DC 變流器數學建模

直流微電網的電路拓撲如圖1 所示。

圖1 AC-DC 變流器電路拓撲Fig.1 AC-DC converter circuit topology

為得到更加簡明的直流微電網三相AC-DC 變流器數學模型，結合實際的電力系統，作如下假設:

1) 交流側電源是無窮大電源;

2) 交流系統是三相對稱系統;

3) 功率開關管是理想器件，無過渡過程、無功率損耗、無死區效應。

圖1 中，ea，eb，ec為等效交流電源;ia，ib，ic為交流側線電流; R 為線路等效電阻;L 為線路等效電感;C 為直流側濾波電容;Udc為直流側電容器兩端電壓;idc為直流側兩端電流;ic為流過電容器兩端電流;iL是流過負載兩端的電流; RL是直流微電網的等效負荷;Si是開關函數。

根據直流微電網三相AC-DC 變流器的電路拓撲圖，由基爾霍夫定律，可得三相AC-DC 雙向變流器在a，b，c 三相靜止坐標系下的數學模型為:

其中:

由于交流測電流是非線性時變強耦合的，不利于控制器的設計。因此，為簡化控制器設計，需采用坐標變換，將三相靜止坐標系變為兩相旋轉坐標系，具體變換矩陣為:

式中θ 為旋轉坐標系d軸與靜止坐標系a 軸的夾角。

聯立式(1) ～式( 4) 可得三相AC-DC 變流器在二維旋轉坐標系下的數學模型為:

其中:

式中ed、eq、id、iq、Sd、Sq為三相AC-DC 變流器交流側電壓矢量、電流矢量、開關函數在旋轉坐標系dq軸上的分量。

設U*dc為母線電壓給定，定義電壓誤差狀態變量x

式(8) 兩邊對時間t求導，得:

將id改寫為i*d ，用以表示id同時作為電壓外環控制變量和電流內環給定指令兩個含義。將式( 9) 改寫為式(10) 所示的狀態方程:

式中w為未知的外部擾動，將設w可微，且其微分有界。

2 控制器設計與穩定性證明

2.1 超螺旋二階滑模控制簡介

二階滑模之所以可以抑制抖振，是因為二階滑模將實際控制輸入u(t) 的微分信號u·(t) 虛擬成為新的控制變量。通過設計不連續的虛擬控制u·(t) 來確保滑模變量s能夠在有限的時間收斂于零，并保持二階滑動模態，即s =。而實際控制輸入u(t) 則是通過對虛擬控制(t) 求積分得到的，因此實際控制輸入u(t)是連續的，從而有效地削弱了系統的抖振。

當系統狀態方程與控制律u(t) 的相關度r≥1時，則控制器可以簡化為:

式中ε、κ、ρ 為控制器參數。

從式(12) 可知，超螺旋二階滑模算法的實現不需要知道任何關于滑模變量的微分信號。同時，根據文獻［16-17］，當ρ=1 時，系統將得到指數穩定的二階滑模;當ρ=0.5 時，系統將最大可能實現二階滑動模態。

2.2 超螺旋二階滑模控制器

通過式(9) 、式(10) 可知，直流微電網三相AC-DC雙向變流器的狀態方程與控制變量id的相關度為2。根據式(12) ，取ρ=0.5，可得超螺旋二階滑模的控制律為:

式中s為滑模變量，ε、κ 為控制器參數。

選取電壓的偏差信號以及偏差信號的微分信號作為滑模函數的狀態變量，則可得滑模面為:

根據霍爾維茨穩定性判據，只需要c ＞0 ，系統式(14) 就是大范圍漸近穩定的。

針對式(10) 設計基于超螺旋的二階滑模控制律:

式(14) 兩邊同時對時間求導得:

聯立式(8) 、式(10) 、式(15) 、式(16) 可得:

令:

聯立式(17) 、式(18) ，得:

從式(19) 可知，在控制器參數整定的過程中，可將實際系統的控制增益b2融入到參數α、β 的調節，而無需關注b2是否已知，這樣只許調整κ，ε，使其滿足式(19) 的穩定性要求即可。進一步的說明了超螺旋二階滑模控制的實現不依賴于被控對象精確的數學模型。

聯立等式( 14) 、式( 15) ，可得二階滑模的控制器框圖，如圖2 所示。

圖2 二階滑模控制框圖Fig.2 Block diagram of second-order sliding mode control

2.3 穩定性證明

令:

記(f(t) )' = g(t) ，則式(19) 可以被改寫為:

至此，把超螺旋二階滑模穩定性問題轉化成為了式(21) 在平衡點是否大范圍漸進穩定。

對于式(21) 所示系統，定義Lyapunov 函數如下:

式中ηT= ［η1，η2］=;P 為正定實常數矩陣。

式中A=。

根據轉置矩陣的性質，可知:

對Lyapunov 函數求導，聯立式(23) 、式(24) 可得:

進而整理可得:

當α＞0 ，β＞0 時可知，矩陣A 是Hurwitz 矩陣，對于任意給定的正定矩陣Q，一定存在著一個正定矩陣P 滿足式(27) :

記V1(z1，z2)=ηT( ATP+PA) η=ηTQη，因為V1(z1，z2) 是二次正定函數，所以有:

結合實際的電力系統與式(10) 中的假設，可認為g(t) 為有界函數，不妨設g(t) ＜L，故而一定存在一常數μ＞0 ，使得不等式(28) 成立。

根據2 范數的定義與性質可知:

聯立式(25) ～式(30) 可得:

3 仿真分析

為了驗證所設計的二階滑模控制器的控制效果，文中采用了控制變量的分析方法，即僅電壓環控制器不同，其余變量和參數均相同。用Matlab/Simulink 搭建了如圖3 所示的直流微電網，系統參數和控制器參數如表1 和表2 所示。

表1 系統參數Tab.1 System parameters

表2 控制系統參數Tab.2 Parameters of control system

圖3 直流微電網Fig.3 DC micro-grid

圖4為兩種控制器在仿真期間的總體控制效果圖。從圖4 可知，與PI 控制器相比，文中設計的超螺旋二階滑模控制器在啟動特性、負載突變、參數攝動、光伏并網等工況下都具有較大的優勢。下面將從上述幾個方面詳細介紹二階滑模控制器。

圖4 總體控制效果圖Fig.4 Overall control effect

(1) 兩種控制器的啟動特性比較。

圖5為直流微電網三相AC-DC 雙向變流器采用不同控制策略帶載啟動時的母線電壓波形圖。從圖5 中可知，一方面，兩種控制器控制下的系統上升時間是相同的，但二者的超調量卻相差甚大，其中二階滑模控制器控制下的系統的超調量幾乎為零，而PI 控制器控制下的系統的超調量為6.4%。根據PI 控制器比例增益的物理意義可知，如果想要繼續減小超調量，就要調小比例增益，但這會增大上升時間，不利于系統的快速啟動。另一方面，二階滑模控制下的系統，當母線電壓到達額定電壓700 V 時，就基本維持在額定電壓附近，幾乎無暫態過程，而PI 控制器還需要經過一系列的過渡過程才能維持在額定電壓附近。綜上所述，二階滑模控制器相比于PI 控制器在啟動特性和魯棒性方面更具有優勢。

圖5 采用不同控制方式系統啟動時母線電壓波形Fig.5 Voltage waveform of bus when the system starts up with different control modes

(2) 負載驟減。

母線電壓維持在700 V，直流側電阻性負載在0.3 s 時突然減半，母線電壓波動如圖6 所示; 系統穩定運行，恒功率性負載在0.5 s 時突然減半，母線電壓波動如圖7 所示。

圖6 直流側電阻性負載減半時的電壓波形Fig.6 Voltage waveform of half reduction of DC resistive load

圖7 直流側恒功率性負載減半時的電壓波形Fig.7 Voltage waveform of constant power load on DC side reduced by half

當負載電流突然減小時，由于電容兩端的電壓不能突變，所以直流側電流idc的變化要滯后于負載電流iL的變化，因此流過電容兩端的電流ic要減小。根據式(32) 可知母線電壓要發生跌落。

從圖6 和圖7 可知，二階滑模控制下的系統的過渡過程時間和電壓振蕩范圍都要小于PI 控制策略。因此，二階滑模控制策略在負載波動下能夠很好的抑制直流母線電壓波動，縮短系統的過渡過程時間。

(3) 參數攝動。

母線電壓維持額定值700 V，在0.7 s 時，交流側a相線路電阻突增至2.5 Ω，在0.85 s 時，參數攝動消失，母線電壓波動如圖8 所示。

圖8 參數攝動時母線電壓波動圖Fig.8 Bus voltage fluctuation with parameter perturbation

當交流側參數發生攝動時，二階滑模控制器的電壓波動更小;當參數攝動消失時，二階滑模控制器的超調和快速性均優于PI 控制器。因此，二階滑模控制策略在交流電網發生參數攝動時可以更好的穩定公共直流母線電壓，保證系統能夠以較快的速度恢復穩定。

(4) 光伏并網。

母線電壓維持額定值700 V，在1.05 s 的時候，光伏系統接入微網，母線電壓波動如圖9 所示;系統穩定運行，在1.3 s 的時候光照強度由1000 W/m2驟減至100 W/m2，母系電壓波動如圖10 所示。

圖9 光伏并網母線電壓波形圖Fig.9 Voltage waveform of photovoltaic grid-connected bus

圖10 光照驟減母線電壓波動圖Fig.10 Bus voltage fluctuation diagram with sudden decrease of illumination

根據能量守恒定律—系統輸入功率等于系統消耗功率，當光伏并網時，系統輸入側能量激增，而直流側恒功率負載消耗功率恒定，電阻性負載有限，只能將過剩的能量轉存至電容，根據式(33) 可知，母線電壓會升高。

同理，根據能量守恒定律，當光照強度減小，輸入側能量驟減，由式(33) 可知，母線電壓會下降。

綜上，由圖9 和圖10 可知，無論是光伏并網還是光照強度驟減，二階滑模控制下的系統的動態品質都要優于PI 控制器。因此，二階滑模控制器更加適用與光伏系統并網。

4 結束語

文中結合直流微電網三相AC-DC 雙向變流器的數學模型，通過選取合適的滑模面，設計了一種超螺旋二階滑模控制器，并將其應用于直流微電網三相ACDC 雙向變流器控制系統中的電壓外環，并從理論上證明了該控制器的設計的合理性與正確性。最后，數字仿真結果表明，該控制器在削弱傳統滑模控制器抖振的基礎上，有效地克服負載波動，參數攝動等不確定因素對母線電壓造成的影響，能夠更高效地接納分布式電源并網，保證了負載的即插即用。