基于距離加權(quán)的矩形擬合方法研究

楊洋

（深圳市華漢偉業(yè)科技有限公司，廣東 深圳 518000）

1 引言

機(jī)器視覺作為自動化系統(tǒng)中的“眼睛”和“大腦”，在推動智能制造向智能化、柔性化發(fā)展中起著重要作用。當(dāng)前，機(jī)器視覺主要有測量、定位、識別、表面質(zhì)量檢測四大應(yīng)用場景。光學(xué)測量作為實(shí)現(xiàn)非接觸式測量的關(guān)鍵技術(shù)和手段，在自動化生產(chǎn)過程中起著重要作用。在平面測量中，點(diǎn)、線、圓和矩形等作為常用的設(shè)計要素和基本幾何基元，解決上述基本幾何基元的精確估計，是實(shí)現(xiàn)精確尺寸估計關(guān)鍵技術(shù)。

圖像中的幾何測量是圖像分析和理解的重要內(nèi)容，也是機(jī)器視覺的基礎(chǔ)技術(shù)之一。為了滿足裝配、測量、品質(zhì)分類等場景的要求，很多時候需要從圖像中提取感興趣的幾何形狀，如直線、圓、橢圓、矩形等，并對它們進(jìn)行分析和計算，如求取它們的位置、方向、尺寸、面積、周長等參數(shù)。基于輪廓的矩形擬合方法主要存在以下兩方面的問題：①圖像輪廓的提取不一定準(zhǔn)確，可能會受到噪聲、遮擋、光照等因素的影響，導(dǎo)致輪廓不完整或不規(guī)則，從而影響矩形擬合的效果；②矩形擬合不一定穩(wěn)定，可能會受到輪廓點(diǎn)分布不均勻或離群點(diǎn)的影響，導(dǎo)致矩形擬合結(jié)果與目標(biāo)不一致或有較大誤差。

為了解決上述問題，本文提出了一種基于距離加權(quán)的矩形擬合算法，通過引入一個加權(quán)函數(shù)來給不同距離的點(diǎn)分配不同的權(quán)重，從而降低噪聲和異常值的影響，提高擬合精度和魯棒性。加權(quán)函數(shù)，給距離近的點(diǎn)更高的權(quán)重，給距離遠(yuǎn)的點(diǎn)更低的權(quán)重，如Gauss、Huber、Tukey 等加權(quán)方法。

本文首先介紹了基于距離加權(quán)的矩形擬合方法的原理和步驟，然后通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法在不同類型和條件下的圖像上的有效性和優(yōu)越性，并與其他常用的矩形擬合方法進(jìn)行了比較和分析。最后，總結(jié)了本文的主要工作和創(chuàng)新點(diǎn)，并指出了未來需要改進(jìn)和完善的方面。

2 研究與方法

矩形擬合是一種常用的圖像處理技術(shù)，矩形擬合的基本思想是根據(jù)一組點(diǎn)集（xi，yi），根據(jù)預(yù)測值和真實(shí)值的誤差的平方和最小的原則，完成矩形參數(shù)的估計，從而實(shí)現(xiàn)目標(biāo)檢測、識別或測量等功能。矩形是由相互正交和平行的四條直線構(gòu)成的，因此很多直線擬合的方法，可以用來解決矩形擬合的問題。常用的直線擬合的方法有霍夫直線檢測[1-2]、最小二乘直線擬合[3-5]、RANSAC直線擬合[6-8]等。本節(jié)首先介紹基于直線一般方程的最小二乘參數(shù)估計方法，然后結(jié)合聚類方法闡述點(diǎn)集劃分的方法，最后給出矩形擬合的基本步驟和原理闡述。

2.1 最小二乘直線擬合

直線的一般表示形式為ax+by+c=0，其中a2+b2=1。設(shè)輸入的點(diǎn)的坐標(biāo)為（xi，yi）（i=1，2，…，n），根據(jù)最小二乘原理，可以建立目標(biāo)函數(shù)為

2.2 坐標(biāo)點(diǎn)集合聚類分割

輸入的坐標(biāo)是一個數(shù)組集合，由于矩形擬合需要獲得每條直線對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，因此需要對數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行劃分。本文坐標(biāo)點(diǎn)分割的流程為：

1）根據(jù)輪廓點(diǎn)，獲取凸多邊形表示；

2）獲取凸多邊形中距離最遠(yuǎn)的兩個點(diǎn)，確定為矩形對角線的兩個點(diǎn)；

3）根據(jù)所述矩形對角線的兩個點(diǎn)，確定矩形的另外兩個點(diǎn)，確定方法為從剩余的輪廓點(diǎn)或凸多邊形剩余的點(diǎn)中，尋找與所述矩形對角線的兩個點(diǎn)分別形成的直線的夾角與90 度的差最小的像素點(diǎn)，以作為矩形中剩余的點(diǎn)。通過以下公式來尋找矩形中剩余的點(diǎn)：

4）將對尋找到的像素點(diǎn)進(jìn)行位置校正，以使得校正后的像素點(diǎn)與所述矩形對角線的兩個點(diǎn)分別形成的直線的夾角呈90°，可以通過以下公式來校正，以獲得剩余的兩個點(diǎn)：

5）計算各輪廓點(diǎn)與所述初始矩形四邊條的距離，根據(jù)距離，將輪廓點(diǎn)分割到與四邊條中最短距離的那一邊，以將輪廓點(diǎn)分割為四組，每邊對應(yīng)一組。

2.3 基于距離加權(quán)的最小二乘擬合

本文提出了一種基于距離加權(quán)的矩形擬合算法，它通過引入一個加權(quán)函數(shù)，給距離近的點(diǎn)更高的權(quán)重，給距離遠(yuǎn)的點(diǎn)更低的權(quán)重，從而降低噪聲點(diǎn)對擬合結(jié)果的影響。對于矩形的四條直線可以分別表示為

由于通過2.2 節(jié)已經(jīng)把輸入的邊緣數(shù)據(jù)點(diǎn)分割為四條直線對應(yīng)的數(shù)據(jù)點(diǎn)的集合，可以建立約束目標(biāo)函數(shù)為

權(quán)重初始化為，對a、b、c、d、e、f和λ分別求偏導(dǎo)數(shù)，并令其偏導(dǎo)數(shù)等于0，可以獲得參數(shù)a、b的初始解。后續(xù)可以根據(jù)Gauss-Newton 方法進(jìn)行迭代計算，獲得a、b最終解。a，b取值后，可以獲得矩形的4 個點(diǎn)的坐標(biāo)為

對于權(quán)重參數(shù)，常用的有三種：Gauss、Huber、Tukey，這三個權(quán)重函數(shù)的應(yīng)用效果都很好。Huber 權(quán)重定義表示為

Tukey 權(quán)重定義表示為

式中，τ為削峰因子，δ表示點(diǎn)到對應(yīng)直線的距離。這些點(diǎn)的權(quán)重在0～1 之間滑動變化，越接近理想擬合直線的點(diǎn)，所獲得的權(quán)重越大，否則權(quán)重越小或者等于0。對于閾值τ的選擇，通常經(jīng)過距離的標(biāo)準(zhǔn)差近似估計獲得。標(biāo)準(zhǔn)差的近似可以根據(jù)下式獲得[10]：

3 結(jié)果與討論

本文對6 個不同大小、不同旋轉(zhuǎn)角度的矩形進(jìn)行測試，獲得Least Square、Huber 和Tukey 三種情況下的矩形擬合結(jié)果，獲得擬合的矩形的中心（xc，yc）、主軸角度θ、主軸長L1和次軸長L2，Huber、Tukey 迭代次數(shù)為10 次。測試結(jié)果數(shù)據(jù)見表1。

表1 測試結(jié)果數(shù)據(jù)

輸入的圖像數(shù)據(jù)自上而下，自左向右，依次為工件1～工件6，不同算法的檢測結(jié)果如圖1 所示。

圖1 輸入圖像及不同算法檢測結(jié)果

傳統(tǒng)的方法通過提取點(diǎn)的坐標(biāo)，通過直線擬合獲得擬合的矩形信息。本文將2 個正方形進(jìn)行擬合測試，測試結(jié)果表明本文方法的兩個矩形的邊長的差距更小，具有更好的擬合效果，測試結(jié)果如圖2 所示，紅色為傳統(tǒng)方法的計算結(jié)果，綠色為本文計算結(jié)果，測試數(shù)據(jù)見表2。

圖2 對比測試結(jié)果圖

表2 對比測試結(jié)果數(shù)據(jù)

4 結(jié)束語

本文提出了一種基于距離加權(quán)的矩形擬合算法，通過引入一個加權(quán)函數(shù)，給距離近的點(diǎn)更高的權(quán)重，給距離遠(yuǎn)的點(diǎn)更低的權(quán)重，從而降低噪聲點(diǎn)對擬合結(jié)果的影響。通過幾何相似性，對輸入的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行分割，劃分為四組直線數(shù)據(jù)，將矩形參數(shù)的回歸轉(zhuǎn)化為基于直線參數(shù)的回歸，最后利用最小二乘法求解矩形模型的參數(shù)，利用了矩陣運(yùn)算和迭代優(yōu)化的方法，提高了算法的效率和收斂性。在機(jī)器視覺、智能制造等領(lǐng)域，可以利用矩形擬合來識別物體的位置、姿態(tài)、尺寸等信息，從而實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)的控制和優(yōu)化，具有很好的應(yīng)用和落地前景。

矩形擬合在智能制造領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用場景，如在半導(dǎo)體、3C 電子制造、新能源等領(lǐng)域，成為解決測量工藝節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵技術(shù)。主要應(yīng)用：半導(dǎo)體中掩膜板、Wafer晶圓的寬度、高度測量等；新能源領(lǐng)域中極片尺寸測量、極片清洗槽寬度測量等；3C 電子制造業(yè)中，手機(jī)面板、中框、背板等尺寸測量。