從數學語言到數學模型構建:初中數學思維進階研究

董建兵

(定西市通渭縣平襄鎮安川學校,甘肅定西,743300)

初中是培養學生數學思維的重要階段。在此階段,學生需要從基礎概念開始,逐漸學習計算技能,并向更高層次的數學思維發展。2022年《義務教育數學課程標準(2022年版)》(以下簡稱《課程標準》)提出,學生要能夠用數學的眼光感知現實世界,用數學思維思考世界,用數學語言表達世界。[1]隨著對數學要素的學習和理解,學生的數學思維能力需要不斷進階。數學課堂是培養學生數學感知、數學思維、數學審美的主要陣地。課堂中灌輸式的教學方法往往注重的是知識點等理論的學習和運算的機械訓練,缺乏對學生數學思維進階的引導和培養。通過引導學生從解決具體問題到學習抽象模型,可以培養其邏輯推理能力和問題解決能力,促進學生數學思維進階。探究從數學語言到數學模型以培養初中生思維能力的具體途徑,能夠為教師提供實用的教學策略和評價方法。

一、概念

數學語言是指用來表達數學概念、關系和推理過程的符號系統,可以用來描述和表達數學概念、關系和運算的符號系統和規則,包括數學符號、術語、定義、定理等。[2]因此可以通過數學語言和符號規則進行邏輯推理。

數學模型是對現實問題或抽象概念進行形式化描述的工具,用于描述現實世界中的問題或情境。[3]數學模型由符號、變量和關系構成,可以用來分析問題、預測結果和作出決策。數學模型可以是方程組、函數關系、圖形。通過對模型的分析和求解,可以預測、解釋或優化現實問題。數學模型在科學研究、工程設計、經濟管理等領域具有廣泛的應用。

數學語言是構建數學模型的基礎。運用數學符號和表達方式等數學語言,將現實問題轉化為數學形式,從而建立相應的數學模型。[4]通過分析和解釋數學模型,可以進一步深化學生對數學語言及其背后思維方式的理解。在初中數學教育中,培養學生從具體問題到抽象模型的轉化能力對發展數學思維至關重要。這種轉化過程涉及對數學語言的理解和運用以及對數學模型的構建和分析。引導學生在解決問題時靈活運用數學語言和數學模型,可以培養其邏輯思維、抽象思維和創新思維能力。

數學語言在分析和求解數學模型時有著重要作用。通過邏輯推理和數學方法,可以對數學模型進行推導、求解和優化,并得出問題的結論或決策。數學語言可以幫助學生理解數學模型的思想和結果。通過準確地使用數學符號和術語,可以清晰地表達問題的假設、條件及結論,使其他人能夠理解并驗證這些結果。總之,數學語言是構建和表達數學模型的工具,數學模型是通過數學語言對現實問題進行描述的結果。二者相輔相成,在數學教學中起到了非常重要的作用。

二、數學思維發展階段

數學思維是數學知識和科學知識的抽象結合。數學思維的形成是一個由淺到深、由低到高的語境體系形成過程。數學思維的系統性是實際應用的基礎,隨著學習的不斷深入,進而形成有序的思維邏輯。數學思維發展的基本過程大致可分為三個階段。

(一)初步認知與理解階段

初中數學知識包括顯性知識和隱性知識。前者側重于數學符號和基本概念的掌握,后者逐漸轉向知識的應用與創新過程。初中數學學習基本上是從外在認知到內在理解再到實際應用的循環過程,這個思維過程的進展也是從顯性認知到隱性邏輯推理的發展過程。可以從兩個方面理解初中數學知識的學習。一方面,在數學知識的感知中培養學生的思維能力。初中階段的學生往往以形象化的形式獲取數學信息。這些數學信息包括獨立的數學符號和相關的概念屬性,學生通過感知數學符號和概念屬性理解和掌握數學知識。在此基礎上,學生不斷地學習邏輯規律,在認知系統中逐步整合大量的數學符號和客觀要素,并結合自身的思維能力和邏輯特點,形成系統的認知。例如,在學習軸對稱圖形及其性質后,將軸對稱知識遷移到等腰三角形中,通過推理論證,構建等腰三角形及等邊三角形的性質和判定方法。另一方面,數學思維的層次性由知識基礎決定。不同年級的知識往往遵循由淺入深、由單一向綜合性發展的規律。數學思維的形成需要注重數學語言的學與練,加強豐富多樣的數學信息的獲取能力。在此過程中,教師需要通過客觀描述和系統解釋,使學生形成正確的、清晰的框架與模型,使學生在語言描述、圖片識別和邏輯推理過程中理解數學概念和數學定理,引導學生體會數學語言的內在邏輯和外在規律。

(二)試錯與改進階段

以假設試錯和用結論改進是初中數學內部框架中特定的學習與思考過程,進入識別和試錯是促進學生從符號學習向抽象思維的轉向。在這個階段,學生不斷地試錯與改進,加深對現有數學概念的理解,對知識的認知逐漸全面、系統。學生通過數學語言表達定理、公式和概念,隨后通過不斷理解知識體系而觸碰到未知領域,進而產生更進一步的學習。但存在的問題是,雖然學生在學習中解決難題時會加深理解,但有部分學生沒有進行下一步的思考和分析,當遇到更深層次的數學問題時,還是用舊方法解決,仍然不能突破創新。在這個過程中,教師需要引導學生,使學生明白在未知領域領悟知識需要一套自己的方法體系。一方面,學生需要在不斷提煉、整合、總結中形成獨特的數學表達和思維意識。通過對數學語言符號的淺層認知到深層理解,學生的數學思維能夠從感性認知提升到抽象、規律的深層分析,并結合自己對數學問題的思考,不斷試錯,產生新的數學理解。另一方面,通過運用數學語言,學生能夠使用邏輯思維表達數學的基本觀點、概念和規律,進而對數學問題的解決表達出自己的觀點,并作出客觀的分析和判斷。

(三)應用與創造階段

隨著理解的加深,學生逐步進入實踐應用階段。在此階段,教師要先展示實踐活動,之后要引導學生進行分析與總結。展示實踐的過程多是由外向內的練習過程,需要學生對邏輯結構進行重構;分析與總結過程多是由內向外的理解過程,需要以具體數學知識為支撐的創造性應用與實踐。這一階段,學生需要具有較強的操作思維和動手能力。在實踐過程如探索圖形面積中,教師可以運用割補等方法引導學生注重基本活動經驗的積累,在教學全程滲透轉化數學思想。解決這些問題不僅需要數學語言的邏輯表達,還需要創新應用、靈活使用數學語言。一方面,教師要將數學語言的傳授作為課堂的重要環節,在講授與推導過程中加強學生對過程的數學語言應用,讓學生逐步形成數學語言表達邏輯。另一方面,教師要引導學生廣泛應用數學概念和定理,使學生不但能夠在應用中思考數學語言的表達邏輯,而且能夠在頭腦中形成清晰的模型框架。

三、數學模型建構策略

(一)練習數學語言

教師應在課堂教學過程中深入分析數學定理、符號、公式、圖形與運算的不同形式,加強學生對數學語言的認知。首先,教師要注重培養學生對數學運算過程的數學語言表達邏輯,讓學生能夠標記出問題描述中的數學語言關鍵詞。這種數學語言的能力主要表現在對數學問題的延伸上,比如對數學術語和數學概念的表達需要清晰、簡潔。其次,教師需要引導學生對數學符號的再認知與創新運用,培養學生將數學問題符號化、用數學語言表述數學模型的能力。在數學符號、公式和運算的過程中,教師需要注重提供學生訓練應用數學語言表達的機會,引導學生應用數學語言解決數學問題。最后,教師可以適當提高直觀圖形語言的應用頻率。直觀圖形教學能夠提供學生數學語言的表達機會,使用圖形、圖表有助于培養學生的數學思維。

(二)基于實際情境

從具體問題到抽象模型的轉化是培養學生數學思維能力的關鍵。教師可以選擇具有現實意義的問題,讓學生意識到數學模型在解決實際問題中的價值。教師可以引導學生在實際情境中觀察、收集數據,鼓勵學生使用數學語言進行描述和匯總。培養學生觀察的眼光,指導學生將問題抽象為數學模型、建立數學方程或圖形,培養學生利用數學工具進行計算和分析的能力。例如,教師可以設問“在生活中,如何使凳子在不平整的地面更加平穩?”引導學生思考,用數學語言表達可以假設a、b、c、d為凳子的四條腿,想讓凳子平穩,就要使a、b、c、d離地面的距離均為零。根據本題的結論,教師可以引導學生將凳子的四條腿看作長方形,使學生理解用數學語言表達實際情境的思路。在真實的情況中分析問題,學生會逐漸理解數學模型與生活實踐密切相關,從而提高學習主動性。通過將具體情境與數學語言結合起來,學生能夠理解并運用數學語言進行推理和解決問題。教師可以引導學生對建立的抽象模型進行驗證和應用,通過實際計算或數據分析,檢驗模型是否可行,從而提供最終的有效解決方案。

(三)設計實踐活動

數學模型的建立在數學課堂教學中發揮著重要作用。教師不僅要從思想上認識到數學模型的建立對學生數學思維發展的重要性,而且要設計實踐活動推動學生從數學語言到數學模型建立的思維轉換。教師可以結合學生的思維特征、認知結構和知識水平,從數學語言開始,引導學生設計數學模型。將生活情境作為關鍵素材,結合現實生活中的材料,將其轉化為一系列的數學問題,在實踐中建立模型,進行檢驗和修正,最后得出結果。讓學生在實踐中面對困難、解決問題,最終達到應用數學模型解決實際問題的真正目的。基于實踐解決問題的教學設計能有效提升學生的數學思維能力。在實踐中學習,教師要設計有趣的學習活動,選擇的活動內容要有層次感,要能激發學生的思考及討論,要讓學生有窮盡思維的可能性。通過引入有趣且具有挑戰性的問題情境,鼓勵學生在探究中解決問題,激發學生的思維活力。

四、數學思維進階策略

(一)抓重點

第一,注重教學設計。課本是學生的學習依據之一。[5]學習能力是在信息收集的同時逐步形成的。教師只有幫助學生整合已有知識、精心策劃教學活動,才能更有效地培養學生思維的靈活性。第二,抓住問題的關鍵表達。對于典型的數學問題,教師需要引導學生使用數學語言進行歸納和表達,提高學生對典型問題的理解程度。第三,選擇模型結構。教師要根據不同的問題選擇合適的數學模型。總之,要抓住問題的重點和關鍵,訓練學生的數學思維過程,培養學生的數學學習能力。

(二)抓過程

過程是思維進階的關鍵,審題過程包括文字語言、符號語言和圖形語言的理解過程。教師要教導學生審題過程要仔細,要讓學生在已有的知識經驗基礎上,逐字逐句地分析數學語言,細心推敲,弄清題意,逐句進行數學語言翻譯,將隱含的內容轉換為顯性內容。在解題的過程中,更要引導學生緊密聯系題設與結論,前后呼應構建數學模型,找到解題的突破點,思考不同的解題思路。

(三)抓總結

完成一個單元的學習后,教師可抽出10分鐘左右的時間讓學生用數學語言復述所學內容,并將學到的內容詳細分類、勾畫思維導圖,以串聯起新舊知識,形成完整的知識圖譜。[6]學完某個數學知識后,學生需要按照知識點的連續性,將所學知識語言化、條理化、邏輯化、系統化。這也是思維進階的過程,教師要促使學生不斷地從數學語言轉化到數學模型,使用活化的知識點和概括化的模型提高數學整體建構。

五、評價方法

評價是對數學思維能力培養效果的衡量和反饋手段。通過合適的評估方法,可以了解學生在數學思維方面的發展情況,教師可以根據評估結果進行教學調整和個別指導。常用的評估方法如下。

(一)考試與辯論

作業和考試是常見的評估手段。教師可以通過給學生設置問題、讓學生解決實際問題或應用數學模型等方式測試學生的數學思維能力水平。[7]教師可以設置選擇題、填空題、計算題及開放性問題等,在作業與考試中對學生的知識理解、應用分析、綜合思維等方面進行評價。教師還可以組織小組討論或開展課堂辯論,引導學生進行數學問題的分析、推理和解決。通過觀察和記錄學生的參與程度、思維邏輯和表達能力等方面,評估學生在數學思維方面的進展。

(二)建模與競賽

建模是指將生活中的問題轉化為數學模型,通過分析和解決模型能夠更清晰地理解和解決問題。教師需要選擇合適的數學工具和評價方法,客觀地評價學生建立的模型,在推理和驗證模型中考查學生的理解深度。[8]例如,圖形的識別、口頭的表達和提出的問題等,都可作為模型評價的主要指標。教師要注意是選用的每一個指標都要能反映建模的真實過程。

數學建模競賽是一種提高初中生數學思維能力的有效途徑。競賽需要讓學生在限定時間內解決實際問題,運用數學工具和數學方法進行建模和分析,最后通過比賽成績和評委反饋,全面評估初中生的數學思維能力,為學生提供進步機會。

(三)反思與元認知

反思與元認知是指讓學生對自己的學習過程進行深入的思考和分析。元認知將個體看作一個主動的有機體,個體的主觀態度和情感被看作為元認知。元認知在自我調節中起重要作用。反思和元認知是一個循環過程,每次的知識循環都有其內在的連貫性。教師可以鼓勵學生反思自己在解決問題中遇到的困難、采取的策略及取得的成就,使學生更好地認識自己的不足,激發自己改進的動力。

數學思維能力的培養是教育領域持續關注和研究的重要話題。數學思維進階在未來發展中也面臨新的挑戰。在新課標引領下,教師要促進學生實現數學觀察—數學信息獲取—數學思維能力的轉變,立足數學語言本身,深入探索數學文字、符號和圖形的分類和概括,使學生對數學語言深入理解。數學語言的深入是從具體問題到抽象模型的建立過程,也是更高階的數學思維體現。將數學語言放在首要位置,引導學生進行數學知識的綜合應用,促進學生更高層面的思維發展,將認知與應用相互融合,輔助促進數學思維提高的評價方法,才能推動初中學生數學思維的不斷進階。