高考數學命題系統的構建與運用

何小亞 張艷虹 羅靜 陳友芳

1.華南師范大學數學科學學院(510631) 2.韶關學院數學與統計學院(512005)3.華南師范大學科學技術與社會研究院(510006)

一、引言

中國教育部于2016 年9 月13 日正式發布了《中國學生發展核心素養》總體框架[1].這一框架明確了各個學科教育的最終目標是學生發展的核心素養,即: 學生在接受相應學段的教育過程中,逐步形成的適應個人終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力.

中國教育部考試中心于2020 年1 月6 日正式發布《中國高考評價體系》和《中國高考評價體系說明》.這一評價體系最大的創新表現在: 一是充分發揮高考“指揮棒”的作用,引領基礎教育踐行“立德樹人”的素質教育; 二是由傳統的“知識立意”“能力立意”向“價值引領、素養導向、能力為重、知識為基”的綜合評價理念的轉變;三是由基于“考查內容”的一維評價模式向“考查內容、考查要求、考查載體”三位一體評價模式的轉變[2].那么,如何具體落實上述三個創新是各個學科必須解決的問題.華南師范大學的陳友芳教授就政治學科的測評做出了開拓性的探索[3-7].教育部考試中心的任子朝研究員及其團隊則就數學學科的高考測評做了基礎性和開創性的研究[8-13].

于涵等人(2018)提出:“新一輪高考改革提出了必備知識、關鍵能力、學科素養、核心價值四層考核目標,使高考的考試目標更加豐富、更加科學.高考數學科在考查過程中要體現基礎性、綜合性、應用性和創新性.”[14]

在“一核四層四翼”評價模型中,“學科素養”的考查,要求學生能夠在不同情境下綜合利用所學知識和技能處理復雜任務,具有扎實的學科觀念和寬闊的學科視野,并體現出自身的實踐能力、創新精神等內化的綜合學科素養.

筆者認為,學科素養是指滿足學生自身發展和社會發展所必備的學科方面的品格和能力,是學科的知識、能力和情感態度價值觀的綜合體.

任子朝、陳昂、趙軒(2018)指出:“數學科高考要研究和確定核心素養的考核目標.對數學核心素養的測量要以知識為基礎,以數學思想方法為引領,以情境為載體,注重綜合性和層次性.”[12]

筆者認為,通過高考評價來選拔學生,滿足高校的需要和國家的需要,這件事必須上通核心素養,實現“立德樹人”的核心價值要求;下達一線教學,解決教育教學中存在的問題,實現引領教學的目的.要實現這一“立德樹人、服務選才、導向教學”的目標,需要構建具備科學性、操作性、有效性以及能測量的學科高考命題系統.

2022 年11 月12 日,筆者對某市某區13 份數學高考命題多維細目表做了評價,發現存在著以下共同的硬傷: (1)用六條高中數學核心素養“數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象、數學建模、數據分析”作為測量的關鍵能力,不具備科學性和操作性; (2)數學的學科素養的內涵、外延不清楚,操作時出現與關鍵能力重疊交叉;(3)必備知識的能力層次不符合劃分的標準;(4)未能區分高考中能考察的核心素養與學科教育中的核心素養;(5)未能對“基礎性、綜合性、應用性、創新性”“理性思維、數學應用、數學探索、數學文化”做出科學性和操作性的細分;(6)缺乏分析數學試題結構的專業標準.

為解決上述問題,筆者運用質性研究方法,就數學學科的高考命題研究以下五個問題: (1)高考數學素養的內涵、外延是什么? (2)數學必備知識系統由哪些知識模塊和知識組塊構成? (3)高考數學核心素養的理論框架是什么? (4)有效地分析數學試題結構的評價模型是什么,運用效果如何? (5)數學試題命制的創新策略有哪些?

二、研究結果

(一)高考數學素養的內涵與外延

數學核心素養是學生發展核心素養在數學學習領域的具體化,是學生學習數學之后所形成的、具有數學特點的關鍵成就,是數學育人價值的集中體現,它是重要的、關鍵的數學素養.

何小亞(2015) 梳理全球各個國家的數學素養后提出:“數學素養是指滿足學生自身發展和社會發展所必備的數學方面的品格和能力,是數學的知識、能力和情感態度價值觀的綜合體.其構成要素包括數學運算、數學推理、數學意識、數學思想方法和數學情感態度價值觀.”[15]

數學素養是個體在面對純數學問題情境或實際問題情境時,能夠綜合運用數學的知識能力、思維方法和探究技能去發現提出問題與分析解決問題的綜合品質, 是知識和能力、觀念與方法、情感態度價值觀的綜合.綜合文獻[8,15-16]的研究結論,筆者認為,高考數學素養是考生面對數學活動情境時,能夠運用數學的知識、能力和思想方法,正確合理地理解問題、分析問題和解決問題的綜合品格.它是學生在數學活動中積累和構建起來的,是知識、能力、思想方法、情感態度價值觀的綜合.高考數學素養主要包括數學必備知識和數學核心素養.

(二)數學必備知識系統的構建

根據《普通高中數學課程標準(2017 年版2020 年修訂)》[17],確定數學必備知識系統由18 個知識模塊和68 個知識組塊構成;每個知識組塊由若干概念、原理、事實等知識點構成;一個知識點就是一個概念或者一個原理或者一個事實.

數學必備知識的認知要求分為心理意義和操作運用兩類.[18]數學必備知識的心理意義有兩個層次,了解: 能回憶出知識的言語信息;能辨認出知識的常見例證;會舉例說明知識的相關屬性.理解: 能把握知識的本質屬性;能與相關知識建立聯系;能區別知識的例證與反例.數學必備知識的操作運用有兩個層次,掌握: 在理解的基礎上,能直接把知識運用于新的情境.綜合運用: 能綜合運用知識解決問題.

以必備知識中的知識組塊或者是其中的概念、原理知識點為列的內容,以了解、理解、掌握、綜合運用為行的內容,就可以得到數學必備知識考察要求雙向細目表.利用此雙向細目表,可以為試卷的命制提供考查知識點和層次要求的依據,達到明確測驗目標,合理分配內容及其份量,提高命制試卷的效率和質量.多年的高考命題經驗表明,如上修訂過后的雙向細目表仍然解決不了數學核心素養考查目標和試題的難度判斷問題,需要構建更科學、更具體、更具操作性的高考數學核心素養系統以及數學試題結構評價模型.

(三)高考數學核心素養系統的構建

綜合文獻[8,15-16]的研究結論,結合可操作性和能考查測量的要求,確定高考數學核心素養包括關鍵能力和數學思想.關鍵能力主要包括: 數學運算、數學推理、空間觀念、數據分析、數學應用、數學創新(見表2).數學思想主要包括: 化歸、數形結合、分類討論、函數與方程、特殊與一般、隨機與推斷(見表3).綜上得到高考數學核心素養框架(見表4).

表1 數學必備知識的模塊與組塊

表3 數學思想

表4 高考數學核心素養框架

(四)數學試題結構評價系統的構建與運用

評價數學試題、試卷的難度是考試測評的重要內容.關于試題的難度,有兩個判斷標準.一是相對難度,即從考生的角度,計算考生的平均分得分率.一般來說,小于0.4 是難題,大于0.7 是容易題,在0.4 和0.7 之間屬于中等題;二是絕對難度,即從試題本身、從數學解題思維的角度考慮.目前絕對難度的完全量化還做不到,但何小亞(2008)提出了一個評價數學試題難度的三維標準: 一看知識點的多少,二看從已知到答案需要的步驟多少,三看步驟間跨度的大小[19]P21.前面兩個指標是可以量化的,但第三個指標只能定性分析,像輔助線的連接、函數的構造、無法具體化只能憑想象進行思維操作的對象、思路的選擇多但只有一條奏效、甚至是無功而返,都是跨度大的表現.[20]根據評價數學試題難度的三維標準得出,數學試題評價模型由題型、賦分、知識點數、問題理解、解題步數、步間跨度和難易程度構成(見表5).

表5 數學試題結構評價模型

幾點說明

1.知識點數: 一個概念或者一個原理(定理、性質、推論、公式、法則)或者一個事實就叫做一個知識點.需要給出知識點的總數,并羅列出具體的知識點.

2.問題理解: 即是問題空間(problem space)的建構.是解題者閱讀問題,明確題設和目標的過程.問題理解受制于問題情境的復雜程度.情境簡單、題干簡短、概念清晰、題設和目標明確為“易”;情境復雜、題干冗長、概念模糊、題設和目標及其關系不明確為“難”;介于“難”“易”之間的為“中”.有時候需要畫圖或者畫示意圖或者只能憑借想象來幫助理解問題,這時候的問題理解不容易.

3.解題步數: 由題設到結論的解題步驟總數,即推理步驟總數,也就是產生式總數.一步推理就是一個產生式[21].

4.步間跨度: 在推理過程中由一個產生式轉向下一個產生式的流暢程度,可分為三級: 流暢為“小”,不太流暢為“中”,不流暢為“大”.步間跨度大就是產生式之間的聯系困難,也就是難以想到.比如, ①理想化眼光(把實體簡化假設為幾何模式和代數模式); ②共性化眼光(對共同屬性的敏感、直覺與發現).例如,構造函數模型比大小、利用單調性確認值域、最值; ③數學思想, 比如, 化歸、數形結合、分類討論、特殊與一般,等等; ④構造基本圖形(比如,基本圖形的識別、想象、連輔助線而構造基本圖形); ⑤選擇性障礙: 從多個目標中選擇正確目標,這是一種符合乘法原理,幾何級數般放大難度的障礙.

5.難易程度: 由知識點數、問題理解、解題步數和步間跨度綜合考慮確定.運用上述數學試題評價模型,筆者對2022年數學高考全國I 卷的8 道選擇題進行分析.

A.{x|0 ≤x<2} B.

C.{x|3 ≤x<16} D.

解,所以,.

知識點數: 5——二次根式、不等式的性質、乘法、除法、求交集;理解問題: 易;解題步數: 4 個產生式;步間跨度: 小;難易程度: 易.

(2)若i(1-z)=1,則z+=( )

解由于,所以故z+=1+i+(1-i)=2.

知識點數: 6——復數加法、乘法、除法、i2=-1、共軛復數、移項;理解問題: 易;解題步數: 9 個產生式(1 除,2 移,3交換,4 乘i,5 算i2,6 負負得正,7 代入,8 去括號,9 合并);基本功扎實,具備“追求簡單化”靈魂的解題者只需5 步心算,秒殺! 步間跨度: 小;難易程度: 小.

(3) 在?ABC中, 點D在邊AB上,BD= 2DA, 記,則

A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

解.

知識點數: 4——向量的加法、減法、乘法、三角形法則;理解問題: 中,需要畫圖理解;解題步數: 產生式6 個;步間跨度: 中(第1 步和第2 步都是二選一);難易程度: 中.

(4)南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時, 相應水面的面積為140.0 km2; 水位為海拔157.7m 時,相應水面的面積為180.0 km2, 將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺,則該水庫水位從海拔148.5m 上升到157.7m 時,增加的水量約為( )

A.1.0×109m3B.1.2×109m3

C.1.4×109m3D.1.6×109m3

解

知識點數: 11——海拔高度、水面面積、棱臺、增加水量、棱臺體積公式、加、減、乘、除、乘方、開方; 理解問題: 難(背景復雜,需要畫圖理解);解題步數: 產生式11 個;步間跨度:大——第1 步問題理解困難,第2 步公式記憶不容易; 難易程度: 難.

(5)從2 至8 的7 個整數中隨機選取2 個不同的數,則這兩個數互質的概率為( )

解基本事件總數為,兩個數互質的基本事件為(2,3),(2,5),(2,7),(3,4),(3,5),(3,7),(3,8),(4,5),(4,7),(5,6),(5,7),(5,8),(6,7),(7,8)共14 個,所以兩個數互質的概率為.

知識點數: 8——整數、隨機、互質、概率、組合數公式、加、乘、除法;理解問題: 中(隨機、互質、概率);解題步數: 產生式18 個;步間跨度: 中——互質數對的計數并不簡單;難易程度: 中.

解由題設知b= 2,由,及,k∈Z,求得.所以,

知識點數: 11——弦振動函數、縱向平移、最小正周期、不等式、中心對稱、周期公式、零點是中心對稱點、加、減、乘、除;理解問題: 難(畫示意圖理解問題)解題步數: 產生式17個(1+11+5);步間跨度: 大——零點是中心對稱、求b;難易程度: 難.

(7)設a=0.1e0.1,,c=-ln 0.9,則( )

A.a

解令a=xex,,c=-ln(1-x).

①lna- lnb=x+ lnx- (lnx- ln(1 -x));y=x+ln(1-x),x∈(0,0.1],,所以y<0,所以lna-lnb<0,故b>a;

②a-c=xex+ln(1-x),x∈(0,0.1],

令k(x) = (1 +x)(1 -x)ex- 1, 所以k′(x) =(1-x2-2x)ex> 0, 所以k(x) >k(0) > 0,y′> 0.所以a-c>0,故a>c.

知識點數: 14——指數函數、對數函數、對數運算、不等式、4 個求導公式、用導數判斷單調性、加、減、乘、除、分式通分;理解問題: 易;解題步數: 產生式43 個(13+13+17);步間跨度: 大——構造前三個函數、構造函數k(x);難易程度: 難.

(8)已知正四棱錐的側棱長為l,其各頂點都在同一球面上,若該球的體積為36π且,則該正四棱錐體積的取值范圍是( )

解根據題意易求球的半徑為R= 3.設正四棱錐的高為h,底面邊長為a(如圖所示),于是根據勾股定理可構建如下方程組:

圖1

知識點數: 18——正四棱錐概念、棱錐體積公式、球概念、球體積公式、勾股定理、二元二次方程組求解、換元法、兩個求導公式、用導數判斷單調性、最大值、最小值、加、減、乘、除、乘方、開方;理解問題: 難(球心的位置有三種可能,畫圖困難);解題步數: 產生式62 個(求半徑6+求體積式16+取值范圍40=2+3+7+4+8+7+8+1);步間跨度: 大——畫圖困難、選擇性障礙、換元構造函數;難易程度: 難.

這8 道選擇題考查的數學核心素養情況見表6

表6 數學核心素養考查表

(五)數學試題命制的創新策略

結合多年的數學高考命題或命題組長工作經驗,要想命制出從未問世的中上難度以上的數學創新試題,首先,命題者必須具備數學創新思維“十字訣”: 假(假設)、列(列舉)、比(比較)、替(替代)、除(突破常規想法),可(可能性推測)、想(想象)、組(組合)、六(六W 問題)、類(類比推廣)[22];其次,命題者要掌握以下五種基本的數學試題創新策略.

(1)簡單變復雜

①增加知識點; 增加解題步驟; 設置跨度大的解題步驟; ②弱化、減少條件;類比;變換;構建一個同構問題;一般化;系統轉換.

例1(Ⅰ) 寫出并證明勾股定理;(Ⅱ) 請將勾股定理推廣到三維空間,并判斷所推廣的命題的真假.若真,請給予證明;若假,請舉出反例.

例2(Ⅰ)試證明定理P:平行四邊形兩條對角線的平方之和等于其四條邊的平方之和;(Ⅱ)請將定理P 推廣到三維空間,并判斷所推廣的命題的真假.若真,請給予證明;若假,請舉出反例.

例3由圖2 有面積關系,則由圖3 有體積關系

圖2

圖3

例4在平面幾何里,有勾股定理“:設三角形ABC的兩邊AB,AC互相垂直,則AB2+AC2=BC2”,拓展到空間類比平面幾何的勾股定理,研究三棱錐的側面面積與底面面積間的關系,可得出正確的結論是“設三棱錐A-BCD的三個側面ABC,ACD,ADB兩兩垂直,則____.

例5等差數列{an} 具有如下性質:an-an-1=d;; 等比數列{an}具有如下性質: ,.類比出等比數列{an}前n項之積為____.

(2)復雜變簡單

以難題、大學問題、競賽題為基礎,使用以下使復雜變簡單的策略進行試題創新: 增加條件;降維;變換;特殊化(具體化、賦值、特例).

例6數學分析中Lipschitz 函數的初等化.

A是定義在[2.4]上且滿足如下條件的函數φ(x)組成的集合:

①對任意的x∈[1,2] , 都有φ(2x) ∈(1,2); ②存在常數L(0

(II) 設φ(x) ∈A, 如果存在x0∈(1,2), 使得x0=φ(2x0),那么這樣的x0是唯一的;

(III) 設φ(x) ∈A, 任取x1∈ (1,2), 令xn-1=φ(2xn),n= 1,2,··· , 證明: 給定正整數k, 對任意的正整數p,成立不等式.

例7函數的Maclaurin 級數展開式.

(II)證明:an=n!e-[n!e],這里[x]表示實數x的整數部分;

(III)證明: e 是無理數.

(3)命題自身結構的重構

根據原命題構造逆命題、否命題、逆否命題、偏逆命題.正確就證明,錯誤就舉出反例,開放性得到體現.

例8(Ⅰ)試證明定理P:平行四邊形兩條對角線的平方之和等于其四條邊的平方之和.

(Ⅱ)請寫出定理P 的逆命題,并判斷其真假.若真,請給予證明;若假,請舉出反例.

(4)命題之間的組合

把命題A和命題B并列組合、交叉組合(A∩B=C將C弱化或去除部分因素)構造創新試題;通過知識點組合或者知識之間的聯系組合,或者圖形組合來構造新試題.

例9(圖形組合)如圖4 所示,AF、DE分別是圓O、圓O1的直徑,AD與兩圓所在的平面均垂直,AD= 8.BC是圓O的直徑,AB=AC=6,OE//AD.

圖4

(I)求二面角B-AD-F的大小;

(II)求直線BD與EF所成的角.

例10(函數與立體幾何組合)如圖5 所示,等腰△ABC的底邊, 高CD= 3, 點E是線段BD上異于B、D的動點.點F在邊BC上,且EF⊥AB.現沿EF將△BEF折起到△PEF的位置,使PE⊥AE.記BE=x,V(x)表示四棱雉P-ACFE的體積.

圖5

(I)求V(x)的表達式;

(II)當x為何值時,V(x)取得最大值?

(III)當V(x)取得最大值時,求異面直線AC與PF所成角的余弦值.

例11(圖形組合,動靜組合)如圖6 所示, 已知曲線C:y=x2與直線l:x-y+2 = 0 交于兩點A(xA,yA)和B(xB,yB),且xA

(I)若點Q是線段AB的中點,試求線段PQ的中點M的軌跡方程;

例12(集合與不等式組的組合) 若集合E={(p,q,r,s) | 0 ≤p

A.200 B.150 C.100 D.50

(5)試題形式創新

試題的形式要求表述新、背景新、設問新.聯系實際(生活、生產、自然、跨學科);數學建模; 數學探究; 開放性問題;存在性問題;新的定義(定義新概念、定義新運算、定義新性質)

例13(背景創新,數學探究)

在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間,某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱雉”形的展品,其中第1 堆只有1 層,就一個球;第2,3,4,··· 堆,最底層(第一層)分別按圖7 所示方式固定擺放,從第二層開始,每層的小球自然壘放在下一層之上,第n堆第n層就放一個乒乓球,以f(n)表示第n堆的乒乓球總數,則f(3) =____;f(n)=____.(答案用n表示).

圖7

例14(新概念、新運算)設S是至少含有兩個元素的集合.在S上定義了一個二元運算“?”(即對任意的a,b∈S,對于有序元素對(a,b), 在S中有唯一確定的元素a?b與之對應).若對于a,b∈S, 有a?(b?a) =b, 則對任意的a,b∈S,下列等式中不恒成立的是( )

A.(a?b)?a=aB.[a?(b?a)]?(a?b)=a

C.(b?b)?b=bD.(a?b)?[b?(a?b)]=b

例15(數學探究,分類討論)已知雙曲線的左、右頂點分別為A1,A2, 點P(x1,y1),Q(x1,-y1) 是雙曲線上不同的兩個動點.

(I)求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程;

(II)若過點H(0,h)(h> 1)的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個交點,且l1⊥l2,求h的值.

例16(新定義, 數學探究)設A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐標系xOy上的兩點,現定義由點A到點B的一種折線距離ρ(A,B)為ρ(A,B) = |x2-x1|+|y2-y1|.對于平面xOy上給定的不同的兩點A(x1,y1),B(x2,y2)

(I)若點C(x,y)是平面xOy上的點,試證明:ρ(A,C)+ρ(C,B)≥ρ(A,B);

(II)在平面xOy上是否存在點C(x,y),同時滿足

①ρ(A,C) +ρ(C,B) =ρ(A,B); ②ρ(A,C) =ρ(C,B).若存在, 請求出所有符合條件的點; 若不存在,請予以證明.

三、研究結論

(一)高考數學素養是考生面對數學活動情境時,能夠運用數學的知識、能力和思想方法,正確合理地理解問題、分析問題和解決問題的綜合品格.它主要包括數學必備知識和數學核心素養.

(二)數學必備知識系統由高中數學18 個知識模塊和68個知識組塊構成.

(三)高考數學核心素養的理論框架由兩個一級指標關鍵能力和數學思想構成,關鍵能力主要包括: 數學運算、數學推理、空間觀念、數據分析、數學應用、數學創新;數學思想主要包括: 化歸、數形結合、分類討論、函數與方程、特殊與一般、隨機與推斷.

(四)有效地分析數學試題結構的評價模型見表5.運用此模型, 對2022 年數學高考全國I 卷的8 道選擇題進行分析,其結果與最終的試題相對難度完全一致.這一結果驗證了文獻[23]的研究結論.

(五)數學試題命制的創新策略有簡單變復雜;復雜變簡單;命題自身結構的重構;命題之間的組合;試題形式的創新.

四、問題討論

(一)數學特點問題

數學自身獨有的、有別于其余學科的特點是: 精確、嚴謹、簡潔、概括和聯系統一[24].這是命制高質量的數學試題和試卷的數學標準.考查不同知識模塊之間的聯系統一是創新題、難題的主要任務,由此體現綜合性、應用性和創新性的命題要求.

(二)數學思想問題

數學的靈魂是“追求簡單化! ”而化歸則是這一靈魂實現的思想.公理化思想是數學所特有的思想,它是數學思維和數學理論系統發展的重要基礎.筆者將其歸入“數學創新”指標中來考查.而統計思想、隨機思想則歸入“隨機與推斷”指標.

(三)中國高中六條數學核心素養問題

數學抽象實際上屬于數學化, 其操作性定義是從數學世界或真實世界中提出數學問題、數學概念、數學原理.筆者將其歸入“數學創新”中考查.邏輯推理歸入“數學推理”指標中考查, 并按照數學教育的國際標準, 劃分為演繹推理(deductive reasoning)——必然性推理;合情推理(plausible reasoning)——或然性推理[16].直觀想象歸入“空間觀念”和“數形結合”指標中考查.數學建模則歸入“數學應用”中考查.由于數學考試時間的限制,現有的高考并不能真正考查完整的數學建模過程,尤其是數學建模中體現理想化的“小循環”和“大循環”過程.

(四)試卷結構、難度和題型問題

為了突出數學的“強國”地位,擴大選拔考生分數區間,解決分數扎堆、選拔性不好的問題,以及解決語文、英語和數學三科“文重理輕”的結構不平衡問題, 建議調整這三科的總分為: 語文150 分,英語100 分,數學200 分.數學考試時間調整為和語文一樣(150 分鐘)[23].考慮到文理合卷的現實,比較好的難度分數比例結構是易20%、中30%、中上30%、難20%; 五道填空題, 可以選擇三道分別按照易、中; 中、中上;中上、難來設置兩空: 六道解答題都設置三問,前三道題的三問按照“易、中、中上”的難度設置,后三道題的三問按照“中、中上、難”的難度設置.不能把很多選擇題和填空題小題當著解答大題來出.確定好創新題和難題后,一定要運用雙向細目表來保證那些重要知識點的覆蓋率,避免再出現重復內容、重復方法的考查[23].

目前,多選題的計分原則是: 4 道題,每題5 分,共計20分.全部選對得5 分,部分選對無錯得2 分,選錯得0 分.由此看出,多項選擇題本質上就是用考生的一個錯誤否定了考生的多個正確,根據筆者多年命題的經驗以及廣大一線教師反饋的意見,建議學習上海卷簡化題型的趨勢,取消多項選擇題.

(五)數學高考試題的情境問題

《中國高考評價體系說明》中指出,高考評價體系中的情境分為“生活實踐情境”和“學習探索情境”,并分成簡單情境與復雜情境兩個層次.考慮到數學學科的獨特性,根據荷蘭著名的數學家、數學教育家Hans.Freudenthal 的水平數學化與垂直數學化理論[25],筆者確定數學學科的情境分為真實世界的情境(社會生活情境、自然科學情境)和出純數學世界的情境.簡單的情境易于考生理解問題,復雜的情境是考生理解問題的障礙.

五、研究展望

對試題和試卷的難度的評價標準,需要利用此模型對過往試題的結構(知識點數、問題理解、解題步數、步間跨度)進行分析,再結合此題當年的相對難度(考生考試結果的難度),最終從知識點數、問題理解、解題步數、步間跨度綜合確定相對合理、科學的難度判斷標準.

問題理解是影響試題難易程度的重要指標,但它受制于解題者的水平,是個相對指標.那么如何確認符合高考測量要求的這一絕對指標的具體內容是需要進一步研究的問題.

表4 和表5 這兩個評價模型,也可以用于義務教育階段數學試題和試卷的評價.筆者期待出現這一評價系統的應用性研究.