對一道橢圓中平面向量數量積為定值模考題的拓展

北京市第十二中學高中部(100071) 劉剛

1.試題呈現

題目(2021 年4 月北京市豐臺區高三二模) 已知橢圓,過點(-1,0)的直線l交橢圓C于點A,B.

(1)當直線l與x軸垂直時,求|AB|;

(2)在x軸上是否存在定點P,使為定值? 若存在,求點P的坐標及的值;若不存在,說明理由.

試題考查了橢圓的標準方程、直線和橢圓的位置關系、平面向量數量積坐標公式以及定值問題,考查了直觀想象、數學運算等數學核心素養.試題構思巧妙,內涵豐富,是一道具有研究性學習價值的好題.第(1)問求得;第(2)問存在定點,使為定值.下面對第(2)問進行拓展,供大家參考.

2.試題拓展