考慮隨機(jī)性變量的鉆井鉆柱運(yùn)轉(zhuǎn)穩(wěn)定性研究

苗俊田

（中國石油大學(xué)（華東）工業(yè)訓(xùn)練中心）

在鉆進(jìn)過程中，鉆柱受到扭轉(zhuǎn)作用產(chǎn)生橫向與縱向的振動(dòng)。 在鉆進(jìn)遇到某些特殊情況時(shí)，鉆頭可能會(huì)被鎖定卡死在巖石中，而轉(zhuǎn)盤在繼續(xù)施加扭矩，當(dāng)扭矩達(dá)到一定值時(shí)，鉆頭突然被釋放而加速旋轉(zhuǎn)，產(chǎn)生滑移振動(dòng)［1～3］。 當(dāng)鉆井遇惡劣工況時(shí)，鉆柱振動(dòng)會(huì)導(dǎo)致鉆頭加速損壞，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)广@柱失效，造成較大的經(jīng)濟(jì)損失［4～6］。 影響鉆柱系統(tǒng)穩(wěn)定性的因素主要有平衡摩擦系數(shù)、巖石受限抗壓強(qiáng)度、鉆井液密度、阻尼比等，各因素具有一定的隨機(jī)性［7～11］。 因此，建立基于隨機(jī)性的鉆柱扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型，分析隨機(jī)性因素對(duì)鉆柱扭轉(zhuǎn)穩(wěn)定性的影響，可為鉆進(jìn)過程中鉆柱的穩(wěn)定性研究提供依據(jù)， 有利于避免井下工具動(dòng)載荷失效，對(duì)井下安全生產(chǎn)、 提速增效具有重要的指導(dǎo)意義。

1 模型的建立

1.1 鉆柱扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)經(jīng)典理論

建立分段式鉆柱機(jī)械模型（圖1），由上下不同直徑的空心圓柱體組成。

圖1 鉆柱與鉆頭的機(jī)械模型

采用經(jīng)典的鉆柱扭轉(zhuǎn)理論模型反映鉆柱的動(dòng)力學(xué)特性，其運(yùn)動(dòng)方程如下：

式中 G（z）——剪切模量，GPa；

J（z）——鉆柱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

Mz——單位長度的扭矩，N·m；

t——時(shí)間，s；

θ——旋轉(zhuǎn)角度，rad；

ρds——鉆柱的密度，kg/m3。

式中 a1、a2、a3——鉆頭與巖石的相互作用常數(shù)；

Fzdrill——鉆頭所受的壓力，N；

Rdrill——鉆頭的半徑，m；

θdrill——鉆頭的旋轉(zhuǎn)角度，rad；

μ——平衡摩擦系數(shù)。

在鉆進(jìn)過程中，鉆柱和鉆頭周圍充滿了鉆井液，直接影響了系統(tǒng)的慣性。 基于式（1），采用下式引入鉆井液對(duì)系統(tǒng)的影響：

式中 Jm——鉆井液的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

ρm——鉆井液的密度，kg/m3；

ρs——鉆井液修正后的鉆柱密度，kg/m3。

對(duì)鉆井液密度進(jìn)行隨機(jī)化， 在計(jì)算過程中，需要施加最低滲透率的約束，采用Depouhon的研究成果表示最低滲透率Pz：

式中 a0——與切削力傾斜度有關(guān)的無量綱常數(shù)；

cn——鉆頭的葉片數(shù)量；

wc——刀具磨損寬度，m；

σc——巖石的受限抗壓強(qiáng)度，N/m2。

1.2 影響因素的隨機(jī)化

在實(shí)際鉆進(jìn)過程中， 影響鉆進(jìn)的因素通常在一定的范圍內(nèi)波動(dòng)。因此，本研究采用概率方法考慮平衡摩擦系數(shù)、 巖石受限抗壓強(qiáng)度、 鉆井液密度、阻尼比的不確定性，即基于各因素的概率分布特點(diǎn)，利用最大熵原理對(duì)影響因素隨機(jī)量化［12～14］，如下：

式中 C——隨機(jī)阻尼矩陣，與阻尼的概率分布有關(guān)；

F——隨機(jī)扭矩矢量，與隨機(jī)平衡摩擦系數(shù)有關(guān)；

K——?jiǎng)傂跃仃嚕?/p>

M——隨機(jī)慣性矩陣，與鉆井液密度的概率分布有關(guān)；

θr——隨機(jī)響應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度。

M、K和C計(jì)算式如下：

式中 Di——鉆柱內(nèi)徑，m；

Do——鉆柱外徑，m；

w1、w2——阻尼常數(shù)；

ξ——阻尼比；

ω——中心頻率。

對(duì)于平衡摩擦系數(shù)、巖石受限抗壓強(qiáng)度和鉆井液密度，引入變異系數(shù)，假設(shè)其概率分布均在某個(gè)區(qū)間（［x1，x2］）內(nèi)，利用熵最大化得到概率分布為均勻分布［12］，如下：

式中 c——變異系數(shù)；

fX——概率分布；

x1、x2——概率分布下限、上限；

xr——平均數(shù)；

σX——標(biāo)準(zhǔn)差。

x1、x2可聯(lián)立式（10）～（13）算得。

對(duì)于阻尼比，利用熵最大化得到其概率分布為對(duì)數(shù)正態(tài)分布［13］，如下同樣可計(jì)算得到x1、x2：

2 模型的驗(yàn)證

為客觀評(píng)價(jià)模型的可靠性和適用性，采用塔里木油田鉆井?dāng)?shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證，基礎(chǔ)參數(shù)如下（其中，井半徑即裸井井眼半徑，鉆頭半徑即PDC鉆頭半徑，直徑為215.9 mm）：

鉆柱長度ls4 733.6 m

底部鉆具組合長度lh466.2 m

上鉆柱外徑Dso0.127 m

上鉆柱內(nèi)徑Dsi0.109 m

下鉆柱外徑Dxo0.171 m

下鉆柱內(nèi)徑Dxi0.071 m

鉆柱密度ρds7 800 kg/m3

鉆井液密度ρm1 500 kg/m3

鉆頭半徑Rdrill0.108 m

鉆井半徑Rw0.108 m

剪切模量G（z）85.27 GPa

平衡摩擦系數(shù)μ 0.3

阻尼比ξ 0.25

鉆頭葉片數(shù)量cn6

受限抗壓強(qiáng)度σc80 MPa

傾斜常數(shù)a00.4

相互作用常數(shù)a10.477 5

相互作用常數(shù)a28.785 4

相互作用常數(shù)a34.559 5

刀具磨損寬度wc0.25 mm

最低滲透率Pz0.1 μm2

采用PDC鉆頭+雙扶鉆具組合，如圖2所示，鉆具組合為φ215.9 mm PDC鉆頭+φ171.4 mm直螺桿+φ171.4 mm 鉆 鋌1 根+φ215.9 mm 扶 正 器+φ171.4 mm 鉆 鋌1 根+φ215.9 mm 扶 正 器+φ171.4 mm鉆鋌（15根）+φ171.4 mm隨鉆震擊器+φ171.4 mm鉆鋌（2根）+φ127 mm鉆桿。

圖2 PDC鉆頭+雙扶鉆具組合

采用模型中確定性公式對(duì)現(xiàn)場工況進(jìn)行模擬，頻率為50 Hz，轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)速為120 r/min，對(duì)鉆頭施加的力為245 kN，其結(jié)果如圖3所示。 由圖可知，模擬數(shù)據(jù)與現(xiàn)場數(shù)據(jù)吻合度較高，曲線變化趨勢和變化周期具有較強(qiáng)的一致性。 因此，所建模型具有一定的可靠性和現(xiàn)場適用性，可有效模擬鉆柱的動(dòng)力學(xué)特性。

圖3 模擬數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比分析

3 因素隨機(jī)性對(duì)鉆柱扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響

3.1 各因素的共同影響

共同考慮平衡摩擦系數(shù)、鉆井液密度、阻尼比等因素的不確定性。 同時(shí)改變平衡摩擦系數(shù)、鉆井液密度、阻尼比的變異系數(shù)，得到各因素共同影響下扭轉(zhuǎn)穩(wěn)定曲線如圖4所示。 圖中20%、30%、40%、50%曲線分別表示變異系數(shù)為20%、30%、40%、50%的扭轉(zhuǎn)穩(wěn)定曲線。

圖4 隨機(jī)扭轉(zhuǎn)穩(wěn)定曲線

由圖4可知， 當(dāng)現(xiàn)場操作的工況點(diǎn)落在曲線上部時(shí)，鉆進(jìn)系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)現(xiàn)場操作工況點(diǎn)落在曲線下部時(shí)， 系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)；若轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)速過低而鉆壓過高，則易出現(xiàn)系統(tǒng)運(yùn)行不穩(wěn)定的惡劣工況，可通過提高轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)速、降低鉆壓減緩不穩(wěn)定情況。 隨著各因素變異系數(shù)的共同增加， 隨機(jī)扭轉(zhuǎn)穩(wěn)定概率曲線向右下方偏移，扭轉(zhuǎn)穩(wěn)定區(qū)域范圍降低，不利于鉆柱系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行。 同時(shí)，隨著變異系數(shù)的共同等步長增加，各因素的不確定度變大，扭轉(zhuǎn)穩(wěn)定曲線向右下偏移幅度基本相同，這是不同因素共同影響的結(jié)果。

3.2 各因素隨機(jī)性的影響

以穩(wěn)定概率為80%的臨界穩(wěn)定曲線為基礎(chǔ)，改變平衡摩擦系數(shù)、鉆井液密度、阻尼比、受限抗壓強(qiáng)度中單個(gè)參數(shù)的變異系數(shù)，得到某個(gè)隨機(jī)因素的穩(wěn)定曲線。 圖5a～d分別為平衡摩擦系數(shù)、鉆井液密度、阻尼比、最低滲透率（受限抗壓強(qiáng)度）對(duì)應(yīng)的扭轉(zhuǎn)穩(wěn)定曲線。其中，20%、30%、40%、50%分別指各變量的變異系數(shù)為20%、30%、40%、50%，曲線表示穩(wěn)定概率為80%的臨界穩(wěn)定曲線。

圖5 各隨機(jī)變量的扭轉(zhuǎn)穩(wěn)定曲線

分析可知，當(dāng)變異系數(shù)升高時(shí)，平衡摩擦系數(shù)、鉆井液密度、阻尼比的扭轉(zhuǎn)穩(wěn)定曲線向右下方偏移，最低滲透率（受限抗壓強(qiáng)度）的扭轉(zhuǎn)穩(wěn)定曲線向右上方偏移，即對(duì)于平衡摩擦系數(shù)、鉆井液密度、阻尼比，變異系數(shù)的升高導(dǎo)致扭轉(zhuǎn)穩(wěn)定區(qū)域范圍降低，而最低滲透率（受限抗壓強(qiáng)度）相反。 因此，在實(shí)際生產(chǎn)過程中各個(gè)因素的波動(dòng)均會(huì)對(duì)鉆進(jìn)系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生一定的影響。 鉆井液密度的隨機(jī)變化對(duì)扭轉(zhuǎn)穩(wěn)定區(qū)域的影響最小，平衡摩擦系數(shù)、阻尼比、最低滲透率（受限抗壓強(qiáng)度）的隨機(jī)變化對(duì)扭轉(zhuǎn)穩(wěn)定區(qū)域的影響較顯著。 阻尼比的影響最為突出，現(xiàn)場鉆井要注意阻尼比的變化，提前做好相應(yīng)的防范措施，如降低鉆壓等。 在低轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)速下，平衡摩擦系數(shù)、鉆井液密度、阻尼比、最低滲透率（受限抗壓強(qiáng)度）的臨界穩(wěn)定曲線受變異系數(shù)的影響均較低，而隨著轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)速的提高， 變異系數(shù)對(duì)臨界穩(wěn)定曲線的影響越來越大。根據(jù)現(xiàn)場轉(zhuǎn)盤施加轉(zhuǎn)速和不同變異系數(shù)的臨界穩(wěn)定曲線，可得到各參數(shù)波動(dòng)對(duì)操作工況下系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響程度，可為避免系統(tǒng)失穩(wěn)和制定操作規(guī)程提供理論指導(dǎo)。

4 結(jié)論

4.1 基于隨機(jī)性的鉆柱扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型模擬結(jié)果與現(xiàn)場數(shù)據(jù)吻合度較高，具有一定的可靠性和現(xiàn)場適用性，可有效模擬鉆柱動(dòng)力學(xué)特性。

4.2 考慮平衡摩擦系數(shù)、鉆井液密度、阻尼比、受限抗壓強(qiáng)度等因素的不確定性，得到不同變異系數(shù)對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定臨界曲線，有利于技術(shù)人員掌握系統(tǒng)穩(wěn)定概率。

4.3 若轉(zhuǎn)速過低、鉆壓過高，則易出現(xiàn)系統(tǒng)運(yùn)行不穩(wěn)定的惡劣工況，可通過提高轉(zhuǎn)速、降低鉆壓減緩或避免不穩(wěn)定情況。

4.4 平衡摩擦系數(shù)、鉆井液密度和阻尼比及變異系數(shù)的升高導(dǎo)致扭轉(zhuǎn)穩(wěn)定區(qū)域范圍降低，而最低滲透率（受限抗壓強(qiáng)度）相反。 另外，鉆井液密度的隨機(jī)變化對(duì)扭轉(zhuǎn)穩(wěn)定區(qū)域的影響最小，而平衡摩擦系數(shù)、阻尼比、最低滲透率（受限抗壓強(qiáng)度）的隨機(jī)變化對(duì)扭轉(zhuǎn)穩(wěn)定區(qū)域的影響較顯著。 阻尼比的影響最為突出，在鉆進(jìn)過程中要注意系統(tǒng)阻尼比的變化，提前做好防范措施，如降低鉆壓等。