機械波多普勒效應在汽車測速方面的應用

關鍵詞： 機械波 平面運動 多普勒效應 測速

多普勒效應是指波源在與觀測者發生相對運動時，觀測者接收到的波的頻率發生變化的現象，最先由奧地利物理學家、數學家、天文學家多普勒提出。該效應自被發現起就在人類基礎學科的研究、基礎理論的證明以及物理量的測量等研究領域起到了重大的作用[1]。在現代生活和理論研究中，多普勒效應發明出的許多測量設備，如汽車測速儀、血流測速儀等對于當代科技的發展和人民生活水平的提高起著舉足輕重的作用[2-4]。文章根據已有關于機械波的相關知識推導出機械波的多普勒效應公式，進而闡明在生活中基礎應用的原理。

1 機械波多普勒效應的公式

1.1 一維坐標下公式的推導

通常多普勒效應公式只能描述一維坐標系下的情況，即波源和觀測者是在同一條直線上進行相對運動。而這種情況并不能應用實際生活，故推導出一維坐標下的公式后，會將此公式推廣到二維平面中的相對運動。

首先進行一維坐標下的多普勒效應公式的推導。該物理過程研究的波源為發射機械波的波源，由多普勒效應可知，在波源與觀測者發生相對運動后，觀測者觀測到的波的頻率會發生改變。

圖1 是該物理過程圖，其中，波源與觀測者（人）相向運動，最大的圓形表示波源發出的波前在此刻的位置；假定該波在該介質中的傳播速度為v，波長為λ，原來的頻率為f，波源相對于地面參考系的運動速度為vs，觀測者相對于地面參考系的運動速度為vr。

為了簡化分析該問題，設定當前情形為：波源發出的波不是連續的（不影響分析），且當波源發出的第一列波被觀測者接收的同時，第二列波恰好被該波源發出。在此時刻下，波源的位移為xs，第一列波波面的位移為xw；所以第一列波在空間中傳播的時間即為從第一列波發出到第二列波發出之間經過的時間，即為該波的周期T；故可得出xw = λ，即第一列波的位移就是該波原始的波長。

由此可知，從波源和人相對運動到此狀態，系統剛好經過了該波的一個周期。并且由于波源相對于觀測者發生了位移，對于觀測者而言，其處于波源相對運動的前方，由伽利略變換和波長的定義可知，其觀測到的實際波長應該為

由于觀測者和波源相向運動，將觀測者此時所能夠觀測到的實際波速設為v'，則由相對運動可知：v' =v + vr。故由波速、波長和頻率的關系，將觀測者此時能夠測到的實際頻率設為f'，則有

式（4）即為一維坐標系下的多普勒效應表達式的一種特殊情況。

從表達式中發現，在波源與觀測者發生相對運動時，觀測者此時所能觀測到的波長λ'完全由波源及其相對運動性質決定。此外，觀測者所能觀測到的實際波速v'僅部分與觀測者的相對運動性質有關，另一部分與該波在該介質中的性質相關。可以說明，多普勒效應是相對運動下產生的結果，且大部分參數由波源決定，這對于深入了解多普勒效應的本質是有幫助的。

1.2 二維平面中公式的推導

根據已經得出的一維坐標系下多普勒效應公式，現推導在二維平面中多普勒效應的表達形式。將波源與觀測者的運動放在二維平面中，如圖2 所示。

由于此時兩物體的速度方向不在一條直線上，為了便于分析和計算，可將速度分解在兩物體的連線上。由圖2可知：波源相對于地面參考系的運動速度為vs，分解后在連線上的速度為vscosθ1；觀測者相對于地面參考系vr，分解后在連線上的速度為vrcosθ2。此時，垂直于二者連線方向的速度分量不會產生多普勒效應。

根據之前推導的公式，在二者的連線上會產生多普勒效應，其一般表達式為

式（5）即為二維平面中機械波多普勒效應更加一般的表達式[2]。相較于一維坐標下的公式，該式多考慮了二者連線上的速度分量，即可計算更加一般平面運動的多普勒效應產生的影響，這對于分析一般平面運動的多普勒效應具有重要的意義[5]。

2 汽車測速的應用原理與分析

實際生活中，常常可以看到在多車道公路的測速點上方安裝有一個測速雷達，文章對其中的一種工作原理，即超聲波多普勒效應測速雷達進行分析和建模。圖3 為一個普通機動車道超聲波測速雷達在其工作環境下的模型。

假定所有車道規定的行車方向都相同，即該向可通行的車道有4 個。測速雷達的波源可以建模為一個受控的、有一定方向性的點波源。點波源發出的波在空間中傳播時，波面為一個球面。對于該情境，在一定的控制手段下，該測速雷達所發出的超聲波與路面的交線大致可看作一個扇形，在考慮一定的損耗和儀器的靈敏度后，可以確定一個車輛回波的有效范圍（如圖3 所示）。可以認為，當車輛行駛至有效探測范圍的邊界或以內時，車輛對波源發出波的反射波能被儀器探測到，符合一般的情況[6]。

超聲波雷達會在工作期間以一定的時間間隔不斷地向探測方向發射頻率為f 的超聲波。假設該單向車道的規定行駛方向見圖4，并且將與車道平行的方向設為參考方向。已知超聲波在空氣中的傳播速度為v。當某時刻有一輛來車在如圖所示的位置時，車速為vr。圖中向上箭頭表示波源發出的波照射到車輛時的方向。由儀器接收的反射回波的強度等信息，可測得當前被反射回來的波的方向與參考方向的夾角θ。

綜合上述條件，先將車速vr 分解在車與波源兩點的連線上，則連線上的速度分量為vrcosθ，根據多普勒效應公式和波反射的性質，可算得反射回波的頻率f '為

將當前車輛的車速vr 與當前路段的最高限速進行比較，即可判斷出當前車輛是否超速。在實際生活中能夠直接測到的物理量是車輛反射回波的頻率，故對于多車同時通過該四車道測速范圍的情況，只需通過判斷各方向車輛反射的回波頻率是否超出特定頻率來衡量。

對上述情況加以計算。首先根據當前道路規定，可以查得車輛的最高限速為vr0，可以得出最高限速對應的回波頻率值f '0為

式（8）得出的結果更加適用于普遍的情況，對于車流量很大的車道而言，上方的儀器可以根據測速范圍內各方向反射的回波頻率來檢測是否有車輛超速，如果某方向的回波頻率f 'x gt; f '0，則可以檢測出該方向有車輛超速。與參考方向的夾角（以下簡稱方位角）θx 可以通過回波的強度等性質測得，車輛距離波源的距離也可根據超聲波在空氣中的損耗測得。在該測速扇形區域內，以波源為中心建立極坐標系，根據測得的方位角以及超速車輛與波源之間距離，即可精準定位超速車輛在該坐標系下的具體位置[7-11]。如果將測速系統配合電子抓拍系統，該超速車輛的車牌號、車內人員數量和狀態等信息便一覽無余，為監控超速違法行為提供了有力的支持。

3 結語

縱觀近代科學的發展史，多普勒效應對人類各項基礎研究與生產生活的方方面面都有著很大的貢獻。人類利用多普勒效應，發明出了許多能夠改變生活和推動科技發展的成果，如彩色多普勒超聲儀、測速儀、海底聲吶探測器等。在愛因斯坦提出相對論后，電磁波多普勒效應的研究將人類的視野拓展到了宇宙空間，根據電磁波的多普勒效應提出并觀測到的紅移現象也更好地證實了所處的宇宙空間是在不斷膨脹的；由電磁波多普勒效應發明的氣象雷達也為人類提前預知天氣災害的發生提供了強有力的工具。可以說，多普勒效應是人類科技史中一個重要的理論，它將在推進社會發展的道路上繼續“發光發熱”。