發(fā)射軌道冷卻流道設(shè)計與仿真研究

摘" 要：該文圍繞大能量武器系統(tǒng)連續(xù)發(fā)射的熱管理需求，開展軌道內(nèi)部流道的優(yōu)化設(shè)計研究。該文基于結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法，以最小化軌道膛內(nèi)表面溫度為優(yōu)化目標，同時約束軌道在發(fā)射力作用下的應(yīng)力與形變，構(gòu)建冷卻流道的拓撲優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。以典型發(fā)射結(jié)構(gòu)為研究對象開展流道拓撲優(yōu)化設(shè)計，優(yōu)化冷卻流道呈橢圓形截面，并集中分布在軌道膛內(nèi)表面和底面附近。與具有常規(guī)圓柱形流道的基準軌道相比，在保持軌道形變和應(yīng)力基本一致的情況下，優(yōu)化軌道的截面最高溫度降低13%、截面平均溫度降低9%，驗證該文提出的武器系統(tǒng)軌道冷卻流道拓撲優(yōu)化設(shè)計方法的正確性和有效性。

關(guān)鍵詞：武器系統(tǒng)；軌道冷卻；流道；拓撲優(yōu)化；數(shù)學(xué)模型

中圖分類號：TJ866" " " " "文獻標志碼：A" " " " " " " 文章編號：2095-2945（2023）21-0009-05

Abstract： For the thermal management of sequentially fired weapon systems， this paper studies the topology optimization of cooling channels of rails. The minimization of the rail surface temperature is taken as the optimization objective. The rail stress and deformation are used as the constraint conditions. The mathematical model for the optimization of cooling channels is built. Case study is performed base on a typical launcher structure and optimized cooling channel design is obtained. In the optimized rail， channels have elliptical cross-sections and are distributed close to the surface in bore and the rail bottom.A rail with cylindrical cooling channels is taken as a benchmark structure. Compared with the reference track with conventional cylindrical runner， under the condition that the track deformation and stress are basically the same， the maximum cross-section temperature of the optimized track is reduced by 13% and the average cross-section temperature is reduced by 9%. The correctness and effectiveness of the topology optimization design method of track cooling runner for weapon system proposed in this paper are verified.

Keywords： weapon system; orbital cooling; runner; topology optimization; mathematical model

隨著發(fā)射武器技術(shù)的發(fā)展，軌道熱管理已成為限制大能量發(fā)射技術(shù)邁向工程應(yīng)用的瓶頸。武器發(fā)射過程中滑動結(jié)構(gòu)沿軌道做高速載流滑動，在焦耳熱和摩擦熱作用下軌道溫升顯著[1]。諸多工程應(yīng)用場景要求武器系統(tǒng)以較高的頻率發(fā)射，連續(xù)發(fā)射時軌道經(jīng)過短時多次熱量累積，容易因過熱引發(fā)性能退化甚至結(jié)構(gòu)損傷[2]。

針對軌道散熱問題國內(nèi)外開展了一定研究，提出了內(nèi)設(shè)流道冷卻、膛內(nèi)噴淋冷卻和兩者混合冷卻3種軌道熱管理方法[3]。軌道內(nèi)部架設(shè)流道的方法具有冷卻方式成熟度高、冷卻液易傳送回收等優(yōu)點，但會對軌道力學(xué)性能造成一定削弱。膛內(nèi)噴淋方法對軌道表面噴射冷卻液，利用冷卻液蒸發(fā)實現(xiàn)軌道冷卻，該種方法不影響軌道力學(xué)性能，但增加了結(jié)構(gòu)復(fù)雜性、實現(xiàn)難度大，而且膛內(nèi)積水會降低結(jié)構(gòu)絕緣性。綜合對比，內(nèi)部架設(shè)流道是最為可行的軌道熱管理方法。Jamison等[4]曾在1995年搭建了小口徑武器系統(tǒng)的軌道熱管理試驗平臺，驗證了內(nèi)部流道冷卻方式的實用性。

由于內(nèi)部流道的分布、截面形狀、尺寸等對軌道的冷卻性能、力學(xué)性能等有較大影響，內(nèi)部流道的優(yōu)化設(shè)計無疑是軌道熱管理的重要方面。通過改變圓形截面流道的位置參數(shù)，林靈淑等[5]研究了流道對軌道電氣特性和力學(xué)特性的影響，發(fā)現(xiàn)流道對軌道電氣特性的影響較小而對力學(xué)特性的影響較大，內(nèi)設(shè)流道導(dǎo)致軌道形變增大且流道附近的應(yīng)力增大。Zhao等[6]基于發(fā)射過程多物理場耦合仿真對比了4種流道分布的軌道冷卻效果。Elizabeth[7]以橢圓形截面的冷卻流道為研究對象，在給定軌道對流換熱邊界條件和結(jié)構(gòu)應(yīng)力條件下，對流道尺寸、間距、長寬比等參數(shù)進行了優(yōu)化，以提高軌道冷卻能力。上述工作研究了內(nèi)部流道對軌道冷卻性能和力學(xué)性能的影響規(guī)律，但在流道優(yōu)化設(shè)計方面的研究仍不夠深入。拓撲優(yōu)化是一種對結(jié)構(gòu)材料分布進行優(yōu)化的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，設(shè)計自由度多，通常能獲得創(chuàng)新性的結(jié)構(gòu)設(shè)計。本文將基于拓撲優(yōu)化方法開展軌道冷卻流道優(yōu)化設(shè)計研究，建立流道優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，開展以軌道膛內(nèi)表面溫度最小化為優(yōu)化目標，軌道應(yīng)力與形變?yōu)榧s束條件的冷卻流道優(yōu)化設(shè)計。

1" 數(shù)學(xué)模型

1.1" 流道拓撲優(yōu)化模型

流道拓撲優(yōu)化屬于連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化，是以材料分布為優(yōu)化變量的結(jié)構(gòu)優(yōu)化。拓撲優(yōu)化結(jié)果描述了軌道結(jié)構(gòu)各點的材料特征，即結(jié)構(gòu)各點的材料為軌道基體，還是內(nèi)部流道（即冷卻介質(zhì)）。拓撲優(yōu)化具有設(shè)計變量多、設(shè)計自由度高的優(yōu)點，設(shè)計結(jié)果能夠為產(chǎn)品概念設(shè)計提供重要參考。

武器發(fā)射過程中軌道高溫區(qū)域主要集中在膛內(nèi)表面附近，流道靠近膛內(nèi)表面能夠提高軌道冷卻效果，但可能導(dǎo)致膛內(nèi)表面在發(fā)射力作用下產(chǎn)生過大形變與應(yīng)力，影響發(fā)射性能甚至導(dǎo)致軌道損壞。由此可知，流道的拓撲優(yōu)化是軌道冷卻效果與力學(xué)性能的矛盾平衡問題，構(gòu)建流道拓撲優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如下所示。

式中：γ為優(yōu)化變量，T是軌道溫度，t為時間變量，ν0是冷卻介質(zhì)流速，u和σ分別為發(fā)射力作用下的軌道變形與應(yīng)力，f為優(yōu)化目標，如軌道平均溫度、軌道最高溫度等，h1為傳熱控制方程，h2為靜力平衡方程，g1為軌道形變約束，g2為軌道應(yīng)力約束。

優(yōu)化變量γ=γ（x）描述了軌道各點x處的材料分布，γ=1表示該點材料為冷卻介質(zhì)，即該點屬于冷卻流道區(qū)域，γ=0表示該點材料為軌道基體材料。由于發(fā)射過程中軌道膛內(nèi)表面的溫升通常較高，且膛內(nèi)表面的溫度對發(fā)射狀態(tài)影響較大，因此論文以最小化軌道膛內(nèi)表面溫度為優(yōu)化目標f，具體取如下的溫度平均p-范數(shù)形式。

式中：Γ表示軌道膛內(nèi)表面，參數(shù)pT越大目標函數(shù)f越接近軌道膛內(nèi)表面的最高溫度。

傳熱控制方程h1在流道區(qū)域由冷卻介質(zhì)對流換熱方程構(gòu)成，在軌道基體區(qū)域由導(dǎo)熱方程構(gòu)成。在高頻連續(xù)發(fā)射時軌道冷卻時間短且需耗散的熱量大，為了保證軌道冷卻效果冷卻介質(zhì)的流速通常較大，流動狀態(tài)為湍流。為減少計算量將流道區(qū)域傳熱控制方程簡化為導(dǎo)熱方程形式，并通過增大冷卻介質(zhì)導(dǎo)熱系數(shù)、施加沿流動方向的等效熱沉以模擬湍流傳熱作用。基于此，流道區(qū)域和軌道基體的傳熱控制方程h1可寫為如下統(tǒng)一形式。

式中：ρ、Cp、k分別為密度、比熱和導(dǎo)熱系數(shù)，ρf、Cp，f為冷卻介質(zhì)的密度和比熱，Q為發(fā)射產(chǎn)生的熱源密度，λQ為等效熱沉系數(shù)。在流道區(qū)域，ρ、Cp、k分別取冷卻介質(zhì)的相關(guān)參數(shù)且λQ=1，上式右側(cè)第二項描述了湍流傳熱作用。在軌道基體區(qū)域，ρ、Cp、k分別取軌道材料的相關(guān)參數(shù)且λQ=0。

靜力平衡方程h2描述了軌道在峰值發(fā)射力作用下的力平衡狀態(tài)，將冷卻介質(zhì)視為彈性模量近似為零的材料，則流道區(qū)域和軌道基體的靜力平衡方程h2可寫為如下統(tǒng)一形式。

式中：彈性矩陣D=D（E，υ）是材料彈性模量E和泊松比ν的函數(shù)，F(xiàn)為軌道受到的發(fā)射力。在軌道基體區(qū)域E、ν分別取軌道材料的相關(guān)參數(shù)，在流道區(qū)域E為接近于零的小數(shù)。

軌道形變約束g1用于限制開設(shè)冷卻流道后的軌道形變，避免影響發(fā)射狀態(tài)，具體形式如下。

式中：U0為給定的軌道應(yīng)變能上限，Ω為軌道區(qū)域。

軌道應(yīng)力約束g2用于限制開設(shè)冷卻流道后的軌道應(yīng)力，避免出現(xiàn)軌道破壞等現(xiàn)象，具體形式為

式中：σmise為軌道的von mises應(yīng)力，σ0為給定的軌道應(yīng)力上限，參數(shù)ps越大，應(yīng)力平均p-范數(shù)越接近于軌道最大應(yīng)力。

1.2 材料參數(shù)插值模型

流道拓撲優(yōu)化問題需迭代求解才能得到好的設(shè)計結(jié)果，為了加快求解收斂速度，本文采用基于梯度的優(yōu)化算法進行求解。因此將優(yōu)化變量γ放松為[0，1]范圍內(nèi)的連續(xù)變量，并通過懲罰等方式使得優(yōu)化過程中優(yōu)化變量盡可能向0/1極值收斂。因此，定義材料導(dǎo)熱系數(shù)與優(yōu)化變量的插值關(guān)系如下。

式中：ks和kf分別為軌道基體材料導(dǎo)熱系數(shù)和增大后的冷卻介質(zhì)有效導(dǎo)熱系數(shù)，qkgt;0為導(dǎo)熱系數(shù)懲罰因子，通過限制0lt;γlt;1區(qū)域的導(dǎo)熱性使得優(yōu)化結(jié)果向0/1極值收斂，且qk越大懲罰作用越顯著，同時插值關(guān)系（7）的非線性越強。

材料彈性模量與優(yōu)化變量的插值關(guān)系如下。

式中：Es和Ef分別為軌道基體材料彈性模型和冷卻介質(zhì)有效彈性模型，qEgt;0為彈性模量懲罰因子，通過限制0lt;γlt;1區(qū)域的彈性模量使得優(yōu)化結(jié)果向0/1極值收斂，且qE越大懲罰作用越顯著，同時插值關(guān)系（8）的非線性越強。

類似地，定義材料密度、比熱、等效熱沉系數(shù)與優(yōu)化變量的線性插值關(guān)系。

式中：χ表示材料的密度ρ、比熱Cp和等效熱沉系數(shù)λQ，χs和χf分別表示軌道基體材料和冷卻介質(zhì)的相應(yīng)參數(shù)。

2 優(yōu)化流程

在連續(xù)發(fā)射過程中傳熱過程的時間尺度遠大于發(fā)射時間尺度，本文進行流道拓撲優(yōu)化時僅考慮當前發(fā)射完成后至下次發(fā)射前這一時間段內(nèi)的傳熱過程。傳熱方程（3）中的熱源項則根據(jù)發(fā)射完成后的軌道熱源分布情況進行定義。

流道拓撲優(yōu)化需首先求解三維發(fā)射過程模型[7]，獲得軌道熱源分布和軌道受到的峰值發(fā)射力。以軌道橫截面為拓撲優(yōu)化區(qū)域，并對優(yōu)化變量分布進行初始化。基于插值模型式（7）—（9）計算材料導(dǎo)熱系數(shù)等參數(shù)和等效熱沉系數(shù)，代入控制方程式（3）（4），計算軌道橫截面的溫度、形變和應(yīng)力，進而獲得優(yōu)化目標和約束函數(shù)。計算優(yōu)化目標和約束函數(shù)對優(yōu)化變量的梯度，采用梯度優(yōu)化算法，求解滿足形變約束和應(yīng)力約束且能夠進一步降低軌道溫度的優(yōu)化變量。當連續(xù)兩次優(yōu)化循環(huán)的優(yōu)化變量變化小于給定值或達到給定循環(huán)次數(shù)時，認為優(yōu)化過程已收斂，流道拓撲優(yōu)化完成。

優(yōu)化結(jié)果中通常存在少量的非0/1優(yōu)化變量，通過閾值映射將其處理為僅由0/1變量構(gòu)成，此時軌道橫截面僅由基體材料和流道區(qū)域構(gòu)成。將優(yōu)化后的軌道橫截面沿法向拉伸至軌道長度，就獲得了具有優(yōu)化的軌道設(shè)計。

采用密度過濾對優(yōu)化變量進行加權(quán)平均。

式中：γf為過濾后的優(yōu)化變量，Rmin為過濾半徑。

為了減少優(yōu)化結(jié)果中的非0/1變量，對過濾后的優(yōu)化變量進行閾值映射。

式中：γp為映射后的優(yōu)化變量，γβ為映射閾值，β為映射斜率。

3" 算例研究

3.1" 參數(shù)設(shè)置

以圖1所示的典型發(fā)射結(jié)構(gòu)為研究對象，考慮到結(jié)構(gòu)對稱性，取發(fā)射結(jié)構(gòu)的1/4進行發(fā)射過程仿真，取軌道橫截面的1/2進行流道拓撲優(yōu)化。以水為冷卻介質(zhì)，在拓撲優(yōu)化過程中冷卻介質(zhì)的有效導(dǎo)熱系數(shù)取值大于實際值，以模擬對流換熱作用；冷卻介質(zhì)有效彈性模量取略大于零的值，泊松比與軌道材料一致，以保證優(yōu)化過程中軌道靜力平衡問題的收斂性。

發(fā)射過程仿真中滑動結(jié)構(gòu)對稱面電勢設(shè)為零，軌道尾端施加如下所示的電壓。

發(fā)射完成時刻的軌道尾段溫度分布和熱源密度分布如圖2所示，由于趨膚效應(yīng)，由焦耳熱引起的軌道溫度分布并不均勻，高溫區(qū)域和高熱源密度區(qū)域主要集中在膛內(nèi)表面和肩部邊角。軌道受到的峰值發(fā)射力密度分布如圖3所示，在y方向和z方向發(fā)射力均為指向結(jié)構(gòu)內(nèi)部的擠壓力，由于對稱性y方向的合力為零，而z方向的合力沿+z方向，使軌道整體向外擴張。

受趨膚效應(yīng)影響，發(fā)射過程中電流集中分布在軌道表面鄰近區(qū)域內(nèi)，為了減小冷卻流道對軌道電氣特性的影響，設(shè)置距軌道邊界小于4 mm的區(qū)域為非設(shè)計區(qū)域，軌道其他區(qū)域為設(shè)計區(qū)域。設(shè)計區(qū)域的優(yōu)化變量初始值設(shè)為0.2，非設(shè)計區(qū)域的優(yōu)化變量始終為0，即優(yōu)化過程中非設(shè)計域的材料始終為軌道基體。優(yōu)化過程中導(dǎo)熱系數(shù)和彈性模量的懲罰因子按照qk=qE= 1、3、5、10的規(guī)律逐漸增大，映射斜率按照β=2、4、8、10的規(guī)律逐漸增大，以保持優(yōu)化過程的穩(wěn)定性，同時減少優(yōu)化結(jié)果中的非0/1變量。

在流道拓撲優(yōu)化過程中，需不斷求解傳熱控制方程式（3）和靜力平衡方程式（4），獲得優(yōu)化目標、軌道形變約束和應(yīng)力約束。為了減少計算量，本算例在優(yōu)化過程中忽略傳熱控制方程式（3）中的時間相關(guān)項，并在軌道膛內(nèi)非設(shè)計區(qū)域和肩部邊緣非設(shè)計區(qū)域施加恒定熱源，用于模擬這些區(qū)域的高溫效應(yīng)。冷卻介質(zhì)平均流速設(shè)為ν0=5 m/s。在軌道非設(shè)計區(qū)域內(nèi)施加體積力，使得軌道所受合力等于峰值發(fā)射力。

3.2 優(yōu)化結(jié)果

優(yōu)化過程中軌道材料分布變化如圖4所示，優(yōu)化結(jié)果中流道集中分布在軌道膛內(nèi)表面和底面的鄰近區(qū)域，能夠快速將高溫區(qū)域的熱量傳遞出去。流道截面呈橢圓形，能夠增大對流換熱面積，同時減小由開設(shè)流道引起的應(yīng)力集中。軌道肩部區(qū)域的應(yīng)力較大，因此優(yōu)化結(jié)果中肩部區(qū)域內(nèi)沒有流道，而且靠近肩部的流道的長邊方向與應(yīng)力方向垂直，減小了流道附近的應(yīng)力集中。

優(yōu)化目標隨優(yōu)化迭代次數(shù)的變化歷程如圖5所示。對于同一組（qk， qE， β），優(yōu)化目標隨著優(yōu)化進程不斷降低；當（qk， qE， β）取值增大時，對非0/1變量的懲罰程度增大，非0/1變量的傳熱特性和力學(xué)特性下降，因而目標函數(shù)增大。

本算例沒有限制流道區(qū)域在軌道中的占比，但在提高冷卻能力與限制軌道形變和應(yīng)力的平衡作用下，設(shè)計區(qū)域沒有完全變?yōu)榱鞯绤^(qū)域或軌道基體。以0.58為閾值將優(yōu)化結(jié)果映射為僅由流道和軌道基體構(gòu)成的優(yōu)化結(jié)構(gòu)，如圖6（a）所示，其中流道區(qū)域占比約為6.3%。構(gòu)建具有圓形截面流道的常規(guī)軌道結(jié)構(gòu)，作為評價優(yōu)化結(jié)構(gòu)的基準，如圖6（b）所示，基準結(jié)構(gòu)的流道占比與優(yōu)化結(jié)構(gòu)保持一致。

在發(fā)射力作用下，優(yōu)化軌道和基準軌道的應(yīng)力分布和z向變形分布分別如圖7和圖8所示。與基準軌道相比，優(yōu)化軌道的整體應(yīng)力水平略微偏大，兩側(cè)流道因靠近肩部拐角所以應(yīng)力偏大，但其他區(qū)域的應(yīng)力均低于材料屈服強度。在發(fā)射力的作用下，優(yōu)化軌道和基準軌道均向外擴張，但優(yōu)化軌道的形變小于基準軌道。

發(fā)射完成后在優(yōu)化軌道和基準軌道中通入冷卻介質(zhì)對其進行冷卻，冷卻介質(zhì)流速為5 m/s，溫度為20 ℃。滑動結(jié)構(gòu)起始位置處的軌道截面最高溫度和平均溫度隨冷卻時長的變化如圖9所示。發(fā)射完成時刻兩軌道的高溫區(qū)域集中在肩部邊角和膛內(nèi)表面，在導(dǎo)熱和對流換熱的共同作用下，初始冷卻階段兩軌道的最高溫度均快速下降，后續(xù)隨著冷卻時間的增加軌道溫度緩慢下降。

優(yōu)化軌道的最高溫度和平均溫度始終明顯低于基準軌道。以冷卻時長為5 s為例，優(yōu)化軌道的截面最高溫度比基準軌道低約4 ℃，是基準軌道截面最高溫度的13%；截面平均溫度比基準軌道低約3.2 ℃，是基準軌道截面平均溫度的9%，驗證了論文提出的基于拓撲優(yōu)化進行軌道冷卻流道設(shè)計的正確性和有效性。連續(xù)發(fā)射時軌道內(nèi)部積累的熱量逐次增加，軌道溫升不斷增加，此時優(yōu)化軌道的冷卻優(yōu)勢將更加顯著。

4" 結(jié)論

本文進行了發(fā)射軌道內(nèi)部流道優(yōu)化研究，綜合考慮軌道冷卻性能和力學(xué)能力，構(gòu)建了流道拓撲優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。以典型大能量發(fā)射結(jié)構(gòu)為研究對象，開展了流道拓撲優(yōu)化，獲得優(yōu)化軌道結(jié)構(gòu)。優(yōu)化結(jié)果表明：

1）提高軌道冷卻能力和限制軌道形變及應(yīng)力具有一定矛盾性，流道拓撲優(yōu)化是尋找能夠達到上述2方面矛盾平衡的優(yōu)化結(jié)構(gòu)的過程。

2）冷卻流道應(yīng)靠近軌道膛內(nèi)表面，以加快高溫區(qū)域散熱，但同時會引起軌道形變和應(yīng)力增大。

3）橢圓形截面的流道有助于增大對流換熱面積，同時降低對軌道力學(xué)能力的影響。與基準軌道相比，優(yōu)化軌道在力學(xué)承載能力基本一致的情況下冷卻性能顯著提高，驗證了本文提出的軌道冷卻流道優(yōu)化設(shè)計方法的正確性和有效性。

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