發射軌道冷卻流道設計與仿真研究

摘" 要：該文圍繞大能量武器系統連續發射的熱管理需求，開展軌道內部流道的優化設計研究。該文基于結構拓撲優化方法，以最小化軌道膛內表面溫度為優化目標，同時約束軌道在發射力作用下的應力與形變，構建冷卻流道的拓撲優化數學模型。以典型發射結構為研究對象開展流道拓撲優化設計，優化冷卻流道呈橢圓形截面，并集中分布在軌道膛內表面和底面附近。與具有常規圓柱形流道的基準軌道相比，在保持軌道形變和應力基本一致的情況下，優化軌道的截面最高溫度降低13%、截面平均溫度降低9%，驗證該文提出的武器系統軌道冷卻流道拓撲優化設計方法的正確性和有效性。

關鍵詞：武器系統；軌道冷卻；流道；拓撲優化；數學模型

中圖分類號：TJ866" " " " "文獻標志碼：A" " " " " " " 文章編號：2095-2945（2023）21-0009-05

Abstract： For the thermal management of sequentially fired weapon systems， this paper studies the topology optimization of cooling channels of rails. The minimization of the rail surface temperature is taken as the optimization objective. The rail stress and deformation are used as the constraint conditions. The mathematical model for the optimization of cooling channels is built. Case study is performed base on a typical launcher structure and optimized cooling channel design is obtained. In the optimized rail， channels have elliptical cross-sections and are distributed close to the surface in bore and the rail bottom.A rail with cylindrical cooling channels is taken as a benchmark structure. Compared with the reference track with conventional cylindrical runner， under the condition that the track deformation and stress are basically the same， the maximum cross-section temperature of the optimized track is reduced by 13% and the average cross-section temperature is reduced by 9%. The correctness and effectiveness of the topology optimization design method of track cooling runner for weapon system proposed in this paper are verified.

Keywords： weapon system; orbital cooling; runner; topology optimization; mathematical model

隨著發射武器技術的發展，軌道熱管理已成為限制大能量發射技術邁向工程應用的瓶頸。武器發射過程中滑動結構沿軌道做高速載流滑動，在焦耳熱和摩擦熱作用下軌道溫升顯著[1]。諸多工程應用場景要求武器系統以較高的頻率發射，連續發射時軌道經過短時多次熱量累積，容易因過熱引發性能退化甚至結構損傷[2]。

針對軌道散熱問題國內外開展了一定研究，提出了內設流道冷卻、膛內噴淋冷卻和兩者混合冷卻3種軌道熱管理方法[3]。軌道內部架設流道的方法具有冷卻方式成熟度高、冷卻液易傳送回收等優點，但會對軌道力學性能造成一定削弱。膛內噴淋方法對軌道表面噴射冷卻液，利用冷卻液蒸發實現軌道冷卻，該種方法不影響軌道力學性能，但增加了結構復雜性、實現難度大，而且膛內積水會降低結構絕緣性。綜合對比，內部架設流道是最為可行的軌道熱管理方法。Jamison等[4]曾在1995年搭建了小口徑武器系統的軌道熱管理試驗平臺，驗證了內部流道冷卻方式的實用性。

由于內部流道的分布、截面形狀、尺寸等對軌道的冷卻性能、力學性能等有較大影響，內部流道的優化設計無疑是軌道熱管理的重要方面。通過改變圓形截面流道的位置參數，林靈淑等[5]研究了流道對軌道電氣特性和力學特性的影響，發現流道對軌道電氣特性的影響較小而對力學特性的影響較大，內設流道導致軌道形變增大且流道附近的應力增大。Zhao等[6]基于發射過程多物理場耦合仿真對比了4種流道分布的軌道冷卻效果。Elizabeth[7]以橢圓形截面的冷卻流道為研究對象，在給定軌道對流換熱邊界條件和結構應力條件下，對流道尺寸、間距、長寬比等參數進行了優化，以提高軌道冷卻能力。上述工作研究了內部流道對軌道冷卻性能和力學性能的影響規律，但在流道優化設計方面的研究仍不夠深入。拓撲優化是一種對結構材料分布進行優化的結構優化方法，設計自由度多，通常能獲得創新性的結構設計。本文將基于拓撲優化方法開展軌道冷卻流道優化設計研究，建立流道優化數學模型，開展以軌道膛內表面溫度最小化為優化目標，軌道應力與形變為約束條件的冷卻流道優化設計。

1" 數學模型

1.1" 流道拓撲優化模型

流道拓撲優化屬于連續體結構拓撲優化，是以材料分布為優化變量的結構優化。拓撲優化結果描述了軌道結構各點的材料特征，即結構各點的材料為軌道基體，還是內部流道（即冷卻介質）。拓撲優化具有設計變量多、設計自由度高的優點，設計結果能夠為產品概念設計提供重要參考。

武器發射過程中軌道高溫區域主要集中在膛內表面附近，流道靠近膛內表面能夠提高軌道冷卻效果，但可能導致膛內表面在發射力作用下產生過大形變與應力，影響發射性能甚至導致軌道損壞。由此可知，流道的拓撲優化是軌道冷卻效果與力學性能的矛盾平衡問題，構建流道拓撲優化數學模型如下所示。

式中：γ為優化變量，T是軌道溫度，t為時間變量，ν0是冷卻介質流速，u和σ分別為發射力作用下的軌道變形與應力，f為優化目標，如軌道平均溫度、軌道最高溫度等，h1為傳熱控制方程，h2為靜力平衡方程，g1為軌道形變約束，g2為軌道應力約束。

優化變量γ=γ（x）描述了軌道各點x處的材料分布，γ=1表示該點材料為冷卻介質，即該點屬于冷卻流道區域，γ=0表示該點材料為軌道基體材料。由于發射過程中軌道膛內表面的溫升通常較高，且膛內表面的溫度對發射狀態影響較大，因此論文以最小化軌道膛內表面溫度為優化目標f，具體取如下的溫度平均p-范數形式。

式中：Γ表示軌道膛內表面，參數pT越大目標函數f越接近軌道膛內表面的最高溫度。

傳熱控制方程h1在流道區域由冷卻介質對流換熱方程構成，在軌道基體區域由導熱方程構成。在高頻連續發射時軌道冷卻時間短且需耗散的熱量大，為了保證軌道冷卻效果冷卻介質的流速通常較大，流動狀態為湍流。為減少計算量將流道區域傳熱控制方程簡化為導熱方程形式，并通過增大冷卻介質導熱系數、施加沿流動方向的等效熱沉以模擬湍流傳熱作用?；诖?，流道區域和軌道基體的傳熱控制方程h1可寫為如下統一形式。

式中：ρ、Cp、k分別為密度、比熱和導熱系數，ρf、Cp，f為冷卻介質的密度和比熱，Q為發射產生的熱源密度，λQ為等效熱沉系數。在流道區域，ρ、Cp、k分別取冷卻介質的相關參數且λQ=1，上式右側第二項描述了湍流傳熱作用。在軌道基體區域，ρ、Cp、k分別取軌道材料的相關參數且λQ=0。

靜力平衡方程h2描述了軌道在峰值發射力作用下的力平衡狀態，將冷卻介質視為彈性模量近似為零的材料，則流道區域和軌道基體的靜力平衡方程h2可寫為如下統一形式。

式中：彈性矩陣D=D（E，υ）是材料彈性模量E和泊松比ν的函數，F為軌道受到的發射力。在軌道基體區域E、ν分別取軌道材料的相關參數，在流道區域E為接近于零的小數。

軌道形變約束g1用于限制開設冷卻流道后的軌道形變，避免影響發射狀態，具體形式如下。

式中：U0為給定的軌道應變能上限，Ω為軌道區域。

軌道應力約束g2用于限制開設冷卻流道后的軌道應力，避免出現軌道破壞等現象，具體形式為

式中：σmise為軌道的von mises應力，σ0為給定的軌道應力上限，參數ps越大，應力平均p-范數越接近于軌道最大應力。

1.2 材料參數插值模型

流道拓撲優化問題需迭代求解才能得到好的設計結果，為了加快求解收斂速度，本文采用基于梯度的優化算法進行求解。因此將優化變量γ放松為[0，1]范圍內的連續變量，并通過懲罰等方式使得優化過程中優化變量盡可能向0/1極值收斂。因此，定義材料導熱系數與優化變量的插值關系如下。

式中：ks和kf分別為軌道基體材料導熱系數和增大后的冷卻介質有效導熱系數，qkgt;0為導熱系數懲罰因子，通過限制0lt;γlt;1區域的導熱性使得優化結果向0/1極值收斂，且qk越大懲罰作用越顯著，同時插值關系（7）的非線性越強。

材料彈性模量與優化變量的插值關系如下。

式中：Es和Ef分別為軌道基體材料彈性模型和冷卻介質有效彈性模型，qEgt;0為彈性模量懲罰因子，通過限制0lt;γlt;1區域的彈性模量使得優化結果向0/1極值收斂，且qE越大懲罰作用越顯著，同時插值關系（8）的非線性越強。

類似地，定義材料密度、比熱、等效熱沉系數與優化變量的線性插值關系。

式中：χ表示材料的密度ρ、比熱Cp和等效熱沉系數λQ，χs和χf分別表示軌道基體材料和冷卻介質的相應參數。

2 優化流程

在連續發射過程中傳熱過程的時間尺度遠大于發射時間尺度，本文進行流道拓撲優化時僅考慮當前發射完成后至下次發射前這一時間段內的傳熱過程。傳熱方程（3）中的熱源項則根據發射完成后的軌道熱源分布情況進行定義。

流道拓撲優化需首先求解三維發射過程模型[7]，獲得軌道熱源分布和軌道受到的峰值發射力。以軌道橫截面為拓撲優化區域，并對優化變量分布進行初始化?；诓逯的Ｐ褪剑?）—（9）計算材料導熱系數等參數和等效熱沉系數，代入控制方程式（3）（4），計算軌道橫截面的溫度、形變和應力，進而獲得優化目標和約束函數。計算優化目標和約束函數對優化變量的梯度，采用梯度優化算法，求解滿足形變約束和應力約束且能夠進一步降低軌道溫度的優化變量。當連續兩次優化循環的優化變量變化小于給定值或達到給定循環次數時，認為優化過程已收斂，流道拓撲優化完成。

優化結果中通常存在少量的非0/1優化變量，通過閾值映射將其處理為僅由0/1變量構成，此時軌道橫截面僅由基體材料和流道區域構成。將優化后的軌道橫截面沿法向拉伸至軌道長度，就獲得了具有優化的軌道設計。

采用密度過濾對優化變量進行加權平均。

式中：γf為過濾后的優化變量，Rmin為過濾半徑。

為了減少優化結果中的非0/1變量，對過濾后的優化變量進行閾值映射。

式中：γp為映射后的優化變量，γβ為映射閾值，β為映射斜率。

3" 算例研究

3.1" 參數設置

以圖1所示的典型發射結構為研究對象，考慮到結構對稱性，取發射結構的1/4進行發射過程仿真，取軌道橫截面的1/2進行流道拓撲優化。以水為冷卻介質，在拓撲優化過程中冷卻介質的有效導熱系數取值大于實際值，以模擬對流換熱作用；冷卻介質有效彈性模量取略大于零的值，泊松比與軌道材料一致，以保證優化過程中軌道靜力平衡問題的收斂性。

發射過程仿真中滑動結構對稱面電勢設為零，軌道尾端施加如下所示的電壓。

發射完成時刻的軌道尾段溫度分布和熱源密度分布如圖2所示，由于趨膚效應，由焦耳熱引起的軌道溫度分布并不均勻，高溫區域和高熱源密度區域主要集中在膛內表面和肩部邊角。軌道受到的峰值發射力密度分布如圖3所示，在y方向和z方向發射力均為指向結構內部的擠壓力，由于對稱性y方向的合力為零，而z方向的合力沿+z方向，使軌道整體向外擴張。

受趨膚效應影響，發射過程中電流集中分布在軌道表面鄰近區域內，為了減小冷卻流道對軌道電氣特性的影響，設置距軌道邊界小于4 mm的區域為非設計區域，軌道其他區域為設計區域。設計區域的優化變量初始值設為0.2，非設計區域的優化變量始終為0，即優化過程中非設計域的材料始終為軌道基體。優化過程中導熱系數和彈性模量的懲罰因子按照qk=qE= 1、3、5、10的規律逐漸增大，映射斜率按照β=2、4、8、10的規律逐漸增大，以保持優化過程的穩定性，同時減少優化結果中的非0/1變量。

在流道拓撲優化過程中，需不斷求解傳熱控制方程式（3）和靜力平衡方程式（4），獲得優化目標、軌道形變約束和應力約束。為了減少計算量，本算例在優化過程中忽略傳熱控制方程式（3）中的時間相關項，并在軌道膛內非設計區域和肩部邊緣非設計區域施加恒定熱源，用于模擬這些區域的高溫效應。冷卻介質平均流速設為ν0=5 m/s。在軌道非設計區域內施加體積力，使得軌道所受合力等于峰值發射力。

3.2 優化結果

優化過程中軌道材料分布變化如圖4所示，優化結果中流道集中分布在軌道膛內表面和底面的鄰近區域，能夠快速將高溫區域的熱量傳遞出去。流道截面呈橢圓形，能夠增大對流換熱面積，同時減小由開設流道引起的應力集中。軌道肩部區域的應力較大，因此優化結果中肩部區域內沒有流道，而且靠近肩部的流道的長邊方向與應力方向垂直，減小了流道附近的應力集中。

優化目標隨優化迭代次數的變化歷程如圖5所示。對于同一組（qk， qE， β），優化目標隨著優化進程不斷降低；當（qk， qE， β）取值增大時，對非0/1變量的懲罰程度增大，非0/1變量的傳熱特性和力學特性下降，因而目標函數增大。

本算例沒有限制流道區域在軌道中的占比，但在提高冷卻能力與限制軌道形變和應力的平衡作用下，設計區域沒有完全變為流道區域或軌道基體。以0.58為閾值將優化結果映射為僅由流道和軌道基體構成的優化結構，如圖6（a）所示，其中流道區域占比約為6.3%。構建具有圓形截面流道的常規軌道結構，作為評價優化結構的基準，如圖6（b）所示，基準結構的流道占比與優化結構保持一致。

在發射力作用下，優化軌道和基準軌道的應力分布和z向變形分布分別如圖7和圖8所示。與基準軌道相比，優化軌道的整體應力水平略微偏大，兩側流道因靠近肩部拐角所以應力偏大，但其他區域的應力均低于材料屈服強度。在發射力的作用下，優化軌道和基準軌道均向外擴張，但優化軌道的形變小于基準軌道。

發射完成后在優化軌道和基準軌道中通入冷卻介質對其進行冷卻，冷卻介質流速為5 m/s，溫度為20 ℃?；瑒咏Y構起始位置處的軌道截面最高溫度和平均溫度隨冷卻時長的變化如圖9所示。發射完成時刻兩軌道的高溫區域集中在肩部邊角和膛內表面，在導熱和對流換熱的共同作用下，初始冷卻階段兩軌道的最高溫度均快速下降，后續隨著冷卻時間的增加軌道溫度緩慢下降。

優化軌道的最高溫度和平均溫度始終明顯低于基準軌道。以冷卻時長為5 s為例，優化軌道的截面最高溫度比基準軌道低約4 ℃，是基準軌道截面最高溫度的13%；截面平均溫度比基準軌道低約3.2 ℃，是基準軌道截面平均溫度的9%，驗證了論文提出的基于拓撲優化進行軌道冷卻流道設計的正確性和有效性。連續發射時軌道內部積累的熱量逐次增加，軌道溫升不斷增加，此時優化軌道的冷卻優勢將更加顯著。

4" 結論

本文進行了發射軌道內部流道優化研究，綜合考慮軌道冷卻性能和力學能力，構建了流道拓撲優化數學模型。以典型大能量發射結構為研究對象，開展了流道拓撲優化，獲得優化軌道結構。優化結果表明：

1）提高軌道冷卻能力和限制軌道形變及應力具有一定矛盾性，流道拓撲優化是尋找能夠達到上述2方面矛盾平衡的優化結構的過程。

2）冷卻流道應靠近軌道膛內表面，以加快高溫區域散熱，但同時會引起軌道形變和應力增大。

3）橢圓形截面的流道有助于增大對流換熱面積，同時降低對軌道力學能力的影響。與基準軌道相比，優化軌道在力學承載能力基本一致的情況下冷卻性能顯著提高，驗證了本文提出的軌道冷卻流道優化設計方法的正確性和有效性。

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