為什么身份證號尾號會出現“Ⅹ”

郭園園

目前我國居民身份證號碼總共是18位，前17位都有具體含義：前6位是首次辦身份證時所在的省、市、區的代碼，中間8位是持證人的出生年、月、日，后面3位是申請戶籍時派出所的分配碼。唯獨最后一位數字，是對前面的數字進行簡單的數學運算后得出的，它是一個校驗碼。有的人會問：“為什么我身份證號的最后一位是字母X？”其實，這并不是字母X，而是羅馬數字Ⅹ。為什么不寫成10呢？因為如果寫成10，身份證號就變成19位了。在編碼學中，不一樣的數位不太容易存儲和使用。那為什么最后一位的校驗碼會算出10呢？其實，這種算法已經有上千年的歷史了。

來自絲綢之路的數學

首先，我們來看一種古老的算法：棄九法。

15世紀初，撒馬爾罕城的統治者兀魯伯格很愛鉆研科學。他編訂了《兀魯伯格歷》。這么喜歡科學的一個人，當然也很喜歡從帝國境內網羅各種數學、天文學人才。

阿爾·卡西是兀魯伯格手下的首席科學家，也是兀魯伯格天文臺的第一任臺長。當時的首席科學家不僅要幫助皇帝解決最困難的數學、天文學問題，還要給帝國境內的工匠、官員，還有兒童、青少年編訂數學書。他編的這本書的名字叫《算術之鑰》，就是算術的鑰匙的意思。這本書囊括了跟今天小學和初中數學類似的內容：算術、代數、幾何，書的第一卷講的是整數的運算，比如加法、減法、乘法、除法，其中有一個算法很有意思，叫棄九法。

要了解棄九法，首先要弄清楚什么叫棄九數。比如，數字3217，把它每一位上的數字連續相加，3加2加1加7等于13；繼續把13的每一位上的數字相加，1加3等于4。直到得到個位數字4為止，這個4就是3217的棄九數。其實這個棄九數就是3217除以9之后的余數，只不過這種連續相加的方法是一種快速算法。

棄九數有什么用？它最主要的作用是檢驗運算是否準確。比如，現在要檢查3169乘以732等于2319708是否正確。如果沒有別的方法的話，只能把它重新算一遍。但是用棄九法，首先把3169的棄九數求出來——1，再算出732的棄九數——3，接著算出2319708的棄九數——3，最后我們核驗一下1乘以3等于3，結果是正確的。這就是古人的驗算方法，其中充滿了智慧。大部分的數學知識，對普通人來講就是為了應用。

阿爾·卡西作為首席科學家輔佐兀魯伯格制定天文歷法的時候，需要進行大量運算。為了達到高精度的運算，阿爾·卡西也需要檢驗。作為一流的數學家，他在思考高維問題的時候比普通人具有優勢，但如果只是比純粹的加減乘除運算，數學家與普通人之間其實并無差別。

從棄九到同余

隨著歐洲文藝復興運動的開展，阿拉伯的許多算法傳到了歐洲。而從明朝開始，西方的數理科學知識大量傳入我國，形成西學東漸。

在棄九法發展的過程中，數學家們又逐漸認識到棄七法、棄十一法、棄十三法等。這些方法都屬于今天初等數論中的同余理論。同余理論在我們日常生活中比較常見的應用是什么？答案是計算校驗碼。

和我們生活最息息相關的校驗碼就是身份證號尾號。平日里，我們經常需要在手機或者電腦上輸入身份證號，輸入這么長的數字很容易輸錯，有了第18位校驗碼，就能及時發現錯誤。只要一個小小的校驗碼，就可以保證整個系統的正常運轉。

那它是怎么算的？主要分3步：首先身份證號碼總共18位，把前17位號碼依次乘以指定的系數，第一位乘以7，第二位乘以9，第三位乘以10……這在數學上叫作加權因子；然后，把這17個乘積相加；最后，用所得和數除以11，看余數是多少。

某一個很大的數除以11，它的余數有多少種可能？如果整除的話，余數看成0；如果沒有整除，余數可能出現1、2、3、4、5、6、7、8、9，還有可能出現10，但是不可能出現11。按規定，不同的余數對應著不同的校驗碼。比如余數是0的時候，它對應的校驗碼就是1；余數是1的時候，它對應的校驗碼就是0；余數是2的時候，它對應的校驗碼是Ⅹ……這就是身份證號的最后一位可能是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、Ⅹ的原因。

下面來看一種簡單一點兒的算法，它依然是利用棄十一法進行的校驗碼運算。只要是從正規的書店買到的圖書，每一本書都會有一個ISBN編號，叫國際標準書號。

目前ISBN編號有兩組：一組是10位的，另一組是13位的。一個含有校驗碼的10位ISBN編號，它的前9位是有具體含義的，你可以通過這9位數字看出這本書是哪個國家、哪家出版社的。

第10位怎么算呢？比如，某一本書前9位的源號碼是730904547，將第一位數乘以10，第二位數乘以9，第三位數乘以8……將9個乘積相加，最后得到226。然后計算226加上誰，可以被11整除，結果發現226加5就可以被11整除。按照這個算法，校驗碼就應該是5，由此就得出第10位的校驗碼。

那它怎么起到校驗作用？假如把第一個數輸錯了，本來是7，不小心輸成了8。按照乘以加權因子再相加求和的方法，上面那個和已經不是226了，而是236。這時236需要加上6才能夠被11整除。那按照這個算法，校驗碼應該是6，而不是5。

所以在真正操作的時候，如果有一位數字不小心輸錯了，但是最后校驗碼還是原來的數字，這時系統就會識別出這個號碼是無效號碼，是一個錯誤的號碼。這是一個簡單的數學算法，但是它蘊含著巨大的力量，為整個系統的運轉提供安全保障。

校驗碼無處不在

在日常生活中，校驗碼是非常常見的。

平常去商店或者超市購物，你會看見條形碼。條形碼的最后一位也是校驗碼。識別的時候，只要拿掃描槍掃一下，機器就能根據條形碼的粗細來識別不同的數字。

條形碼蘊含的信息太少了，畢竟只有幾個數字。所以除了條形碼，我們還有二維碼，二維碼蘊含的信息更多。二維碼中的黑白小格，實際上就是數字0和1。它不僅含有校驗碼，還有其他信息，比如識別碼。

平常在掃二維碼的時候，如果拿手蓋住一塊，是不是還可以掃出來；或者二維碼有一些地方破損了，但是依然可以掃出來。這就是識別碼在起作用，它是更復雜的數學工具。在工業生產比如汽車裝配，或者更復雜的FAST天文望遠鏡的裝配過程中，成千上萬個零件就需要二維碼的幫助，以完成組裝。

美國數學家莫里斯·克萊因在《西方文化中的數學》中說過這樣一句話：“數學知識如果脫離了它豐富的文化基礎，就會被簡化成一些毫無意義、充滿技巧性的程序，數學的形象這時候就被扭曲了。”

任何一個數學公式、數學算法、數學定理背后都有它產生的源泉。比如身份證號中的算法，至少有一千年的歷史，它背后有著數學思想演化的脈絡。

（摘自2023年第13期《讀者》）