測量精度約束的模糊度搜索定位算法

摘 要：為了快速且準確地固定整周模糊度，針對 LAMBDA 算法存在整周模糊度搜索范圍過廣、搜索效率低等問題，提出一種基于測量精度約束的模糊度搜索算法。該算法在最小二乘問題得到最佳加權的情況下，以標準差分進化（DE）算法為基礎、載波相位測量精度為約束條件進行模糊度固定解的檢驗。該算法解決了不同衛星高度角產生的影響，在解算三維整周模糊度時能夠達到99%的解算成功率。相比于 MLAMBDA、DE、自適應加權的差分進化（AWDE）算法，該算法進一步提高了模糊度的解算效率和成功率。

關鍵詞：整周模糊度； 測量精度約束； 模糊度搜索算法； 最小二乘； 標準差分進化算法

中圖分類號：TP301.6

文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695（2023）07-020-2053-07

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2022.11.0782

Ambiguity search algorithm for location with measurement accuracy constraints

Xian Wei¹， Yang Jie^1?， Wu Jiwei²

（1.Hubei Provincial Key Laboratory of Broadband Wireless Communication amp; Sensor Networks， School of Information Engineering， Wuhan University of Technology， Wuhan 430070， China; 2.Shanghai International Port （Group） Co.， Ltd.， Shanghai 200135， China）

Abstract：In order to fix the integer ambiguity quickly and accurately， this paper proposed a new ambiguity search algorithm based on measurement accuracy constraints to solve the problems of the LAMBDA algorithm， such as the wide search range of the integer ambiguity and the low search efficiency. When the least squares problem got optimally weighted， the algorithm took the carrier phase measurement accuracy as the constraint condition to test the fixed ambiguity solution on the basis of the stan-dard differential evolution （DE） algorithm. This algorithm solved the influence of different satellite altitude angles， and could achieve 99% success rate when solving 3D integer ambiguity. Compared with the MLAMBDA algorithm， the standard DE algorithm and the adaptive weighted differential evolution （AWDE） algorithm， the proposed algorithm further improves the efficiency and success rate of ambiguity resolution.

Key words：integer ambiguity; measurement accuracy constraints; ambiguity search algorithm; least square; standard diffe-rential evolution algorithm

0 引言

全球導航衛星系統（global navigation satellite systems，GNSS）^［1］是一個復雜的、多模型、多層面的組合系統^［2］，并且許多應用程序可以通過 GNSS 提供準確的基線矢量來啟用，當接收天線經過特殊設計或適當補償相位中心偏移時，可以同時測量偽距和載波相位距離^［3］。由于偽距觀測量的測量精度較低^［4］，高精度定位通常基于載波相位差分定位技術實現^［5］，而整周模糊度的固定則是實現載波相位差分定位的核心技術^［6］，固定整周模糊度后，相位觀測值就變成距離觀測值，從而通過載波相位差分定位就可以實現厘米甚至毫米級的定位^［7］。

采用單歷元觀測數據確定整周模糊度能夠避免周跳影響，提高模糊度搜索效率和固定成功率，也不用擔心衛星信號失鎖時重新求解整周模糊度的問題。關于如何實現單歷元整周模糊度的固定，代表方法為最小二乘模糊度去相關算法（least square ambiguity decorrelation adjustment，LAMBDA）^［8，9］，許多學者據此提出了許多優化辦法。文獻［10］提出MLAMBDA算法降低求解整數最小二乘問題的計算復雜度和搜索效率；文獻［11］提出一種組合的模糊度搜索方法，運用到有 LAMBDA算法輔助的基線上，確保單歷元算法的精度和成功率；文獻［12］采用最小二乘算法求取初始模糊度并構造模糊度原始搜索空間，再采用兩種不同線性組合的擴波方式以及逆變換求模糊度，實現單歷元解算。但是上述研究缺乏對實際多歷元的廣泛應用性，并且傳統LAMBDA算法本身矩陣方程的缺陷性并沒有克服。文獻［13］運用正則化理論構造正則化矩陣，同時用均方誤差矩陣代替原算法的協方差矩陣依次縮短初始化時間，提高搜索成功率；文獻［14］也是利用正則化方法對方程進行改進，應用均方誤差矩陣代替協方差矩陣，然后利用固定的寬巷模糊度和載波相位雙差觀測值解算出整周模糊度，提高了模糊度解算成功率；文獻［15］基于標準差分進化（differential evolution，DE）算法的強大全局搜索能力和快速收斂能力，提出了一種自適應加權的差分進化算法（AWDE），避免了早熟、中斷等問題，并通過ratio值對搜索完成的固定解進行質量檢驗，但是參考衛星的變換會影響模糊度搜索效率和固定成功率。

本文針對以上問題優化了整周模糊度解算過程，最小二乘問題得到最優加權時幾乎消除了不同參考衛星對整周模糊度解算成功率的影響。同時為了解決整周模糊度搜索范圍過廣、搜索效率低、固定成功率低等問題，本文在DE算法的基礎上提出了一種基于測量精度約束的模糊度搜索算法，縮短了模糊度搜索時間并且提高了在單歷元以及多歷元情況下的模糊度解算成功率，通過基線解算的誤差分析將本文提出的基于測量精度約束的模糊度搜索算法與MLAMBDA、DE、AWDE算法進行比較，充分顯示了基于測量精度約束的模糊度搜索算法在模糊度固定成功率、模糊度搜索效率以及基線解算誤差等方面的優越性。

1 整周模糊度解算基礎

1.1 差分定位數據模型

在衛星導航定位應用中，偽距和載波相位是基礎的觀測值，它們的觀測方程分別為

2 測量精度約束高效搜索模糊度的過程

2.1 標準差分進化算法

標準差分進化算法根據父代個體間的差分矢量進行變異、交叉和選擇操作，通過不斷迭代保存符合環境的個體，是一種隨機模型^［15］，其主要流程如下：

a）初始化。首先確定差分算法的控制參數，包括種群大小popsize、最大迭代數max_generation、加權因子F和交叉概率CR。

b）編碼。實數編碼是DE算法的特點所在，相較于二進制編碼，兩者均能夠有效地搜索雙差整周模糊度固定值，但二進制編碼無法反映問題本身的固有結構特點，個體長度較大，穩定性低于實數編碼，也無法避免Hamming懸崖問題。

c）適應度函數。利用最小二乘準則，用模糊度浮點解去擬合固定解，使得浮點解達到在最小二乘準則下整數最優。在最小二乘準則下，代價函數和適應度函數為

式（27）可求得基線向量的估計，式（29）可求得整周模糊度的浮點解，以上可說明優化后的解算過程中基線向量的估計與整周模糊度是獨立求解的，并且當基線向量誤差過大時，偽距和載波相位測量矩陣y中的相關雙差偽距載波變量誤差就大，導致整周模糊度的浮點解解算誤差也大，進而可能使得模糊度解算失敗，所以基線向量的估計會直接決定整周模糊度的浮點解。針對這一問題，本文在標準差分進化算法的基礎上提出了一種基于測量精度約束的模糊度搜索算法，以提高整周模糊度的搜索效率和固定成功率。

2.3 基于測量精度約束的模糊度搜索算法

載波相位整周模糊度求解的目標是如下所示的最小二乘優化問題：

其中：N_a是整周模糊度的浮點解；Q_Na是浮點解估計的協方差。

通常使用第二最優解與最優解之間的比率作為判斷整周模糊度是否成功解算的依據，而這個比率與整周模糊度的浮點解與其協方差矩陣均有關。在理想情況下，當從偽距觀測中獲得良好的基線向量估計，從基線向量估計和載波相位觀測中得到模糊度浮點解也接近真實模糊度時，模糊度浮點解落入真實的模糊度浮點解引入區域。由于最終的解空間是整數向量區域，第二最優解與最優解之間的差值至少為 1。但是當偽距誤差過大時，就會導致基線向量估計誤差過大，使得模糊度浮點解不夠準確。本文提出的基于測量精度約束的模糊度搜索算法就是以載波相位測量精度為約束條件，提高整周模糊度的固定成功率和效率。假設載波相位誤差符合高斯分布，其標準差為v，設定以下約束：

其中：L表示載波相位雙差測量值；λ是波長；N是整周模糊度向量；i表示第i個衛星；v_i是載波相位雙差測量的標準偏差。一個優秀的模糊度搜索算法可以使得上述約束達到95%以上的成功率。

當無法固定某個整周模糊度時，基于測量精度約束的模糊度搜索算法就會搜索當前最優浮點解估計周圍的整數網格點，并將滿足約束即式（35）的整數網格點保留為比浮點數更好的估計候選者。因此包含此約束的最小二乘估計為

式（36）中的載波相位測量和波長可以是雙頻測量的線性組合，不同的衛星i對應不同的載波相位雙差測量的標準偏差v和波長λ，Z表示相鄰的整周模糊度搜索空間。基于測量精度約束的模糊度搜索算法的解算過程如圖1所示。

明確的偽距雙差觀測決定基線向量估計的準確度，聯合基線向量的估計和載波相位雙差觀測統計以實現模糊度浮點解的準確估計，也就是說當偽距雙差測量足夠準確時，模糊度浮點解的準確估計也就很容易實現。如果當偽距雙差測量有噪聲時，且通過標準差分進化算法得到的模糊度固定解未通過檢驗時，可以采用載波相位雙差測量精度約束來測定未固定的模糊度浮點解，如測試失敗則拒絕，如測試成功則保留為模糊度固定解的候選者。本文所提出的搜索算法就像是一個整數孔徑估計器，滿足約束條件的模糊度固定解則通過孔徑作為候選數保留下來，未通過的則排除掉。

利用載波相位觀測的精度，優化此算法設定的約束以如下方式進行：在解決設定約束的最小二乘估計問題即式（36）時，由于高維問題一直是模糊度解算的難題且維數過高極易陷入局部最優解使得模糊度搜索過程變得復雜，所以沒有必要枚舉初始估計周圍的每個整數網格點，而是采取部分模糊度搜索策略，其核心思想是依據一定的準則從模糊度全集中選出質量較好的部分模糊度子集進行固定，可以提高模糊度固定的成功率和搜索效率。取其設定的多個維度的整數網格點，實際的模糊度向量中有三個是獨立的，確定三個模糊度后，其他都可通過確定的線性關系確定，所以選擇三個維度的整數網格點。獲取任一維度下的整數網格點：

其中：G是差分幾何矩陣；S是幾何選擇矩陣；N₀表示對浮點解N_a取整。當獲得x_cand時，即該維度方向上的基線向量浮點解，可以通過式（29）得到完整的整周模糊度，然后再通過此前設定的約束最小二乘估計進行測試，滿足約束的測試條件則為候選的整周模糊度向量，如果得到多個候選整周模糊度向量，可以選擇最接近浮點解N_a的一個。

為了最小二乘問題的數值穩定性和求解精度，幾何選擇矩陣S應保證差分幾何矩陣G的條件數足夠小。如果矩陣行之間的角度很大，則條件數很小。確定幾何選擇矩陣S的算法如算法1所示。

算法1 確定數值穩定的幾何選擇矩陣S

輸入：差分幾何矩陣G，每行對應的仰角。

綜上所述，本文在標準差分進化算法基礎上提出的基于測量精度約束的模糊度搜索算法如算法2所示。

算法2 基于測量精度約束的模糊度搜索算法

輸入：差分幾何矩陣G，幾何選擇矩陣S，雙差協方差矩陣估計。

a）通過式（38）將N_a選定多維方向周圍相鄰的網格整周模糊度向量枚舉出來；

b）對于其中一個枚舉的整周模糊度向量，根據式（37）計算其對應維度上的基線向量估計；

c）利用枚舉的整周模糊度向量和基線向量估計計算載波相位雙差殘差，并進行載波相位精度測試，即通過約束的最小二乘估計即式（36）進行測試，滿足約束方程條件的為候選的整周模糊度向量；

d）對相鄰網格搜索空間，即式（38）中設定維度上的所有整數網格點重復步驟b）c），如果只有一個整周模糊度向量通過了測試，或者多個重復循環中出現了一個公共的整周模糊度向量，那么就將其作為最后的整周模糊度向量，即固定的整周模糊度，否則輸出浮點解。

3 實驗結果與分析

3.1 優化解算過程后衛星的模糊度解算情況

實驗根據優化后的解算過程，從偽距無模糊測量中得到基線向量的估計并與載波相位雙差觀測方程聯立進行模糊度浮點解的估計，之后采用標準差分進化算法進行模糊度的固定，采用已有的衛星導航數據得到用戶站和7顆不同衛星的相關位置，并將其放置在可視化的三維立體圖中。如圖2所示，用戶站的位置為［0 -4.8927E6 4.0780E6］，7顆衛星的位置覆蓋在三維的各個層面，并不拘泥于同一片區域，其位置坐標依次為

實驗構造以下單差噪聲模型：

其中：a和b為模型常數；θ_el為衛星夾角；r為偽距測量誤差與載波相位測量誤差之比。實驗設置a=b=α，α是測量方差比，且r=100。由于蒙特卡羅模擬方法是將所求解的問題通過隨機抽樣過程實現，以隨機事件出現的頻率估計其概率，或者以抽樣的數字特征估算隨機變量的數字特征，并將其作為問題的解^［24］，這種方法回避了可靠度分析中的數學困難，只要抽樣次數夠多，得到的結果可靠度也足夠高。所以采用蒙特卡羅模擬方法進行實驗，每次蒙特卡羅實驗基線長度設置為50 m，方向隨機。當最優解與真實整數模糊度重合且檢驗比值大于或等于3時，則認為求解過程成功。

本節實驗首先將蒙特卡羅實驗次數設置為1 000，測量方差比以0.05為間距從0.05～1進行設定，實驗結果如圖3所示。

由圖3可知，隨著測量方差比的不斷增加，整周模糊度解算成功率不斷降低，在測量方差比為0.3時，整周模糊度解算成功率仍在90%左右，之后會隨著測量方差比增加而突變下降。同時在相同測量方差比的情況下，7顆不同衛星的整周模糊度解算成功率誤差極小，說明優化之后的整周模糊度解算過程受到參考衛星以及衛星高度角變化的影響極小，幾乎可以忽略不計。再將測量方差比固定為0.3，其余條件不變，7顆不同衛星的整周模糊度解算成功率伴隨著蒙特卡羅實驗次數的增加，其實驗結果如圖4所示。

由圖4可知，隨著蒙特卡羅實驗次數的不斷增加，7顆衛星的整周模糊度解算成功率不斷趨于穩定，逼近實驗結果圖3中，測量方差比為0.3時整周模糊度解算成功率在90%左右的數據，同時7顆不同位置衛星在蒙特卡羅實驗次數足夠多時，整周模糊度解算成功率趨于穩定且基本一致，這也能說明優化之后的整周模糊度解算過程幾乎不受參考衛星以及衛星高度角變化的影響，這樣就解決了標準DE算法在實際應用中受到參考衛星變換影響的問題。

3.2 基于測量精度約束的模糊度搜索的算法分析

基線向量估計的精度會嚴重影響到模糊度浮點解的估計，進而影響到整周模糊度的固定成功率，本節實驗在優化后的模糊度的解算過程的基礎上采用本文提出的基于測量精度約束的模糊度搜索算法，實驗設定維數為三維并將其與 MLAMBDA 算法、標準DE算法、AWDE算法進行比較，應用于單雙歷元的實驗環境中，設定蒙特卡羅實驗次數為 10 000，測量方差比以0.1為間距從0.1～1進行實驗，其余基本設置仍同3.1節實驗一樣，實驗結果如圖5所示。

圖5表明應用基于測量精度約束的模糊度搜索算法之后，整周模糊度解算受測量噪聲的影響明顯更小，整周模糊度解算成功率比 MLAMBDA 、標準DE、AWDE算法都有明顯提高，并且在單歷元情況的整周模糊度解算程度是有限的，因為如果初始偽距浮點解遠離真實解而更接近另一個網格點，則根本沒有可以利用的額外信息。在兩個時期的情況下，因為使用了額外的先驗信息，即整周模糊度在兩個時期內保持不變，如果兩個連續實驗中的任何一個成功，則認為整周模糊度解算成功，這并不受測量噪聲的影響。所以雙歷元情況下的整周模糊度解算成功率明顯高于單歷元。

基于測量精度約束的模糊度搜索算法大幅度提高了整周模糊度的解算成功率，實驗進一步探究本文提出的基于測量精度約束的模糊度搜索算法和MLAMBDA、標準DE、AWDE算法的搜索效率，設定測量方差比為 0.3，蒙特卡羅實驗次數重新設置為 1 000，其余條件不變，計算在四種算法下以7顆衛星各自為指定參考衛星的整周模糊度搜索時間，實驗結果如表1所示。

綜合以上信息將四種算法的收斂迭代次數、整周模糊度規定成功率以及平均解算時間進行比較，結果如表2所示。

表1和2說明實驗時不同指定的參考衛星搜索時間也略有不同，但是本文提出的基于測量精度約束的模糊度搜索算法所耗費的模糊度搜索時間明顯小于MLAMBDA、標準DE和AWDE算法，提高了整周模糊度的搜索效率。同時在收斂迭代次數上新算法稍優于AWDE算法且明顯優于MLAMBDA、標準DE算法，證明算法有良好的全局搜索能力以及較快的收斂速度，結合之前實驗對整周模糊度固定成功率的探究可以得知本文提出的模糊度搜索算法實現整周模糊度的固定比MLAMBDA、標準DE和AWDE算法更加高效穩定可靠。

3.3 定位解算誤差分析

在MLAMBDA、標準DE、AWDE以及提出的基于測量精度的模糊度算法固定整周模糊度之后，實驗選取其中1 000歷元繼續采用這四種算法進行相應的基線定位解算，維數仍然設定為三維，分析在東方向（E）、北方向（N）以及天頂方向（U）各自對應的定位誤差精度。基線定位誤差結果如圖6～9所示。

由圖6～9可從宏觀上看出，本文提出的模糊度搜索算法基線解算后在東方向（E）、北方向（N）以及天頂方向（U）的定位誤差均比MLAMBDA、標準DE、AWDE算法小。

均方根誤差（root mean square error，RMSE）是一個內部精度指標^［25］，主要反映觀測值與參考值的偏差程度。對上述四種算法在東方向（E）、北方向（N）以及天頂方向（U）得到的偏差進行定量分析，求出對應的RMSE值以及平均值，結果如表3所示。

表3說明四種算法在E、N方向的定位精度更高，在U方向的精度略差一些，但至少都達到了厘米級別，部分數據甚至出現了毫米級別的定位精度，并且本文提出的模糊度搜索算法定位精度在各個方向以及平均誤差等各指標上明顯好于前三種方法。可見本文提出的基于測量精度約束的模糊度搜索算法在模糊度固定成功率、搜索效率以及基線定位解算各方面的優勢。

3.4 多維度條件下的實驗分析

隨著整周模糊度浮點解維數的增加，整周模糊度的解算相對來說更加困難，前面的實驗都是在設定的三維條件下進行的，本節實驗其余條件不變，針對標準DE、AWDE算法以及提出的測量精度約束的模糊度搜索算法繼續進行5、7維條件下的實驗對比分析，結果如表4～6所示。

隨著維度的增加，收斂迭代次數和平均解算時間在增加，解算成功率也在下降，但測量精度約束的模糊度搜索算法在收斂速度、解算效率和成功率上明顯優于其他兩種算法，解算速度變化的幅度相對不大，解算成功率仍在97%以上，即使在更高維度條件下也基本能夠滿足解算的效率性和準確率。

4 結束語

本文充分考慮到參考衛星的選擇會對整周模糊度解算產生很大影響，通過優化整周模糊度解算過程，降低了參考衛星以及衛星高度角變化帶來的影響；針對傳統的處理策略可能會導致模糊度浮點解進入錯誤的引入區域，從而得到錯誤的整周模糊度固定解，本文在標準DE算法的基礎上提出基于測量精度約束的模糊度搜索算法，增加了額外的統計約束，提高了當誤差比率低于某個預定義閾值時的歧義解決過程的性能。實驗證明相比于MLAMBDA、標準DE、AWDE算法，本文提出的基于測量精度約束的模糊度搜索算法幾乎不受參考衛星位置的影響，提高了整周模糊度的解算成功率和搜索效率，有較好的收斂速度和全局搜索能力；多歷元條件下整周模糊度固定效果改善更為明顯，并且降低了最終的基線解算誤差，提高了定位精度。在以后的研究中，可以進一步優化載波相位殘差約束方程，提高模糊度解算成功率和搜索效率，并推廣到長基線復雜多噪聲的環境中。

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