基于自適應t分布與動態權重的樽海鞘群算法

摘 要：針對樽海鞘群算法尋優精度低、收斂速度慢和易陷入局部最優等缺點，提出一種基于自適應t分布與動態權重的樽海鞘群算法。首先，在領導者位置更新中引入蝴蝶優化算法中的全局搜索階段公式，以此來增強全局探索能力；然后，在追隨者位置更新中引入自適應動態權重因子來加強精英個體的引導作用，從而增強局部開發能力；最后，為了避免算法陷入局部最優，引入自適應t分布變異策略對最優個體進行變異。通過對12個基準測試函數進行求解，根據平均值、標準差、求解成功率、Wilcoxon檢驗和收斂曲線分析，表明所提出的算法要優于標準樽海鞘群算法，以及參與比較的其他改進樽海鞘群算法和其他群智能算法，說明了其在尋優精度和收斂速度方面都有顯著提升，并且具備跳出局部最優的能力。通過將其應用在脫硝入口濃度最低點尋找上，驗證了算法的有效性。

關鍵詞：樽海鞘群算法； 蝴蝶優化算法； 動態權重； 自適應t分布； 收斂曲線

中圖分類號：TP301.6

文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695（2023）07-022-2068-07

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2022.11.0628

Salp swarm algorithm based on adaptive t-distribution and dynamic weight

Hu Jingjie， Chu Zhaobi^?， Guo Yule， Dong Xueping， Zhu Min

（School of Electrical Engineering amp; Automation， Hefei University of Technology， Hefei 230009， China）

Abstract：Aiming at the shortcoming of salp swarm optimization algorithm such as low accuracy， slow convergence speed and easy to fall into local optimum， this paper proposed an adaptive t-distribution and dynamic weight salp swarm optimization algorithm. Firstly， the leader position update introduced the global search stage formula of butterfly optimization algorithm to enhance the global exploration ability. Secondly， the follower location update introduced an adaptive dynamic weighting factor to strengthen the guiding role of elite individuals， so as to enhance the local development ability. Finally， the adaptive t-distribution mutation strategy mutated the optimal individual in order to avoid the algorithm falling into local optimum. By solving 12 benchmark test functions， and according to comparison results of the mean value， standard deviation， solving success rate， Wilcoxon test and convergence curve， the proposed algorithm was superior to standard salp swarm algorithm， the compared other improved salp swarm algorithm and the compared other swarm intelligence algorithms. The results also show that it has a significant improvement in the optimization accuracy and convergence speed， and has the ability to jump out of local optimum. The experimental results verify the effectiveness of the proposed algorithm by applying it to find the lowest point of denitrification inlet concentration.

Key words：salp swarm algorithm; butterfly optimization algorithm; dynamic weight; adaptive t-distribution; convergence curve

0 引言

隨著人類文明不斷發展，科學技術得到了相應的發展，然而其中許多復雜優化問題也接踵而來。傳統的優化方法，如梯度下降法，通常對優化問題的性質和規模有特定的要求^［1］，因此，需要一種新的優化方法來解決問題。群智能算法是根據生物行為啟發所提出的優化方法，如粒子群算法（particle swarm optimization，PSO）^［2］、灰狼優化算法（grey wolf optimization，GWO）^［3］、鯨魚優化算法（whale optimization algorithm，WOA）^［4］、蝴蝶優化算法（butterfly optimization algorithm，BOA）^［5］、蝗蟲優化算法（grasshopper search algorithm，GOA）^［6］等。這些算法已成功應用在特征選擇^［7］、支持向量機^［8］、卷積神經網絡^［9］等領域。

樽海鞘群算法（salp swarm algorithm，SSA）^［10］是由Mirjalili等人提出的一種新型群智能算法，它相較于其他群智能算法，具有簡單的數學模型，且算法參數較少，容易實現，但是它也存在其他群智能算法收斂精度低、收斂速度慢和易陷入局部最優等缺點。因此，許多學者對樽海鞘群算法進行相應的改進。文獻［11］采用哈里斯鷹覓食策略和多點先導交叉策略，使得全局搜索和局部搜索得到很好的平衡。文獻［12］采用隨機替換和雙重自適應策略，加快了算法的收斂速度并提高了算法的開發能力。文獻［13］在追隨者位置引入時變慣性權重因子，并結合自適應突變策略，提高了尋優能力。文獻［14］在追隨者位置結合慣性權重因子和種群成功率，并對非最優個體進行差分變異，提高了尋優精度。文獻［15］在領導者位置引入萊維飛行，并將其運用在多閾值圖像分割上，獲得了更準確的分割閾值和更高的分割效率。文獻［16］在迭代前半部分對領導者采用GWO和CS算法方程，在后半部分采用原算法方程，并將參數c₁改為對數遞減函數，使得算法探索與開發更加均衡，并應用于無線電系統傳輸參數的優化。

為了更好地提高樽海鞘群算法的性能，本文提出了一種基于自適應t分布與動態權重的樽海鞘群算法（salp swarm algorithm based on adaptive t-distribution and dynamic weight，ATDSSA）。首先，在領導者位置更新中引入蝴蝶優化算法的全局搜索階段公式，使得領導者位置更新既受上一代全局最優解的影響，也受上一代領導者位置的影響，增強了全局探索能力；然后，在追隨者位置引入自適應動態權重因子來加強精英個體的領導作用，以此來提高局部開發能力；最后，對最優個體采用自適應t分布變異策略，避免陷入局部最優。通過對12個基準測試函數進行求解，與標準樽海鞘群算法、其他改進樽海鞘群算法和其他群智能算法對比分析，驗證了本文算法的有效性和魯棒性。

1 標準樽海鞘群算法

在樽海鞘鏈中，將種群分為了兩類，一類是領導者，另一類是追隨者。領導者處于樽海鞘鏈的前端，追隨者則是剩余的個體。以最小化問題為例，樽海鞘群算法SSA流程如下：

a）初始化種群。確定種群的數量和空間維度，以及每一維度搜索空間的上下限，初始化樽海鞘的位置Xⁱ_j，即

其中：N為樽海鞘種群的大小;D為空間維度;lb_j為每一維搜索空間下限;ub_j為每一維搜索空間上限，i∈［1，2，…，N］，j∈[1，2，…，N］。

b）根據目標函數計算每個樽海鞘適應度值，對適應度值進行排序，適應度值最小的樽海鞘位置為全局最優位置，即為食物源位置。

c）樽海鞘領導者的位置更新如下：

其中：k為當前迭代次數;X¹_j為第一個樽海鞘（領導者）在第j維空間的位置;F_j為食物源在第j維空間的位置，它是整個樽海鞘群搜索的目標;c₂和c₃為［0，1］的隨機數，c₂決定在第j維空間移動的步長，c₃確定了移動的正負方向;c₁隨迭代次數的增加而非線性減小，定義為

其中：K_max為最大迭代次數。

d）樽海鞘追隨者的位置更新如下：

其中：i≥2;Xⁱ_j為第i只樽海鞘（追隨者）在第j維空間的位置。

e）對更新后的每只樽海鞘的每一維進行邊界處理，計算它們的適應度值，若適應度值小于食物源位置的適應度值，則將此適應度值對應的位置替換食物源位置。

f）判斷是否滿足最大迭代次數，若是，則輸出結果，否則轉為步驟d）繼續進行迭代，直到滿足迭代終止條件。

2 改進的樽海鞘群算法

2.1 領導者位置更新的改變

蝴蝶優化算法（BOA）是根據蝴蝶在覓食的過程中，通過利用自己的感知器來定位食物位置的啟發所提出的群智能算法。每只蝴蝶都會產生香味，其香味的數學表達式如下：

其中：f為香味的大小;c為感官模態;a為冪指數;I為刺激強度。

在全局搜索階段，其全局位置更新公式如下：

其中：k為當前迭代次數;X^k_i為第k次迭代中第i只蝴蝶的位置;r為［0，1］的隨機數;X_best為當前迭代中的全局最優解;f_i為第i只蝴蝶的香味，其值大小與適應度值有關。

由蝴蝶優化算法策略中的全局搜索階段公式可知，它不僅考慮了上一代最優解的位置，也考慮了上一代自身的位置，具有信息共享性，r的存在使得受上一代最優解位置的影響變得隨機，使得全局搜索更充分，適用于解決在全局搜索階段一味地向最優解移動帶來的早熟收斂問題。而標準的樽海鞘群算法，領導者在迭代前期就開始一直向全局最優解的位置移動，容易導致種群在迭代初期聚集，使得全局搜索不充分，易陷入局部最優值。因此，引入BOA的全局搜索階段位置更新策略，能夠有效地避免算法一開始就向全局最優位置移動，在一定程度上提高了領導者的全局探索能力。改進后的位置更新公式如下：

其中：F_j為食物源第j維空間位置。

但是在迭代初期只有一個領導者進行全局搜索，效率還是比較慢的，文獻［17］采用了多領導者機制，雖然領導者的數量越多，隨機性也越強，但是過多的領導者會導致算法的穩定性降低。為了均衡穩定性和隨機性，本文選取一半的樽海鞘個體作為領導者，這樣促進了群體領導者全局探索的能力。

2.2 追隨者位置更新的改變

從追隨者位置更新公式中可以看出，當前追隨者的位置是通過上一代中第i-1只與第i只追隨者的中點進行更新的，這在一定程度上具有盲目性，因為沒有考慮前一個個體對自身移動的影響，若前一個個體位置是局部最優解，則會導致自身陷入局部最優中，導致收斂停滯。文獻［17］引入了自適應權重，使得前一個個體對自身的影響越來越小，在一定程度上提高了局部探索能力，但它始終削弱前一個個體所占的權重，這可能會導致非精英個體發揮引導作用；權重大小隨迭代次數的增加而減小，忽視了種群中個體位置的實際情況，沒有充分考慮到實際的優化搜索過程。文獻［14］在自適應慣性權重中引入了種群成功率，使得權重大小根據種群狀態自適應調整，進一步提高了局部探索能力，但是仍然存在非精英個體發揮引導作用的問題。而本文考慮了追隨者前一個個體與自身的適應度關系，根據適應度關系賦予相應的權重，使得位置更優的個體所占的權重更大，充分發揮了精英個體的引導作用；權重大小由自身、前一個個體和最優解的適應度值所決定，能夠根據種群狀態進行權重大小的自適應調整。但由于全局搜索與局部開發本身存在一定的矛盾，所以提高了局部開發能力的同時也對全局尋優能力產生了相應的影響。本文提出改進后的追隨者位置更新公式如下：

其中：f（Xⁱ_j（k－1），為第i只樽海鞘在第k-1次迭代中的適應度值；權重ω的動態調整公式為

其中：f_best為全局最優適應度值;ε為一個極小的正數，防止權重ω為零。這樣在每次迭代的過程中，追隨者位置更新始終由自身位置和前一個個體位置所決定。

2.3 自適應t分布

在標準的SSA算法中，種群全局最優位置始終是以樽海鞘群位置更新后的最優個體位置來更新的，并未對它進行主動的擾動，一旦最優個體陷入局部極值，則會導致算法收斂停滯。標準的柯西分布和高斯分布是t分布的特例^［18］，當t分布的自由度參數為1時，則為柯西分布，當t分布的自由度參數為無窮大時，則為高斯分布，三者的函數圖像如圖1所示。

由圖1可知，自由度參數為5的曲線兩端比自由度參數為3的曲線兩端變異概率小；而自由度參數為5的原點附近比自由度參數為3的原點附近變異概率大。由以上分析可知，隨著自由度參數的增加，迭代前期相比迭代后期進行大幅度擾動的概率更大，從而具有較好的全局探索能力；迭代后期相比迭代前期進行小幅度擾動的概率更大，從而具有較好的局部探索能力，加快了算法的收斂速度。因此，自適應t分布變異策略有效地平衡了前期全局搜索能力與后期局部開發能力。對最優個體進行變異公式如下：

其中：F_new為變異后的新位置;F_best為食物源位置;k為當前迭代次數。在自適應t分布變異策略中，引入貪婪規則，若變異后個體的適應度值不優于變異前的適應度值，則不更換，否則，進行最優解位置的更換。

2.4 算法流程

ATDSSA算法具體步驟如下：

a）設置算法參數：種群大小N，空間維度D，最大迭代次數K_max，每一維搜索空間上下限。

b）初始化種群Xⁱ_j（i=1，2，…，N;j=1，2，…，D），計算每只樽海鞘的適應度值，并對適應度值進行排序，選擇最優個體的位置作為食物源位置。

c）選擇前一半個體為領導者，由式（7）進行位置更新；后一半個體為追隨者，由式（8）和（9）進行位置更新。

d）對更新后個體每一維進行邊界處理，并計算樽海鞘適應度值，若小于食物源位置的適應度值，則用當前樽海鞘位置替換食物源位置。

e）由式（10）對食物源位置進行變異，并根據貪婪規則對食物源位置進行更換。

f）判斷是否滿足最大迭代次數，若是，則輸出結果，否則轉為步驟c）繼續進行迭代，直到滿足迭代終止條件。

2.5 時間復雜度分析

時間復雜度是反映算法的運行效率，標準SSA算法的時間復雜度為O（K_max·N·D）^［19］。假設種群大小為N，空間維度為D，最大迭代次數為K_max，根據ATDSSA算法流程對時間復雜度進行分析，初始化種群并找到最優位置的時間復雜度為O（N·D），領導者位置更新的時間復雜度為O（K_max·N·D），追隨者位置更新的時間復雜度為O（K_max·N·D），對更新后個體邊界處理并計算適應度值替換食物源位置的時間復雜度為O（K_max·N·D），對食物源位置進行變異的時間復雜度為O（K_max·N），貪婪規則對食物源位置進行更換的時間復雜度為O（K_max）。因此，總的時間復雜度為O（K_max·N·D），與標準SSA算法一樣，并未增加計算開銷。

3 仿真實驗與結果分析

為了檢驗本文提出的ATDSSA的有效性和魯棒性，進行三組實驗測試，即改進策略有效性分析、與其他改進樽海鞘群算法對比分析、與其他群智能算法對比分析。

3.1 基準測試函數及評價準則

為了保證實驗的公平性，三組實驗均采用表1測試函數。表1中的測試函數均為CEC2017基準測試函數，它們最優值都為0，為了測試方便，所有基準測試函數的自變量各維搜索區間都是［-100，100］，它們的維度從10維到200維，這樣可以更加全面地檢測算法的性能。其中：f₁～f₄為單峰函數，只有一個全局最小值，主要用于檢驗算法的收斂速度；f₅～f₁₂為復雜的多峰函數，有較多的局部極值，主要用于檢驗算法跳出局部極值的能力。

本文實驗中所有算法最大迭代次數均為1 000，種群個數均為30。為了避免算法單次運行結果的隨機性，實驗中測試均獨立運行30次。實驗測試環境：Inter^? Core^TM i5-6300HQ，4 GB內存，算法基于MATLAB 2018b用M語言編寫。

算法性能可以根據如下四條準則進行評價：

a）平均值（mean value，MV）反映算法收斂精度。

b）標準差（standard deviation，SD）反映算法穩定性。

c）成功率（successful rate，SR）為計算成功次數除以總運行次數，求解一次成功按式（11）進行判斷。

其中： f為算法每次求解的適應度值; f_min為測試函數理論最優值。

d）為了判斷ATDSSA每次運行結果與其他算法是否具有顯著性優勢，采用Wilcoxon秩和檢驗在5%的顯著水平下對30次結果進行統計分析。零假設是指算法之間沒有顯著差異，當計算出的p值小于0.05時，認為是拒絕零假設^［20］，即算法之間存在顯著的差異，否則認為算法之間無顯著差異。本文中定

義最優算法為平均值最小的算法，它無法與自身進行比較，因此記為N/A，平均值相同時，標準差小的算法性能更優。

3.2 改進策略有效性分析

為了分析三種改進策略對算法性能的影響，將ATDSSA與僅采用蝴蝶優化策略算法（BSSA）、僅采用自適應動態權重策略算法（DSSA）、僅采用自適應t分布策略算法（TSSA）、標準SSA算法^［10］進行比較，五種算法獨立運行30次的統計結果如表2所示。

由表2可知，在求解精度方面，除了f₆函數中TSSA比SSA尋優精度低，其余函數不同改進策略尋優精度相比SSA都有不同程度的提升，其中采用自適應動態權重策略的DSSA對算法性能的提升最大，僅采用蝴蝶優化策略和僅采用自適應t分布策略次之。在求解成功率方面，SSA只在1個函數上具有100%的求解成功率，而BSSA、DSSA、TSSA和ATDSSA分別在9個、11個、3個、11個函數上具有100%的求解成功率。由此可見，三種改進策略均在一定程度上提高了尋優精度，但是僅采用單一改進策略與結合了三種改進策略的ATDSSA相比仍有一定的差距，以函數f₇為例，ATDSSA相較于BSSA、DSSA、TSSA分別提升了125、33、108個數量級，因此驗證了本文采用混合策略的合理性。

對于算法收斂速度方面的性能，本文通過收斂曲線來分析，由于ATDSSA收斂精度較高，為了方便觀察收斂情況，對收斂適應度值取10為底的對數，圖2給出了部分基準測試時函數的收斂曲線。由圖2可知，在函數f₁、f₃、f₄和f₇的收斂曲線上，標準SSA收斂速度較慢，并且容易陷入局部極值很難跳出；BSSA由于全局搜索更充分，但容易陷入局部極值，所以收斂精度得到較小程度的提高；DSSA由于將精英個體與動態權重相結合，使得局部搜索能力增強，加快了收斂速度；TSSA由于具有良好跳出局部極值的能力，使得收斂精度得到進一步的提高；ATDSSA由于結合了三種改進策略，無論是收斂速度還是收斂精度，都得到了顯著提升。

3.3 與改進樽海鞘群算法對比分析

為了驗證本文算法與其他改進算法具有較強的競爭力，將ATDSSA與自適應慣性權重樽海鞘群算法（AIWSSA）^［14］、瘋狂自適應樽海鞘群算法（CASSA）^［17］和多子群的共生非均勻高斯變異樽海鞘群算法（MSNSSA）^［21］的性能進行比較。其他算法參數的具體設置參見相應的參考文獻。四種算法獨立運行30次的統計結果如表3所示。

由表3可知，ATDSSA在11個函數上具有最小平均值且標準差也最小，反映了ATDSSA相比AIWSSA、CASSA、MSNSSA具有較高的尋優精度和較強的魯棒性。在求解成功率方面，AIWSSA、CASSA、MSNSSA和ATDSSA分別在9個、11個、8個、11個函數上具有100%的求解成功率，在求解成功率都為100%情況下，ATDSSA的收斂精度更高。與AIWSSA相比，ATDSSA雖然在3個函數上與其尋優性能相當，但是在8個函數上具有顯著性的優勢；與CASSA相比，ATDSSA雖然在5個函數上與其尋優性能相當，但是在6個函數上具有顯著性的優勢；與MSNSSA相比，ATDSSA雖然在3個函數上與其尋優性能相當，但是在8個函數上具有顯著性的優勢，由此可見，ATDSSA相比AIWSSA、CASSA、MSNSSA具有更好的尋優性能、更強的競爭優勢。

圖3給出了部分基準測試函數的收斂曲線。由圖3可知：在函數f₂、f₅、f₉和f₁₁收斂曲線中，ATDSSA收斂速度明顯要優于其他改進算法，其中在函數f₂和f₉收斂曲線中，ATDSSA收斂精度相較于其他改進算法更優，表明ATDSSA具備更強跳出局部極值的能力，在函數f₁₁收斂曲線中，CASSA和MSNSSA雖然都與ATDSSA一樣收斂到理論最優值0，但是ATDSSA在迭代第40次左右就收斂到理論最優值，而CASSA和MSNSSA分別在迭代第440次左右和第980次左右才收斂到理論最優值。

3.4 與其他群智能算法對比分析

為了驗證ATDSSA的有效性，將ATDSSA與粒子群算法（PSO）^［2］、灰狼優化算法（GWO）^［3］、鯨魚優化算法（WOA）^［4］、蝴蝶優化算法（BOA）^［5］進行比較。四種群智能算法參數的具體設置參見相應的文獻。五種算法獨立運行30次的統計結果如表4所示。

由表4可知，ATDSSA在11個函數上具有最小平均值并且標準差也最小，反映了其尋優精度較高的同時還具有較強的魯棒性。在求解成功率方面，PSO、GWO、WOA、BOA和ATDSSA分別在0個、5個、6個、5個、11個函數上具有100%的求解成功率。與PSO、GWO、WOA、BOA相比，ATDSSA分別在11、10、8、11個函數上具有顯著性的優勢。由此可見，ATDSSA相比PSO、GWO、WOA、BOA具有更好的尋優性能。

圖4給出了部分基準測試函數的收斂曲線。由圖4可知，在函數f₆和f₈收斂曲線中，ATDSSA收斂精度要優于其他算法，表明ATDSSA具備更強跳出局部極值的能力，在函數f₁₀和f₁₂收斂曲線中，ATDSSA在前期能夠迅速逼近理論最優值，而其他改進算法則較為緩慢。

由以上所有測試函數收斂曲線分析表明，蝴蝶優化算法策略的引入有效地提高了全局搜索能力，自適應動態權重策略使得局部搜索能力得到了提升并加快了收斂速度，自適應t分布變異策略在一定程度上提高了跳出局部極值的能力。

4 工程應用及分析

為了進一步驗證ATDSSA在工程應用中的可行性，將ATDSSA運用在脫硝入口濃度最低點尋找上，入口濃度最低點是控制算法的起點。現有從某工廠現場每隔1 s采集2 h的脫硝入口濃度數據，此工廠的脫硝入口濃度具有一定的周期性，周期時間為30 min，如圖5所示。

本文現將SSA、CASSA、GWO、WOA和ATDSSA對脫硝入口濃度最低點進行尋找。每種算法獨立運行30次，最大迭代次數為100，種群個數為30。分別對兩個采樣周期進行尋優，其中第一個采樣周期為1～1800 s，最低脫硝入口濃度真實值為715.859 mg/Nm³；第二采樣周期為1801～3600 s，最低脫硝入口濃度真實值為695.052 mg/Nm³。對比結果如表5所示。

從表5可知，ATDSSA與其他算法基本都能找到脫硝入口濃度最低點，并且第一個采樣周期與第二個采樣周期脫硝入口濃度最低點的采樣時間差基本為1 800 s，驗證了脫硝入口濃度具有周期性這一性質。

為了進一步比較ATDSSA與這些算法的性能，圖6給出了兩個采樣周期的脫硝入口濃度收斂曲線圖，從圖中可知，ATDSSA收斂速度要優于這些算法。

5 結束語

本文提出了一種基于自適應t分布與動態權重的樽海鞘群算法。該算法在領導者位置更新中采用蝴蝶優化算法中全局搜索階段公式，使得領導者位置更新不僅受上一代全局最優解的影響，而且也受上一代領導者位置的影響，加強了算法在迭代初期的全局探索能力；在追隨者位置更新中引入了自適應動態權重因子來加強精英引導作用，提高了算法在迭代后期的局部開發能力；對最優個體進行自適應t分布變異，避免算法陷入局部最優。通過對12個基準測試函數進行求解，根據不同的評價準則進行了改進策略有效性分析、與其他改進樽海鞘群算法和其他群智能算法對比分析，驗證了本文算法具有更好的全局探索能力和局部開發能力，可以獲得更高的收斂精度和更快的收斂速度。通過對脫硝入口濃度最低點尋找的應用，也驗證了ATDSSA在工程應用的有效性。為了驗證ATDSSA在其他領域的可行性，后續研究將ATDSSA應用到不同的實際工程中。

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