改進多目標鮣魚優化算法求解多容量養老院選址分配問題

摘 要：為應對未來老齡化時代的到來，完善養老服務體系，針對養老院的選址分配問題，在考慮用戶滿意度和覆蓋率的情況下，構建多目標優化模型。首先，考慮老人對養老院的滿意度、養老院相對于社區位置滿意度以及養老院相對于大型醫院位置滿意度，構建了最大化平均滿意度和覆蓋率以及最小化建設成本的多目標選址分配模型。其次，針對模型的特點，融入兩階段思想，設計了一種改進鮣魚優化算法對模型進行求解。實驗結果表明，該算法能夠快速且有效地獲得一簇Pareto解，可權衡實際需求和對不同目標的偏好，考慮滿意度或成本，在Pareto解中可選擇恰當的養老院選址分配方案。最后，通過與其他三種算法的對比分析，驗證了模型的可行性和算法的優越性。

關鍵詞：選址—分配問題； 多容量； 滿意度； 改進多目標鮣魚優化算法

中圖分類號：TP302

文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695（2023）07-023-2075-07

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2022.11.0519

Improved multi-objective remora optimization algorithm for location-allocation

problem of nursing home with multi capacity

Zhu Yaming， Zhang Huizhen， Ma Liang， Xu Sichuang

（Business School， University of Shanghai for Science amp; Technology， Shanghai 200093， China）

Abstract：In response to the advent of the aging era in the future and improve the Old-age service system， the article addressed the location-allocation problem of nursing homes and constructed a multi-objective optimization model under consideration of user’s satisfaction. First of all， it constructed a multi-objective location-allocation model that maximized the average satisfaction and coverage， and minimized the cost of construction by tentatively considering elderly satisfaction with nursing homes， satisfaction of relative position of nursing home and community， and satisfaction of relative position of nursing home with large hospital. Secondly， considering the characteristics of the model， it designed an improved multi-objective remora optimization algorithm（IMOROA） to solve the model and integrates the two-stage idea into it. The experimental results show that the proposed algorithm can effectively obtain a cluster of Pareto solutions， which can weigh the actual demand and preference for different targets， consider satisfaction or cost， and choose the appropriate site selection and allocation scheme in the Pareto solution. Finally， it verifies the feasibility of the model and the superiority of the algorithm by comparative analysis with the other three algorithms.

Key words：location-allocation problem; multi capacity; satisfaction; improved multi-objective remora optimization algorithm

0 引言

一場老齡化革命正在全球范圍內發生，近年來，人口老齡化也成為中國所面臨的一個棘手問題。截至 2020年11月1日，中國60歲及以上的人口數量達到中國總人口的18.70%，₆₅歲以上人口占13.50%^［1］。根據測算，到 2022年左右，₆₅歲及以上老年人口將占到總人口的14％^［2］，根據國際公認的標準，中國將踏入老齡化社會。此后，隨著中國進入老齡化社會步伐的加快，預計到2050年，₆₅歲以上人口的比例將上升到28.81%。人口老齡化現象日趨顯著，使如何實現“老有所養”這一目標的現實社會問題更為突出。改善老年人的服務需要涉及護理系統的每一個組成部分，例如，專門診所、家庭護理服務和養老院。養老院不同于一般社會養老機構和普通醫院。它不僅可以為老年人提供日常保健、康復治療、生活護理、健身娛樂，還可以隨時提供醫療救助和臨終關懷。養老院是醫療與養老的結合、衛生與民政的結合，以及醫院的延續與補充，它將醫療和護理結合起來，給家庭帶來安全感，給老年人帶來安全感。

作為健全養老體系的第一步，養老院的建設在今后必將受到政府更多的重視。如何使每一個老年人未來有一個更加幸福的生活，是一個極其重要的課題，也是待解決的一個難題。對于養老院的建設，需要關注其建造選址的問題，怎么合理地選擇養老院的位置就成為了一個值得研究的課題。例如，養老院之間的距離應足夠長，以節省建筑成本。為了滿足老年人及其家人的需求，養老院不能遠離社區；一些普通老年疾病在養老院可以治療，但是一些大型疾病還需去專門醫院，因此養老院不宜離醫院太遠；另外養老院服務水平應滿足老年人的需求等。

設施選址是公共和私營企業戰略規劃的關鍵組成部分。需考慮許多標準，如需求點的成本或距離，有許多模型可用來幫助此類決策。設施選址問題由Weber于1909年首次提出^［3］。此后展開了大量對公共服務設施選址問題和多目標設施選址問題的相關研究?；谶x址問題，Curry等人^［4］于1969年提出選址分配問題（location-allocation problem，LAP）并用動態規劃算法求解。此后對此類問題產生了豐富的研究。Wesolowsky等人^［5］在選址分配問題中引入了階段性的概念，采用Bender分解法求解了這一種多階段的選址分配問題。

基本LAP及其擴展問題均屬于NP-Hard問題。對大規模LAP問題，精確算法往往求解緩慢甚至無法進行求解。啟發式算法成為了解決此類問題的主要手段。由無免費午餐（no free lunch）定理可知，沒有任何一種算法對所有同類問題均能表現出良好性能^［6］。不同算法的優化機制需要與模型融合，以達到更好的效果。章海峰等人^［7］采用了兩階段的優化算法求解了一類帶有三種不同屬性容量限制的物流選址分配問題。畢婭等人^［8］以配送中心的選址優化和最大化整體需求覆蓋率為目標，建立了云物流下的多目標非線性決策選址分配模型并設計了一種基于遺傳和粒子群的組合式啟發式算法進行求解。李志等人^［9］設計基于矩陣編碼與小生境技術的非支配排序多目標遺傳算法求解一種應急物資供應點多目標定位—分配模型，以提高救災效率。李珍萍等人^［10］研究了一種多需求多類型自提點的選址分配問題，考慮了三種不同類型的因素，如自提點的建設成本、服務能力、顧客滿意度等，建立了以快遞企業總成本最小化為目標的混合整數規劃模型，并使用遺傳算法進行求解。Mousavi等人^［11］針對提前期恒定且買方需求服從正態分布的供應商—買方供應鏈網絡，建立了一個混合整數二元非線性兩級庫存選址分配，并根據模型特點設計了改進的遺傳算法和粒子群算法進行求解。

在現有研究中，對于養老院的選址—分配問題還鮮有詳細的研究，并且作為養老院選址的一個重要的參考因素，滿意度和覆蓋率卻很少被考慮到。本文以最大化滿意度和覆蓋率和最小化成本為目標，建立一個多容量多目標LAP優化模型。根據該模型的特點，本文設計了一種改進多目標鮣魚優化算法進行求解。在算法中加入兩階段的思想，減少了算法的復雜度，并通過一個實際案例的求解，驗證模型的正確性和算法的科學性。該算法得到Pareto前沿面的同時，根據實際需求和對不同目標的偏向性，決策者可在Pareto面上選擇恰當的養老院選址分配方案，以期走出完善養老體系的第一步。

1 問題描述和數學模型

1.1 問題描述

養老院的選址問題可以描述為：選擇合適的候選位置作為養老院的選址位置，把各個社區的老人分配給各養老院，以及醫院分配給養老院。各個社區和醫院的位置已知，各個社區的老人數量已知。目標是最大化平均滿意度和覆蓋率以及養老院最小化總建設成本。為明確本研究的適用范圍，本文作出如下假設：a）養老院的容量有限；b）有三種不同容量的養老院；c）每個社區的老年人數是固定的；d）社區和醫院的位置是固定的；e）每個社區代表一個需求點，需求點的需求量是一個區域內對養老院有需求的人數總和；f）有三種不同的滿意度。

1.2 符號與變量

M為社區候選點集合m=1，2，3…;

N為養老院候選點集合n=1，2，3…;

H為醫院候選點集合h=1，2，3…;

I為養老院的容量種類集合i=1，2，3…;

c_ni為i類容量n養老院的建設成本;

Q_i為i類養老院的容量;

d_mn_mn為m社區到n養老院的距離;

d_nh_nh為n養老院到h醫院的距離;

E_m為m社區中的需求數;

r_max/r_min是滿意度為0/1時n養老院到m社區的距離;

R_max/R_min是滿意度為0/1時n養老院到h醫院的距離;

r_i為i類養老院的覆蓋半徑;

L為養老院所允許的最大建設個數;

S_mn為m社區對養老院n的滿意度;

ω為覆蓋率的權重系數;

f（d_mn/d_nh）為非線性距離滿度函數：

x_ni為0-1變量，當i類容量n養老院建設時為1，否則為0;

y_mn為0-1變量，當m社區分配給n養老院時為1，否則為0;

z_nh為0-1變量，當醫院h分配給n養老院時為1，否則為0;

A_mn為m社區中的老人分配給n養老院的人數。

1.3 數學模型

目標函數式（1）表示最大化平均滿意度與覆蓋率，第一部分為各社區對養老院的滿意度、養老院相對于社區的位置滿意度以及養老院相對于醫院的位置滿意度的平均值，第二部分為對需求點的覆蓋率；目標函數式（2）最小化養老院的總建設成本；約束條件式（3）確保每個候選點最多只能建造一所且一類養老院;約束條件式（4）表示養老院的建造個數限制; 約束條件式（5）表示每個社區分配至少一個養老院；約束條件式（6）和（7）表示社區和養老院的分配約束，當滿足距離條件時才允許分配；約束條件式（8）表示養老院的容量約束; 約束條件式（9）確保每個建立的養老院需分配一個醫院；約束條件式（10）～（13）為變量取值約束。

2 改進多目標鮣魚優化算法

2.1 鮣魚優化算法

鮣魚優化算法（remora optimization algorithm，ROA）是由Jia等人^［12］于2021年提出的一種新型智能優化算法，主要模擬了鮣魚吸附不同體型寄主并完成覓食的過程。鮣魚食是一種食肉性海魚，常以吸盤吸附船底或其他大魚遠游和索食，以其他魚類和無脊椎動物為食。當其到達餌料豐富的海區，便脫離宿主，攝取食物;然后再吸附于新的宿主，繼續向另外海區轉移。此算法中模擬了兩種具有代表性的寄主：第一種為快速且群體捕獵的旗魚；第二種寄主為體型巨大且獨自狩獵的座頭鯨。算法首先采用自由旅行機制開始游走，當兩種寄主經過時，鮣魚首先吸附寄主以進行快速全局優化，尋找餌料豐富的區域。與此同時，鮣魚繼續使用實驗攻擊機制進行小步捕食。當周圍誘餌很低時，鮣魚將隨機選擇是否更換宿主。最后根據思考捕食機制進行捕食（找到最優解）。這種模擬鮣魚覓食的智能優化算法，可以快速準確地尋找全局最優解。

2.2 改進多目標鮣魚優化算法

ROA算法最初應用于連續域函數優化問題的求解，算法步驟中的位置更新方法僅適用于連續空間的搜索。考慮到文章求解的是多目標整數問題（multi-objective integer programming，MIP），結合求解各個目標的特點去設計算法能得到更好的效果。在文章工作中使用ROA的動機主要有以下幾個方面。首先，ROA是一種原理簡單，求解高效的智能優化算法，在解決組合優化問題時有著良好的性能，已應用于生產調度、系統優化和數據處理等領域^{［13～15］}。其次，群優化算法在搜索過程中可以得到一簇非支配解，適合于在一次運行中找到許多權衡解。最后，作為一個新型算法，探索和解決其優點和不足驅使對此算法的研究應用，希望對于解決多目標選址分配問題提供一種新的解決思路。因此，本文設計了一種改進多目標鮣魚優化算法（improved multi-objective remora optimization algorithm，IMOROA）對模型進行求解。相對于ROA，IMOROA主要進行了以下幾方面的改動：a）使用兩階段編碼方式；b）使用外部種群來存儲當前的非支配解；c）提出了一種新的適用于離散型多目標優化的尋優策略；d）使用了快速非支配策略和精英策略；e）改進了宿主選擇策略。算法的基本思路為：首先，設定各參數和編碼解碼規則，之后生成初始種群并進行快速非支配排序;隨后進入到迭代過程，在迭代次數小于最大迭代次數MaxIT時，根據自由旅行機制選擇宿主，根據選擇不同宿主的策略獲得更優質的食物（解），并采用精英保留機制獲取宿主提供的優質食物，確保食物的質量;然后再選擇宿主進行迭代，當迭代次數在迭代次數到達MaxIT后，輸出所有非支配解為本次算法的結果。算法的具體操作流程如圖1所示。

a）編碼方式。啟發式算法的首要前提，是為模型設計一種有效且高效的解的表達方式，文章根據模型的特點提出一種新的編碼方式。本文采用0-1編碼，單個點位表示是否建設候選設施，建立為1，否則為0，解的編碼長度為n×i（n為候選點個數，i為候選點容量種類個數）。假設有6個候選設施，每個候選設施有三種容量可選擇，則解的編碼長度為18。點位1～6、7～12和13～18分別為第一種、第二種和第三種容量各候選設施的啟用情況。 根據解的基礎編寫規則，本文給出具體實例加以理解。

圖2為一個可行解的實例。由圖可知，候選設施6開放并選擇第一種容量，候選設施2開放并選擇第二種容量，候選設施1、4和5選擇開放并選擇第三種容量，候選設施3不開放。由于開放時只能選擇一種容量，如圖3所示，列號代表候選設施的序號，行號代表候選設施的容量種類。若第i行n列為1，表示候選設施n是選用第i種容量，否則為0。根據約束條件（3）可知每一列最多存在一個1?？捎蓤D3更直觀地看出該個體情況，在下文中也將以此種形式表達以便理解。

b）兩階段準則。從滿意度和成本兩方面看，候選設施的位置選擇會對整個方案有較大影響。第二階段根據第一階段的選址方案，通過貪婪算法得出最佳的分配結果。首先，對所有需求點選擇距離最短且開放候選設施為分配的候選設施，將需求點的所有需求對應分配。然后，統計分析所有候選設施的分配情況，若某候選設施分配的需求總和超出其容量限制，將重新分配以符合容量約束。分配原則為：對該候選設施分配的每個需求點計算與其他候選設施的各滿意度之和，選擇所有需求點對分配候選設施與其他候選設施之中滿意度差值最小的可選候選設施，將不滿足容量約束的需求重新分配給其他候選設施，直至滿足容量約束。用此種方法，能在第一階段選址后得出最佳的分配方案，而不需要在編碼中確定分配方案。若在編碼中加入分配選擇，在各算子操作中將變得十分復雜。若分配的方式不是0-1編碼，需要對不同的編碼方式進行不同的操作并且容易違反約束。因此本文選址方案將成為第二階段的輸入，最后得出的分配結果，根據選址和分配的結果可以得到兩個目標的適應度值。

c）初始化種群。本文將依概率選擇隨機生成或根據貪婪算法生成popsize個個體組成初始種群。首先，生成范圍在［0，1］的隨機數rand，若randlt;0.5，選擇隨機生成，否則依照貪婪算法生成。當隨機生成時，第一部分血漿庫隨機選擇0或1，第一部分將以候選設施建設成本進行貪婪選擇，優先選擇建設成本的候選設施。生成后判斷是否滿足約束，若滿足，則該可行解為初始解，不滿足的解不作為可行解進入初始種群。一共生成popsize個可行解作為初始種群。

d）快速非支配排序。由于多目標問題解的性質，最優解往往是一組非支配解，所以在IMOROA算法中加入NSGA-Ⅱ算法中的非支配排序方法^［16］，計算每個食物個體的非支配等級。根據非支配解等級關系，可以對整個食物種群的等級進行劃分。此外，使用擁擠度對每個Pareto前沿面上的解的擁擠程度進行評價，擁擠度表示種群中給定點周圍個體的密度。如計算第i個個體的擁擠度i_d為第i+1個與第i-1個所有目標函數值之差的和，可由式（14）所得。

其中：o為目標函數個數;i為個體在前沿面的位置;fⁱ_j為i個個體的第j個目標函數的函數值。其中第一個和最后一個個體的擁擠距離設置為無窮大。在所有前沿面個體中，擁擠度更大和排名更靠前的個體更加優秀，更易被選擇作為下一代個體。

e）算子操作和優化策略。設計改進的算子操作主要有交叉算子、變異算子兩種。

（a）交叉算子。單組交叉算子：隨機選擇兩個父代，隨機選擇一組點位進行交叉。若選擇3組為交叉點位，則體現在解個體為點位3、點位9、點位15。如圖4所示，R₁和R₂為父代個體，假設選擇3組為交叉點位，則R₁與R₂中點位3、9、15將互換對應的位置，子代個體為R₁₁和R₂₁。

多組交叉算子：隨機選擇兩個父代，隨機選擇多組點位進行交叉。如圖5所示，R₁和R₂為父代個體，假設選擇第2組和第5組為交叉點位，則R₁與R₂中相應點位將隨機選擇置換位置。如個體R₁₂為父代個體R₁保留1，3，4和6組，2組交換為R₂的2組，5組交換為R₂的5組，R₂₂同理。另外一種情況為R₁₂′，R₁保留1，3，4和6組，2組交換為R₂的5組，5組交換為R₂的2組。

（b）變異算子。由于使用單一算子容易陷入局部最優解，本算法應用變異算子依自適應變異概率τ_t隨機搜索鄰域^［17］：

其中：t為迭代次數;τ_t為第t次迭代時的變異概率;t_max為最大迭代次數;D為目標緯度。

單組變異算子：首先選擇父代個體，隨機選擇父代個體的某組進行變異。如圖6所示，第一種情況為父代R₁第3組進行變異，點位15由0變為1。即從候選設施3不開放變為候選設施3開放并選擇第三種容量，變異后的子代為R₁₃。第二種情況為父代R₁第6組進行變異，第6組第一個點位即6 點位由1變為0，即候選設施6開放且選擇第一種容量變為候選設施6不開放，變異后的子代為R₁₃′。

多組變異算子：首先選擇父代個體，隨機選擇父代個體中的k組進行變異。如圖7所示中，選擇父代R₁變選擇第2組和第5組進行變異，第2組變異時，2組第1點位變0，第2點位變1，表示候選設施2由選擇第一種容量變為選擇第二種容量，第5組中第三點位由1變0，其余位置不變，表示候選設施5由開放變為不開放，變異后的子代為R₂₃。

兩種宿主的策略不同，使用的算子也不同。第一種策略為模擬旗魚快速團隊的特點，對每次迭代中的優質食物進行操作，隨機選擇食物群體中的前10%的優質食物個體與隨機個體， 依照式（16）做出單組交叉算子Crossover1操作。之后，若引導搜索無法找到更優方案，個體依據式（17）進行單組變異算子Mutate1操作。第二種策略為體系大且獨自狩獵的座頭鯨，在前10%～30%的食物群體隨機選擇兩個個體依照式（18）進行多組交叉算子Crossover2操作。若引導搜索無法找到更優方案，個體依據式（19）進行多組變異算子Mutate2操作。

其中：X_new表示新食物個體;X為食物個體;X′為種群中非支配排序前10%的非支配解;X₁″和X₂″為隨機選中非支配排序前10%～30%的非支配解;rand為［0，1］的隨機數;τ_t為第t次迭代時的變異概率。

f）自由旅行機制。在游走時，對宿主的選擇對于迭代的效果十分重要，算法中將引入增食度Sⁿ_t以記錄優化的效果，Sⁿ_t為第t次迭代n宿主增加的飽食度，數學表達式為式（20）。體現為相對于初始非支配解集，迭代后非支配解集的優化程度。

其中：X₀為初始非支配解集;k為非支配解集X₀中解的個數;X_t為第t次迭代時的非支配解集;i為非支配解集的個數。

A_t為第t次迭代時的飽食度，當飽食度小于飽食上限A_t′時，依概率P₁選擇宿主1，依概率（1-P₁）選擇宿主2。當飽食度大于A_t′時，選擇自由旅行，依概率P₂選擇宿主1，依概率（1-P₂）選擇宿主2。

其中：ρ為消化速率;rand是 ［0，1］的隨機數。

g）精英保留機制。為了加速收斂，該算法引入精英保留機制。在捕食后，新生成的解與上一代解合并構成組合種群，重新進行快速非支配排序。然后重新計算的擁擠距離降序對每個排序的非支配解集進行排序，在剩余的組合種群中選擇最好的非支配解集作為精英個體并迭代填充精英種群，直到達到精英群體的數量上限。通過這種方式，種群能夠通過非支配解的排行和擁擠距離得到改進。由于選擇高排名和大擁擠距離的解，從而保證了解的優越性。

h）算法時間復雜度分析。算法復雜性是用于評估算法有效性的重要度量標準。本節根據種群大小P、迭代次數M分析了IMOROA的最壞情況的時間復雜性。在初始化中，評估1個隨機生成的個體適應度。計算適應度值的復雜度是O（n）。因此，計算P個初始個體的適應度值的時間復雜度為O（P×n） ，對初始化種群進行快速非支配排序操作的復雜度為O（P²）。迭代開始后，IMOROA主要包括自由旅行機制、快速非支配排序和精英保留機制。在最壞情況下，使用單點交叉算子和多點交叉算子的復雜度為O（2P×n），單點交叉算子和多點變異算子的復雜度為O（P×n），實現操作后還需評估其后代的適應度值，所以自由旅行機制的總復雜度為O（4P×n）。精英保留機制的算法復雜度為O（P）。所以在一次迭代的算法復雜度為O（4P×n+P²+P），M次迭代的算法復雜度為O（4P×n×M+P²×M+P×M）。綜上所述，算法的總時間復雜度為O（P×n+P²）+O（4P×n×M+P²×M+P×M）。

3 算例分析

3.1 算例說明

本文選擇上海市楊浦區作為研究區，根據《2021年上海市統計年鑒》及各醫院官網數據和影響養老院選址的因素，收集上海市城市總體規劃圖（2017—2035）、 行政街道劃分、街道常駐人口數據；采用ArcCatalog建立文件地理數據采集管理系統；利用ArcMap對數據進行預處理、矢量化錄入屬性數據，并使用MATLAB完成可視化。綜合考量養老院的選址要求，候選設施點不能落在河流、湖泊、風景區等區域，養老院的選址需要考量建設點的可行性等。利用ArcGis提取各需求區域的質心為需求點，按照各街道行政區的人口密度等級和考慮養老院的醫院。確定了33個養老院的候選點和86個需求點及需求量以及6個醫院的位置，分布如圖8所示。表1給出了候選設施的位置信息。根據人口數以及每百位老人2.5個需求的標準^［18］，表2給出了各需求點及其需求量，總需求人數為6 741人。表3給出了各醫院的詳細坐標?？山ㄔO的養老院容量一共三種，容量分別為500、800和1 200。建設費用的比例為1∶1.2∶1.5，將根據各個建設區域的平均房價決定。本文將滿意度和覆蓋率設置為同等重要，即ω取1進行分析。

3.2 模擬算例與結果分析

根據多次算法實驗，在算法基本參數c=0.1，種群大小為300和迭代次數為150時算法具有優秀的平均結果和運行時間，使用MATLAB 2016a以實現本文改進多目標鮣魚優化算法（IMOROA），并在AMD Ryzen 5 3550H with Radeon Vega Mobile GFX（2100 MHz） CPU、16.00 GB內存操作系統為Windows10的運行環境下進行算例求解。算法終止時，產生97 個Pareto解，所有Pareto解分布如圖9所示。

由多目標的性質可知，不存在兩個目標同時都是最優的解，多目標問題中的兩個目標是相悖的。當目標1結果增加時（即變好），總成本會增加（即變差），當總成本減少時，目標1也將相應變小。對于目標1，是平均滿意度和覆蓋率兩部分之和，當建設成本遞增時，平均滿意度增加更為緩慢，而覆蓋率增加更快，對建設成本更為敏感。在Pareto前沿的眾多解中，本文選取3個具有代表性的滿意解如表4和5所示。Best1、Best2分別為f₁（平均滿意度與覆蓋率）和f₂（建設成本）個體最優情況下所求得的解，理想解是指位于第一非支配前沿且擁擠距離最大的個體，最劣解為等級最低的非支配前沿且擁擠距離最大的個體。通過表4中的比較結果不難發現，理想解的兩個目標值相對于最劣解和平均值而言，更具有優越性。說明本文所使用的IMOROA算法對模型進行尋優，可以有效優化求解結果，論證了本算法的科學性和有效性。

3.3 變異概率選擇分析

變異概率τ的選擇會影響算法的效果，本節將注重對變異概率不同取值情況下結果的分析，確定最佳變異概率。算法基本參數為c=0.1，種群大小為300。在迭代次數m分別為50、150、和250的情況下以0.005、0.01和0.02的變異概率運行算法。從表6中可以看出，當變異概率較低時，在迭代次數為50代時對結果的優化并不理想，仍有很大的優化空間。當變異概率為0.02時，在低迭代次數時的優化性能較好，但是容易陷入早熟，后期容易對結構較好的解產生破壞。在變異概率為0.01時在幾種不同迭代次數都比較均衡，因此選擇τ=0.01。

3.4 算法性能分析

為驗證該模型算例解的有效性，本文將IMOROA算法與傳統多目標鮣魚優化算法（MOROA）、多目標蟻獅優化算法（MOALO）^［19］、多目標灰狼優化算法（MOGWO）^［20］進行比較分析。各算法均使用的種群大小均為300，迭代次數均為150，并將所給最優Pareto解匯總比較。在圖10的不同Pareto解匯總比較中可以明顯看出，在解的質量方面IMOROA優于其他算法，Pareto解前沿明顯領先，兩端的極端解較少，且比較均衡。MOROA算法并未使用兩階段準則，會導致使用各項策略時還需要考慮分配部分的操作，需要在編碼中加入分配的情況，增加算法的復雜度和準確度。因此會產生質量比較差的解，并且運行時間增加很多。MOGWO算法有部分優質解優于IMOROA算法，但是在狼群引導下容易陷入局部最優，在此問題的一部分解質量很差。MOALO算法會出現比較劣質的解，可能是在初期就陷入了局部最優。

為了比較各個算法解的質量，本文對每種算法所有的解求平均值分析比較，為衡量解的優劣程度，使用式（24）進行歸一化處理，以標準化各目標值。

對各個算法求標準化目標值和數值越小說明解的質量越高，結果如表7所示。IMOROA算法求得的結果遠優于其他算法，這得益于其優秀的尋優策略。IMOROA平均只運行了621.74 s就完成了計算，而運行時間最長的MOROA算法運行2 326.23 s才得到最優結果，并且其解的質量更劣，這是因為MOROA在編碼方式上的不同。將非0-1變量分配結果加入編碼的編碼方式，交叉變異對這部分需要更多時間，并且會產生許多冗余的解。對解編碼方式的優化很大程度地減少了運算的復雜度。

為進一步對算法的性能進行分析，本文采用備受青睞的超體積指標（HyperVolum， HV）^［21］和反轉世代距離（inverted gene-rational distance，IGD）^［22］用于對于解集的收斂性、均勻性和廣泛性作出評價。這兩種方法均可以同時對Pareto前沿的收斂性和多樣性作出評價。其中超體積指標使用解集的所有解和參考點所構成的超立方體積描述性能指標，值越大，性能越好，計算公式為

其中：δ（S）表示解集S的勒貝格測度（Lebesgue measure，LM）;v_i表示參照點與解集S中第i個解構成的超體積。

反向世代距離指標的定義表示從每個參考向量到其最近解的平均距離。該值越小，Pareto前沿分布越優。與基于超容量的指標相比，IGD的計算成本較低，其計算公式為

其中：a代表算法;P_a表示算法a的Pareto前沿;|RPF|為參考Pareto前沿中解的數量;d（·）為參考Pareto前沿|RPF|中解z_i與計算的Pareto前沿中P_a解s_j之間的歐幾里德距離。

此外，為了分析雙宿主策略對算法性能的影響，本文加入使用單獨宿主的兩種算法進行對比分析。其中IMOROA1為只使用宿主1策略的算法，IMOROA2為只使用宿主2策略的算法。將兩種單策略算法與IMOROA進行對比，分析雙策略選擇的合理性。由表8可見，IMOROA算法的HV指標均高于其他算法，且在IGD指標上也是最小的，所以IMOROA算法的收斂性、多樣性均優于其他算法。當使用單宿主策略時，算法各性能明顯下降。特別是使用單宿主2的IMOROA2算法的算法性能已低于MOROA，相較于多策略求解性能有較大減弱。這說明在多宿主策略下對Pareto解的獲取能力更加優異。綜上所述，結合適應度值與運行速度整體綜合考慮，以及對運算性能指標的計算，與其他算法比較分析得出IMOROA算法最優異，能有效地減少選址分配時間，得到更為滿意的方案。

4 結束語

不同容量養老院的合理布局對完善養老系統有著不可忽視的作用。一個合理的布局，不僅需要降低成本，也需要兼顧到每一位老人的需求。本文以最大化滿意度和覆蓋率和最小化成本作為目標，建立了一個考慮多容量的養老院選址分配模型。根據模型特點，本文設計了一種在編碼過程中融入兩階段思想的改進多目標鮣魚優化算法進行求解，并以上海市楊浦區為例，為社區選取養老院并對需求進行分配。計算結果表明：優化后的設施布局更為合理，理想解在各個方面都要遠優于最劣解。最后通過歸一化處理進行解的質量分析，以及算法性能指標與其他三種算法進行比較分析，得出多目標鮣魚優化算法在處理該模型上不管是在結果的質量還是算法運行速度上都具有明顯優勢。本文研究在未來還有許多可以探索的方面：a）對鮣魚優化算法進行改進后可以用于選址分配問題的求解，并且擁有良好的性能;后續將開展對于鮣魚優化算法研究的擴展，并將其應用擴展于其他類型的組合優化問題如選址路徑問題，多層級選址問題等;b）在選址分配問題中許多類型的問題需要考慮不確定性產生的影響，后續將開展對于不確定需求下的選址分配問題的深入研究。

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