基于云模型的Pythagorean模糊語(yǔ)言多屬性決策方法

摘 要：針對(duì)專家給出的屬性值為Pythagorean模糊語(yǔ)言且專家權(quán)重與屬性權(quán)重均未知的多屬性決策問(wèn)題進(jìn)行了研究，提出一種基于云模型的多屬性決策方法。首先，根據(jù)Pythagorean模糊語(yǔ)言決策信息的距離熵計(jì)算得到屬性權(quán)重；其次，計(jì)算決策矩陣間的距離從而得到各決策專家權(quán)重；再次，構(gòu)建Pythagorean模糊云模型決策矩陣并利用專家權(quán)重和屬性權(quán)重進(jìn)行信息集結(jié)；最后，基于TOPSIS方法求取正、負(fù)理想解，依據(jù)理想解計(jì)算各方案貼近度并據(jù)此對(duì)各備選方案進(jìn)行排序選擇。案例分析表明，該方法優(yōu)化了復(fù)雜環(huán)境下的決策，避免了決策信息的丟失，能夠較好地解決決策信息的不確定性和決策過(guò)程的隨機(jī)性，具有一定的可行性和有效性。

關(guān)鍵詞：Pythagorean模糊語(yǔ)言； 多屬性決策； 云模型； TOPSIS方法

中圖分類號(hào)：C934

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-3695（2023）07-026-2096-05

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2022.09.0508

Multi attribute decision making method based on cloud model with Pythagorean fuzzy linguistic numbers

Huang Junjie^a， Chen Gang^a，b?

（a.School of Management， b.Karst Area Development Strategy Research Center， Guizhou University， Guiyang 550025， China）

Abstract：To solve the multi-attribute decision making problem in which the attribute value is Pythagorean fuzzy language， and the expert weight as well as the attribute weight are unknown， this paper proposed a multi-attribute decision making method based on cloud model. Firstly， this method calculated the attribute weights according to the distance entropy of Pythagorean fuzzy language decision information. Secondly， this method obtained the weight of each decision expert based on the distance between his/her decision matrix and other expert decision matrices. Thirdly， this method constructed the decision matrix of the Pythagorean fuzzy cloud model， and utilized the expert weights， along with attribute weights， to integrate the decision information. Finally， it sorted the alternative schemes on the basis of the closeness which was calculated according to the positive and negative ideal solutions obtained by TOPSIS method. A numerical example shows that the method optimizes the decision-ma-king in complex environment and avoids the loss of decision-making information. It also demonstrates that the method can tackle the uncertainty of decision information and the randomness of decision process more effectively.

Key words：Pythagorean fuzzy language; multi attribute decision making; cloud model; TOPSIS method

0 引言

多屬性決策是指考慮到方案存在多個(gè)目標(biāo)屬性，通過(guò)多維度綜合評(píng)價(jià)各個(gè)備選方案，然后對(duì)所有備選方案結(jié)果進(jìn)行排序以選擇最優(yōu)方案的決策問(wèn)題。在日益復(fù)雜的決策環(huán)境下，由于決策信息的不確定性和決策環(huán)境的復(fù)雜多變，決策者很難采用數(shù)值對(duì)方案屬性提供相對(duì)肯定的評(píng)價(jià)信息，通常采用模糊集^［1］描述。模糊集理論是Zadeh^［2］在19₆₅年創(chuàng)立的一種描述事物的不確定性和模糊性的方法。在此基礎(chǔ)上，Atanassov^［3］提出了直覺(jué)模糊集的概念，對(duì)傳統(tǒng)的模糊集理論進(jìn)行改進(jìn)。但模糊集理論中的隸屬函數(shù)只能通過(guò)近似推理的方法指定，一旦人為假定成精確數(shù)值，就不再具有模糊性。由于模糊理論不完全符合模糊的特性，文獻(xiàn)[4]提出了隸屬云的概念，并應(yīng)用于決策分析。

由于直覺(jué)模糊集應(yīng)用條件較為苛刻，應(yīng)用范圍較窄，不能應(yīng)用于隸屬度與非隸屬度之和大于1的決策情形，Yager^［5］在此基礎(chǔ)上提出了Pythagorean模糊集（Pythagorean fuzzy set， PFS）的概念，將可用范圍拓展至隸屬度與非隸屬度兩者平方和小于等于1的決策情景，相較于直覺(jué)模糊集其應(yīng)用范圍更廣，給決策者提供了更為寬松的決策環(huán)境。王耀武^［6］結(jié)合區(qū)間值Pythagorean模糊集和TOPSIS法提出了一種用于解決屬性信息不同情況的決策問(wèn)題的多屬性決策方法。曾守楨等人^［7］提出了Pythagorean模糊混合加權(quán)距離，并結(jié)合TOPSIS法解決Pythagorean模糊多屬性決策問(wèn)題。羅靜等人^［8］對(duì)傳統(tǒng)的VIKOR方法進(jìn)行改進(jìn)，通過(guò)Pythagorean模糊數(shù)正、負(fù)理想值的雙向投影處理屬性值為不確定信息的多屬性決策問(wèn)題。Ren等人^［9］結(jié)合TODIM方法與前景理論解決Pythagorean模糊多屬性決策問(wèn)題。Zhang^［10］在Pythagorean模糊集的基礎(chǔ)上提出一種層次QUALIFLEX方法的決策模型。關(guān)于Pythagorean模糊集已有較多的研究成果，然而，現(xiàn)有關(guān)于Pythagorean模糊集的研究體系仍有待完善，模糊集的實(shí)際實(shí)現(xiàn)需要滿足一定的約束條件。傳統(tǒng)Pythagorean模糊集的研究需要專家在不確定的環(huán)境中根據(jù)主觀偏好獨(dú)立地對(duì)方案進(jìn)行評(píng)價(jià)，未能有效地利用畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)提供的信息，以造成某些決策信息的丟失。模糊集模糊的不徹底性使得傳統(tǒng)的模糊數(shù)學(xué)理論逐漸無(wú)法滿足當(dāng)前模糊環(huán)境下決策的需要，而云模型應(yīng)用范圍因其自身不確定性和隨機(jī)性的特點(diǎn)也越來(lái)越廣^［11］。云模型能夠很好地適用于日常生活中的不確定性概念的表達(dá)，在處理定性與定量之間相互轉(zhuǎn)換方面具有巨大優(yōu)勢(shì)。龔艷冰等人^［12］在決策過(guò)程中引入正態(tài)云，提出了一種以云模型為基礎(chǔ)處理模糊語(yǔ)言多屬性決策問(wèn)題的方法。張凱等人^［13］將云模型用于企業(yè)評(píng)價(jià)，針對(duì)企業(yè)科技創(chuàng)新與持續(xù)發(fā)展能力評(píng)價(jià)指標(biāo)的不確定性構(gòu)建一種基于云模型和證據(jù)理論的評(píng)價(jià)模型。Wang等人^［14］為了保證決策信息的完整性，提出了一種多準(zhǔn)則決策云TOPSIS方法將不確定信息和模糊信息整合到?jīng)Q策過(guò)程中。在Pythagorean模糊集與云模型結(jié)合的研究中，徐青等人^［15］將云模型引入Pythagorean模糊環(huán)境下，提出了一種基于Pythagorean模糊云的評(píng)價(jià)方法。Zhou等人^［16］考慮正理想解和負(fù)理想解距離的對(duì)稱性，并提出了一種基于Pythagorean正態(tài)云的多準(zhǔn)則群體決策方法。Yang等人^［17］利用基于信息誤差的Pythagorean模糊云算法，提出了一種新的智能農(nóng)業(yè)方案評(píng)估與選擇方法。

綜上所述，Pythagorean模糊語(yǔ)言集與云模型結(jié)合的研究較少，云模型可以更好地轉(zhuǎn)換語(yǔ)言偏好信息并對(duì)其進(jìn)行定量描述，云模型汲取了自然語(yǔ)言的優(yōu)點(diǎn)，兼具隨機(jī)性和模糊性的特點(diǎn)，用Pythagorean模糊語(yǔ)言表示決策專家的評(píng)價(jià)信息很大程度上解決了人的思維具有模糊性和決策問(wèn)題具有不確定性的特征。基于云模型可以將用Pythagorean模糊語(yǔ)言表示的定性概念與其定量表示之間建立起定性和定量間的相互映射關(guān)系。因此本文結(jié)合已有研究為解決屬性信息為Pythagorean模糊語(yǔ)言的多屬性決策問(wèn)題，將云模型引入Pythagorean模糊環(huán)境中，提出一種基于云模型的Pythagorean模糊語(yǔ)言多屬性決策方法，綜合考慮客觀屬性權(quán)重和決策專家權(quán)重，利用TOPSIS方法對(duì)決策結(jié)果進(jìn)行排序，并結(jié)合算例驗(yàn)證所提方法的有效性。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 Pythagorean模糊集

計(jì)算得中間云和最右邊云的期望值，將其作為第一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)，依據(jù)黃金分割率可得第一朵云的期望值取距離最右邊云的第一條線段長(zhǎng)度的0.618倍對(duì)應(yīng)數(shù)值，其次第二條線段的兩個(gè)端點(diǎn)取第一朵云的期望值和最右邊云的期望值，第二朵云的期望值則取靠近最右邊云的第二條線段長(zhǎng)度的0.618倍對(duì)應(yīng)數(shù)值，依此類推，直到找到右邊第（t－3）/2朵云，左云生成過(guò)程同理。對(duì)于云模型的熵，有

其次按照黃金分割法的原則，兩朵云熵值的比例為黃金分割率，依次求得其余云的熵值。

對(duì)于云模型的超熵，中間云的超熵He₀的數(shù)值首先直接給定，然后依據(jù)黃金分割法兩朵云超熵的比例為黃金分割率的原則，依次求得剩余云的超熵。具體云生成方法如表1所示。

依據(jù)TOPSIS法的內(nèi)容，d^*_i取值越小，方案越接近正理想解且離負(fù)理想解越遠(yuǎn)，即方案評(píng)價(jià)越優(yōu)。依據(jù)此方案對(duì)所選方案進(jìn)行排序，得出最優(yōu)決策方案。綜上，基于Pythagorean模糊云模型和TOPSIS法的多屬性決策方法具體步驟如下：

a）利用式（1）對(duì)決策者給出的初始決策矩陣作標(biāo)準(zhǔn)化處理。

b）基于標(biāo)準(zhǔn)化后的Pythagorean模糊決策矩陣，利用式（6）（8）計(jì)算距離熵從而確定屬性權(quán)重。

c）綜合屬性權(quán)重利用式（9）～（11）計(jì)算決策矩陣間的距離，從而得到各決策專家權(quán)重。

d）利用定義5和表1云生成方法生成Pythagorean模糊云模型，并利用式（12）（13）對(duì)決策信息進(jìn)行集結(jié)。

e）利用式（14）（15）確定方案Pythagorean模糊云模型的正理想解和負(fù)理想解，并利用式（16）（17）計(jì)算第i個(gè)方案x_i的Pythagorean模糊云模型與正、負(fù)理想解之間的距離。

f）利用式（18）計(jì)算方案x_i的Pythagorean模糊云模型的貼近度，從而對(duì)方案進(jìn)行排序選擇得出最優(yōu)決策方案。

3 案例分析

3.1 案例背景

環(huán)境的不斷惡化使得各國(guó)政府和國(guó)際組織積極倡導(dǎo)綠色環(huán)保事業(yè)，物流業(yè)作為現(xiàn)代的新興產(chǎn)業(yè)，要想持續(xù)發(fā)展必須與綠色經(jīng)濟(jì)活動(dòng)相聯(lián)系。因此，綠色物流逐漸成為大勢(shì)所趨。綠色物流是指在減少環(huán)境污染和資源浪費(fèi)的前提下對(duì)物流資源進(jìn)行有效的配置與優(yōu)化。由于綠色物流對(duì)物流企業(yè)運(yùn)營(yíng)的重要性和當(dāng)前的發(fā)展趨勢(shì)，選擇合適的物流供應(yīng)商對(duì)當(dāng)前企業(yè)來(lái)說(shuō)尤為重要。為選擇最佳物流商，某企業(yè)對(duì)四家可供選擇的物流供應(yīng)商進(jìn)行評(píng)估，對(duì)四家物流供應(yīng)商制定了四個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，所選評(píng)價(jià)指標(biāo)來(lái)源于文獻(xiàn)［25］，分別為供貨質(zhì)量（c₁）、供貨商技術(shù)（c₂）、環(huán)境保護(hù)（c₃）、社會(huì)信譽(yù)（c₄）。為保證決策的公平性與合理性，企業(yè)決定聘請(qǐng)三位專家對(duì)四家物流商進(jìn)行評(píng)估，假設(shè)屬性的語(yǔ)言值有七種狀態(tài)集，即｛極差，差，較差，一般，較好，好，極好｝。專家提供的初始決策矩陣如表2所示。

3.2 決策過(guò)程

a）由于企業(yè)制定的四個(gè)指標(biāo)均為效益型指標(biāo)，所以不需

要對(duì)初始決策矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。

b）依據(jù)式（6）～（8）計(jì)算得各方案的綜合屬性權(quán)重ω_j，綜合求得各個(gè)屬性的權(quán)重向量為ω_j={0.191 8，0.311 1，0.213 2，0.283 9}。

c）根據(jù)式（9）～（11）計(jì)算各決策專家的權(quán)重，得決策專家的權(quán)重向量為w_l={0.280 2，0.325 5，0.394 3}。

d）給定論域［0，1］，設(shè)定He₀=0.1，根據(jù)提出的云生成方法，結(jié)合決策專家給出的Pythagorean模糊語(yǔ)言矩陣，利用定義5和表1的云生成方法生成Pythagorean模糊云模型，將Pythago-rean模糊語(yǔ)言決策矩陣自然轉(zhuǎn)換為Pythagorean模糊云模型決策矩陣，如表3所示。

利用式（12）（13）對(duì)決策專家在第i個(gè)方案的屬性c_j下的Pythagorean模糊云模型進(jìn)行集結(jié)，得到第i個(gè)方案在屬性c_j下的Pythagorean模糊云云滴，進(jìn)一步信息集結(jié)得到第i個(gè)方案的Pythagorean模糊云模型，即

f）根據(jù)步驟e）所求的正、負(fù)理想解，利用式（16）（17）計(jì)算方案x_i的Pythagorean模糊云模型與正理想解和負(fù)理想解之間的距離d⁺_i和d－_i，進(jìn)而根據(jù)式（18）計(jì)算得到各方案的貼近度d^*_i，具體結(jié)果如表4所示。

由表4可以得到四個(gè)物流供應(yīng)商的排序結(jié)果d^*₃gt;d^*₂gt;d^*₄gt;d^*₁，即得出最佳供應(yīng)商為x₁，故選擇供應(yīng)商1。

3.3 方法對(duì)比

本文決策方法是基于決策者所給出的語(yǔ)言偏好信息，比較符合決策的實(shí)際情況。通過(guò)對(duì)文獻(xiàn)的梳理與分析，當(dāng)前大多數(shù)決策研究均基于Pythagorean模糊算子，或是將專家偏好信息以確切數(shù)或區(qū)間數(shù)的形式給出，將Pythagorean模糊集和云模型結(jié)合應(yīng)用于群體決策中的研究成果較少，僅有文獻(xiàn)［15］對(duì)Pythagorean模糊云進(jìn)行了討論。但文獻(xiàn)［15］對(duì)Pythagorean模糊云進(jìn)行討論時(shí)采取相同的屬性權(quán)重和決策者權(quán)重，且權(quán)重均事先人為給出，而本文各方案的屬性權(quán)重根據(jù)距離熵確定，決策專家的權(quán)重是根據(jù)決策矩陣間的距離確定，將各決策專家和各屬性均賦予不同權(quán)重，更加具有針對(duì)性，避免了主觀性。決策方法適用范圍更為廣泛，適用條件也更為寬松。

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，將本文方法與文獻(xiàn)［19］所提的Pythagorean模糊語(yǔ)言加權(quán)平均算子（PFLWA）算子相比較，得s（1）=0.020 6，s（2）=0.002 6， s（3）=－0.001 5，s（4）=0.009 8，排序結(jié)果為s（1）gt;s（4）gt;s（2）gt;s（3），所得結(jié)果與本文完全一致，但各方案的得分函數(shù)結(jié)果差距不明顯，對(duì)最優(yōu)方案的選擇不易辨別，而本文方法的最優(yōu)與最劣方案的貼近度相差較為明顯。同時(shí)，還將本文所提方法與文獻(xiàn)［26］所提的猶豫Pythagorean模糊語(yǔ)言優(yōu)先級(jí)加權(quán)平均（HPFLPWA）算子和猶豫Pythagorean模糊語(yǔ)言優(yōu)先級(jí)加權(quán)幾何（HPFLPWG）算子作比較，根據(jù)HPFLPWA算子得算例結(jié)果為E₁=0.458 5，E₂=0.379 4，E₃=0.249 0，E₄=0.440 8；根據(jù)HPFLPWG算子得方案結(jié)果為E₁=0.399 6，E₂=0.305 8，E₃=0.218 5，E₄=0.376 5，對(duì)比結(jié)果如表5所示。所得結(jié)果與本文一致，但HPFLPWA算子和HPFLPWG算子對(duì)語(yǔ)言值進(jìn)行集結(jié)時(shí)首先需要選擇合適的語(yǔ)言刻度進(jìn)行轉(zhuǎn)換，選擇過(guò)程中決策專家的主觀性較強(qiáng)，且計(jì)算過(guò)程較為繁瑣，選擇得分函數(shù)進(jìn)行評(píng)價(jià)也會(huì)造成部分決策信息的丟失。而本文方法用云模型對(duì)語(yǔ)言值進(jìn)行轉(zhuǎn)換，充分考慮了專家們的不同意見(jiàn)，計(jì)算較為簡(jiǎn)便，結(jié)果可靠，有利于方案的比對(duì)與選擇。

4 結(jié)束語(yǔ)

考慮到語(yǔ)言評(píng)價(jià)信息的模糊性，本文在Pythagorean模糊環(huán)境下引入云模型的概念，提出了一種基于云模型的Pythagorean模糊語(yǔ)言多屬性決策方法，并給出了詳細(xì)步驟和應(yīng)用實(shí)例。首先根據(jù)專家給出的Pythagorean模糊語(yǔ)言決策信息計(jì)算距離熵從而確定屬性權(quán)重；然后根據(jù)決策矩陣間的距離計(jì)算決策者權(quán)重，利用云生成方法將Pythagorean模糊語(yǔ)言決策信息轉(zhuǎn)換為Pythagorean模糊云模型，對(duì)其進(jìn)行信息集結(jié)，根據(jù)TOPSIS方法求出正、負(fù)理想解，基于理想解計(jì)算得各方案貼近度并據(jù)此對(duì)方案進(jìn)行排序；最后通過(guò)算例驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性。本文方法在決策過(guò)程中引入云模型，很好地將定性語(yǔ)言概念用定量數(shù)值表示，同時(shí)考慮評(píng)價(jià)的模糊性和隨機(jī)性，解決了傳統(tǒng)評(píng)價(jià)過(guò)程中模糊性和隨機(jī)性獨(dú)立考慮的情況，同時(shí)賦予不同的屬性權(quán)重和決策者權(quán)重避免了決策過(guò)程的主觀性。提出的Pythagorean模糊云模型方法優(yōu)化了復(fù)雜環(huán)境下的評(píng)價(jià)和決策工作。用Pythagorean模糊語(yǔ)言數(shù)表示決策者的評(píng)價(jià)信息，符合現(xiàn)實(shí)的決策情況，用云模型對(duì)Pythagorean模糊語(yǔ)言評(píng)價(jià)信息進(jìn)行轉(zhuǎn)換，避免了決策信息的丟失，且用Pythago-rean模糊數(shù)表示云的期望值，提供了更多構(gòu)建模糊評(píng)級(jí)的可能性。因此，本文方法在考慮決策者的信心和其評(píng)價(jià)信息分布時(shí)具有更大的靈活性。然而，已有研究表明，相比于“完全理性”，“有限理性”更能真實(shí)反映決策者的心理行為，因此，如何將行為理論引入Pythagorean模糊云決策模型中，是進(jìn)一步的研究方向。

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