基于齊次系統理論的多船有限時間飽和包容控制

馬俊達，譚沖，范佳佳

（1.哈爾濱理工大學 自動化學院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.黑龍江省復雜智能系統與集成重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001）

近些年來，多船編隊控制已經成為海洋工程領域的熱點研究方向。相比于傳統單船作業，由多船相互協作構成的編隊系統具有生存能力強、運行成本低、作業半徑大等優點［1］。在實際工程領域，船舶編隊協同作業存在著應用場景多變、集結時間有限以及控制輸入受限等實際問題。因此，在考慮水面船的實際物理約束情況下,如何進一步擴展編隊的應用場景,實現多船有限時間內的快速集結是橫亙在船控專家面前的首要難題。

在應用擴展方面,早期多船編隊理論研究主要圍繞隊形生成［2］、無領導者法［3］以及領導者-跟隨者法等方面開展，近幾年逐步聚焦于以多領導者為編隊特點的包容控制［4-6］。以往編隊控制方法存在2種設計思路：一種是以領導者-跟隨者法為代表，基于非線性控制理論，將編隊控制問題轉化為閉環系統的鎮定問題；另一種則以隊形生成和無領導者為代表，以圖論為數學理論基礎，強調編隊生成過程中的狀態一致性，近期相關研究更突出第2 類。有別于領導者-跟隨者法隊形由單一領導者確定，包容控制需多個領導者。在實際工程應用中，搭配高性能傳感器的船舶可以探測更大范圍水域信息，可作為船舶編隊系統中的領航船，其他船舶僅需與這些領航船通信，利用多個領航船和鄰船的狀態信息設計分布式控制律實現跟隨船收斂于領航船張成的區域內，最終跟隨船可隨領航船進行遠洋探測作業。Peng［4］針對船舶易受到風浪流外部擾動的問題，利用基于預估器的神經網絡動態面控制算法，分別設計了基于狀態反饋和基于輸出反饋2 種魯棒包容控制律；Gu［5］結合擴展觀測器、線性跟蹤微分器和輔助變量法，面向基于參數化路徑的多虛擬領航船，實現了欠驅動船舶魯棒包容控制；Zhu［6］利用動態面控制技術,結合有限時間擾動觀測器提出了一種具有抗干擾特性的包容控制策略。上述成果均以反步法為設計框架,將步驟分為運動學回路設計和動力學回路設計2 部分,并結合Lyapunov 穩定性理論實現包容控制，但控制效果高度依賴慣性矩陣和科里奧利向心力矩陣的參數取值準確性。因此，設計一種具備簡化形式的多船包容控制律，降低對船模參數的依賴極具工程價值。

在時間優化方面，收斂速度也是衡量編隊系統動態特性的重要技術指標。目前，多船包容控制算法大多僅實現了閉環系統的漸近穩定，較少考慮在有限時間內實現控制目標。然而實際海洋應用中,多船編隊系統在有限時間內完成快速集結,不僅可提高系統動態響應速度,而且還可提升系統的抗干擾能力［7］。以齊次系統理論和有限時間穩定性理論為依托,多智能體有限時間控制已取得一定成果,但受限于船模的非線性特征,船舶有限時間編隊控制成果較少。通過引入終端滑模，Li［8］將多船編隊控制問題轉化為有限時間鎮定控制問題；Fu［9］研究了外部擾動下的多船編隊控制問題，通過引入擴張觀測器,實現了對系統狀態和外部擾動的快速估計和補償；李莉莉［10］利用障礙Lyapunov 函數實現對縱向速度和艏向角的約束，通過引入功率積分器保證欠驅動水面船有限時間路徑協同。上述算法思路均通過定義編隊控制偏差，并結合有限時間穩定性理論保證閉環系統的有限時間收斂,且不涉及齊次系統理論，其根本原因在于齊次系統理論對模型特性要求較高，不便直接應用。因此，基于齊次系統有限時間理論，針對船舶非線性模型研究多船有限時間包容控制問題是值得探究的。

在物理約束方面，飽和控制也是多船編隊需要重點考慮方面，其性能的優劣直接影響著控制效果。多船編隊控制中需要與其他船舶完成信息交互，往往造成初始偏差信號較大，進而超過執行器能夠提供的最大力或力矩。為解決此問題，Xia［11］引入輔助動態系統，將輔助變量引入運動學和動力學回路的偏差向量，實現了對控制輸入的限幅；林安輝［12］則通過在運動學回路設計中主動引入飽和函數約束編隊偏差變量,從而限制了編隊控制輸入。近年來,以典型線性模型為研究對象的多智能體有限時間包容控制取得了一定進展。Zhao［13］針對二階系統提出一種輸出反饋的有限時間包容控制律，并基于有限時間穩定性理論證明閉環系統的穩定性；李玲玉［14］利用圖論和齊次系統理論，設計一種基于擾動觀測器的有限時間魯棒包容控制律，實現了對不匹配干擾的在線補償。上述成果針對模型相對簡單,且并未考慮控制輸入的有界性。

本文針對多領導者船舶編隊控制問題，以三自由度非線性船舶模型為研究對象，基于齊次系統有限時間穩定性理論，充分考慮控制輸入受限，提出了一種簡化形式新型多船包容控制方法，創新點歸納如下：1）區別于以往多船包容控制律需獲得精確慣性矩陣和科里奧利向心力矩陣參數,本文提出一種模型參數低依賴、具備簡化數學形式包容控制律；2）不同于文獻［11-13］基于Lyapunov 有限時間穩定性理論證明閉環系統的穩定性，本文基于齊次系統穩定性理論實現了閉環系統有限時間內的快速收斂；3）考慮了輸入約束下的包容控制問題，通過引入飽和約束函數提出了基于包容位置偏差約束和速度約束的有限時間飽和控制律。

1 知識預備與問題描述

1.1 代數圖論

假定n+m艘船間的通信可用圖G=(V,E,A)表示，其中V={v1,v2,…,vn+m}表示節點的集合；E?V×V表示邊的集合；A=[aij]∈ R(n+m)×(n+m)表示該圖的鄰接矩陣。有向邊(vi,vj) ∈E表示vj可從vi獲取信息。定義Ni={vj∈V|(vi,vj)∈E}為節點vi的鄰居矩陣。當vj∈Ni時，aij=1，否則aij=0。對于所有節點，令aii=0。若對于?i，有aij=aji，則圖為無向拓撲圖，且其鄰接矩陣為對稱陣；反之，圖為有向拓撲圖。圖G的Laplacian陣L={lij}定義為：

定義1［15］對于?j(i=1,2,…,n+m)有aij=0，則船i稱為領導者；若存在j有aij=1，則稱船i稱為跟隨者。

定義2［16］設集合X={x1,x2,…,xn}是實向量空間Rn的子集，集合X的凸包定義為：

1.2 有限時間穩定性理論與判據

定義3［17］考慮以下系統：

式中f:U→Rn為定義域U到R的向量函數。若對于任意ε＞0 有(r1,r2,…,rn) ∈Rn,ri＞0,使得函數f(x)滿足：

式中：i=1,2,…,n,k≥-max {ri,i=1,2,…,n},則稱函數f(x)關于(r1,r2,…,rn) 具有齊次度k。若f(x)是齊次函數，則稱系統式(1)是齊次的。

引理1［17］考慮以下系統：

同時x=0 是系統式（3）的全局漸近穩定點，則x=0是系統式（3）的全局有限時間穩定點。

引理2［17］考慮如下系統：

若存在一個連續正定函數V(x) :U→ R 且c＞0,α∈(0,1),在U0?U的鄰域上滿足：

則V(x) 在有限時間內容收斂于0，且收斂時間滿足T0＜V1-α(x(0))/c(1-α)。

引理3［18］考慮系統=f(t,x)，其中對于函數f(t,x) 滿足f(t,0)≡0，并且系統存在唯一解。V(t,x) 和W(t,x) 在定義域上的連續函數并且滿足如下條件：

1）V(t,x) 為正定非增函數；

3）|W(t,x)|有界；

1.3 船舶運動數學模型

忽略船舶橫搖、升沉以及艏搖，則第i艘船三自由度非線性數學模型為［19］：

式中：ηi=[xi,yi,ψi]T為船i在大地坐標系下的位置向量；υi=[ui,vi,ri]T為船i在體坐標系下的速度向量；R(ψi) 為上述2 坐標系之間的轉換矩陣；M、iCi(υi)、Di(υi)分別為船i的慣性矩陣、科里奧利向心力矩陣和阻尼矩陣；τi為船i的實際控制輸入。為便于設計，令pi=ηi，qi=R(ψi)υi結合式(7)和式(8)得如下數學形式：

顯然，上述數學模型滿足如下性質：

1.4 控制問題描述

考慮多船編隊中跟隨船個數為n，分別標記為1,2,…,n；領導船數量為m，標記為m+1 至m+n。假設領導船為靜止領導者，即動態特性滿足：

式中：i=n+1,n+2,…,n+m；pi為領導船i的位置信息。假設所有跟隨船至少有一艘鄰居船,而虛擬領航船均沒有鄰居船。此時,多船編隊通信拓撲結構滿足如下假設：

假設1［20］假設由跟隨船式（9）和式（10）構成的編隊通信拓撲是無向連通的,任何一艘跟隨船都有一艘虛擬領導船通過有向路徑指向它,而領航船無需獲取其他船的狀態信息。

進一步，由n艘跟隨船和m艘虛擬領導船構成的編隊系統Laplacian陣L定義為：

式中：L1∈Rn×n為 跟隨船間的Laplacian 陣；L2∈Rn×m為跟隨船與領航船之間的Laplacian陣。

由定義2 和引理2 知，當位置向量XF趨近于Xd時，跟隨船收斂于領航船張成凸包Co{pi,i=n+1,n+2,…,n+m},即實現了包容控制。

控制目標：考慮假設1，針對船舶模型式（9）和式(10)，利用其自身狀態信息、鄰船信息以及部分領航船信息設計具有輸入飽和特性的有限時間包容控制律，使得跟隨船在有限時間T0內收斂于領導船張成的區域內，即滿足：

2 控制器設計與穩定性分析

基于包容偏差向量EX，結合代數圖論、齊次系統理論以及飽和函數特性，n艘跟隨船的有限時間包容控制律設計為：

式中：控制增益K1,K2＞0；0 ＜α1＜ 1；α2=2α1/ (α1+1)；sigα(x)=|x|αsgn(x)，sgn(x) 為 符號函數；SD1(x)=[sD1(x1),sD1(x2),…,sD1(x3n)]T為飽和函數向量；假設函數sD1:x→sD1(x)為連續奇函數，且滿足：

1）|SD1(x) |≤D，D＞0；

2）x·SD1(x)＞0，x≠0，x∈ R；

3）在x=0 附近，有sD1(x)=cx+o(x),o(x) 表示x的高階無窮小，且c＞0。

與之類似，SD2(x) 為飽和函數向量，同樣滿足上述3個條件。

定理1 對于具有模型式（9）和式（10）的n艘跟隨船以及模型式（11）的m艘虛擬領導船組成的編隊系統，若滿足假設1，則跟隨船在控制律式（13）作用下能夠在有限時間內收斂于領航船張成的區域內，即滿足控制目標式（12）。

證明 證明過程分4步：

1）將控制律式（13）代入式（9）得：

令Lyapunov函數為：

對式（16）兩邊同時求導得：

將式(14)代入式(19)可得：

將式(22)代入式(14)、(15)得：

式中：SD1(y)=CD1y+o(y)；SD2(y)=CD2y+o(y);CD1，CD2＞0；o(y)為y的高階無窮小量。進一步整理式（24）可得：

結合式(23)和(25)可得：

其中：

針對如下系統：

進一步，將式(27)進行整理，并證明該是齊次且漸近穩定的：

令r1=1,r2=α1/α2,k0=(α1-1)/2,則有：

由上述分析知,系統式（28）關于(b1,b2,…,bn,bn+1,…,b2n)具有齊次度k0=(α1-1)/ 2 ＜0,其中b1=b2…=bn=1,bn+1=…=b2n=α1/α2。

3) 針對系統式(27)，構造Lyapunov函數為：

結合式(27)，對式(29)兩邊同時求導得：

由LaSelle 不變集理論可知,閉環系統式(27)在eX=0,VF=0全局漸近穩定。

4) 分析閉環系統式(26)非齊次項：

同時有：

綜合式(31)和(32)可知：

根據引理1，綜合步驟1)～步驟4)可知閉環系統式(26)在有限時間穩定，即eX=0,VF=0 是系統的全局有限時間收斂點。進一步，結合式(22)可知存在有限時間T0，使得當t→T0有XF+與VF=0，即實現控制目標式(12)。證畢。

注意 1）從編隊控制律數學形式看，以往多船編隊控制算法分完全模型依賴［2,6-12］和部分模型依賴［3-5］2 類。完全模型依賴需要獲得包括Mi,Ci(υi),Di(υi)在內的準確船體準確模型參數，這對系統辨識精度提出了挑戰；部分模型依賴往往利用神經網絡技術在線估計模型參數和外界干擾，但需要計算量較大，且往往也需獲取Mi或Ci(υi)精確值。本文提出控制律式(13)無需慣性矩陣Mi和Ci(υi)，在簡化控制律數學形式的同時，實現了有限時間收斂。

2）文獻［7-10］均利用Lyapunov 有限時間穩定理論開展多船有限時間編隊控制研究，并未涉及齊次系統理論。由于齊次系統有限時間理論對研究對象的模型數學形式要求較高，一般非線性模型不能直接使用。針對此問題，本文先將系統化為積分形式式(9)和式(10)，然后將動力學部分拆解為齊次項和非齊次項f1(eX,VF)+f2(eX,VF)，進而滿足了引理1 的系統形式要求，最終基于齊次系統理論證明了閉環系統在有限時間內收斂。

3）在編隊形成初期，偏差向量‖EX‖和‖VF‖數值往往較大，會超過船舶執行器的物理上限。因此，本文通過引入飽和函數約束其變化范圍，更具工程價值。

3 多船包容控制仿真驗證

為驗證控制律式(13)效果，本文以Cybership2為跟隨船驗證模型。此時，控制參數K1=30,K2=40,α1=1/ 2,α2=2/ 3,D=1，約束函數sD(x) 為：

式中：常數D＞0,顯然|sD(x) |≤D。下面從2 種拓撲形式探討編隊控制效果。

3.1 對稱拓撲結構下的多船包容控制

考慮編隊系統由4 艘跟隨船和4 艘虛擬領航船組成，其通信拓撲結構如圖1所示。

圖1 編隊通信拓撲Fig.1 Communication topology

節點1～4 表示無向連通的跟隨船1～4，節點5～8表示向跟隨船單向傳送的領航船5～8。假設通信拓撲中邊的權重均為1，則系統Laplacian矩陣為：

顯然由L2數學形式可知該通信拓撲結構為對稱形式。

假設4艘跟隨船的初始狀態分別為：

4艘領航船的位置信息分別為：

圖2～5為對稱通信拓撲結構下的多船編隊系統的控制效果。圖2為4艘跟隨船的運行軌跡,從中可看出跟隨船收斂于4 艘虛擬船張成的矩形區域內；跟隨船的位置偏差變量‖eXi‖=‖pi-pdi‖隨時間變化曲線如圖3。從圖3中可看出,偏差信號在15 s內均收斂于0附近,即實現了有限時間內收斂的目標；圖4 展示跟隨船速度隨時間變化曲線，即在15 s 內實現了速度收斂于0；跟隨船在3個方向的控制輸入隨時間變化曲線如圖5 所示。綜上,包容控制律能夠使得跟蹤偏差在有限時間內收斂于0,即實現了控制目標式(12)。

圖2 船舶運行軌跡Fig.2 Ship trajectory

圖3 跟隨船的跟蹤偏差變化曲線Fig.3 Position tracking errors for each follower

圖4 跟隨船的速度變化曲線Fig.4 Velocities for each follower

3.2 非對稱拓撲下與其他方法比較

考慮編隊系統由3 艘跟隨船和3 艘虛擬領航船組成，取通信拓撲結構為非對稱形式，具體結構如圖6所示。

圖6 編隊通信拓撲Fig.6 Communication topology

其中節點1～3表示無向連通的跟隨船1～3,節點4～6 表示虛擬領航船。假設通信拓撲中邊的權重均為1,則系統Laplacian矩陣為：

本節將與文獻［4］所設計的基于反步技術的多船包容法進行比較，其控制律為：

假設3艘跟隨船的初始狀態分別為：

3艘領航船的位置信息分別為：

在非對稱通信拓撲結構下2 種控制算法的仿真曲線如圖7～11 所示。圖7、圖8 分別為基于反步法和齊次法的船舶運動軌跡，可以看出2 種方法均可使跟隨船收斂于領導船張成的三角區域內。圖9以跟隨船2 為例展示了2 種方法下的位置偏差變量‖eX2‖ 隨時間變化曲線。從圖9 中可看出齊次法相較于傳統反步法具有更快的收斂速度，在10 s 內即可收斂于零。跟隨船2的各個軸向速度隨時間變化曲線如圖10所示。2種方法的控制律隨時間變化曲線如圖11所示。從圖11中可以看出，反步法在系統運行初期會產生較大控制幅值，甚至可能超過船舶執行器物理上限。本文所提出的基于齊次理論的包容控制算法通過引入約束函數，避免了初始跟蹤偏差過大問題造成控制輸入過大的問題。

圖7 基于反步法的船舶運行軌跡Fig.7 Ship trajectory based on backstepping method

圖8 基于齊次理論控制法的船舶運行軌跡Fig.8 Ship trajectory based on homogeneous system the‐ory control method

圖9 跟隨船2的跟蹤偏差變化曲線Fig.9 Position tracking errors for follower 2

圖10 跟隨船2的速度變化曲線Fig.10 Velocities for follower 2

圖11 跟隨船2的控制律變化曲線Fig.11 Control inputs for follower 2

4 結論

針對多領導者船舶編隊控制問題,本文提出了基于齊次系統有限時間穩定性理論的飽和包容控制方法，可得如下結論：

1）所提算法以齊次系統理論為基礎，將系統化為由特定齊次項和非齊次項組成的數學形式，可簡化控制律表達式，保證多船編隊的快速收斂。

2）為規避初始跟蹤偏差過大引發控制輸入超幅的問題，本文利用飽和函數特性，結合圖論相關知識，提出具有限幅特征的多船編隊控制律。

3）未來將進一步研討基于齊次系統理論的船舶輸出反饋包容控制方法，并將結論延伸至其它多船編隊控制形式。