應用非一致性網格和高階有限元的井地電磁三維各向異性正演算法

摘要： 地下介質通常表現為電各向異性，增加了井地電磁法響應的復雜性。因此，針對各向異性介質模型進行正演模擬并總結規律，對于正確解釋電磁勘探的觀測數據至關重要。目前，對復雜三維地質模型進行精確建模是正演中的難點之一。本文使用一種基于八叉樹網格的高精度建模方法，通過將六面體單元劃分為八個較小的單元來局部細化網格，能夠使用較少數量單元的同時保證建模的精度，從而降低計算成本。此外，為提高數值解的精度，在計算時使用高階形函數。結合八叉樹網格和高階形函數實現了井地電磁法三維各向異性正演方法。通過對比各向異性層狀模型的數值解與解析解，驗證了算法的正確性。使用八叉樹網格實現復雜各向異性油氣模型精確建模，將異常體設置不同的水平和垂直電阻率，計算結果表明垂直電阻率對響應的影響大于水平電阻率。研究成果對實際的野外施工具有一定的指導作用，為進一步進行各向異性介質的三維反演打下基礎。

關鍵詞： 各向異性，八叉樹，有限單元法，高階形函數

中圖分類號：P631 文獻標識碼：A DOI：10. 13810/j. cnki. issn. 1000-7210. 2024. 06. 021

0 引言

電磁勘探技術是探測地下介質電性結構的有效方法之一。傳統的可控源電磁勘探方法通過在地面放置發射源與接收器觀測地下介質的電磁響應。然而，由于電磁場的擴散特性，其探測分辨率隨著勘探深度的增大迅速減小[1]。井地電磁法（Borehole-tosurfaceElectromagnetic Method， BSEM） 是對傳統電磁勘探方法的補充，將發射源放置于井中，在地面接收徑向電場響應。由于發射源位于地下，更接近探測目標，井地電磁法具有較高的探測精度[2]。井地電磁法正演模擬和數據處理方面的研究已日漸成熟，該方法廣泛應用于石油、礦產、地熱和其他資源的勘探[3-4]。

三維正演算法能夠高效模擬復雜三維地質模型的響應，是觀測系統設計和數據解釋的有效工具，同時也是三維反演的基礎。因此，開發高精度、高效率的三維正演模擬算法是電磁勘探領域的重要課題。常用的電磁正演模擬方法包括有限差分法[5-6]、有限體積法[7]和有限單元法[8-9]。其中，有限差分法難以模擬起伏地表的情況，而且需要將網格劃分得非常密才能得到較高精度的數值解，計算耗時長。有限體積法可以模擬復雜結構，但其實現對網格質量要求很高[10]。相比之下，有限元方法可以使用非結構化網格精確地模擬復雜的地質模型，而且可以采用高階形函數提升數值解的準確度。因此，有限元法被廣泛應用于復雜模型正演模擬。

近年來，井地電磁有限元正演研究中的一個難點是對大型的三維復雜異常體模型進行精確建模[11]。有限元方法最常用的網格類型是四面體[12-13]和六面體[14-15]網格。四面體網格模擬復雜模型的靈活性更高，但其通常是由網格剖分軟件自動生成，這使得網格質量和密度難以控制。矩形六面體網格比較容易生成，適用于模擬復雜結構。然而，若使用傳統的一致性六面體網格模擬空間中微小的變化，需要對整個計算區域的網格進行全局細化，網格數量迅速增加，導致耗費大量計算資源。

本文采用非一致性網格類型之一的八叉樹網格來解決上述復雜模型建模問題。八叉樹網格通過將六面體單元劃分為八個較小的單元來局部細化網格，能夠在使用較少網格的同時達到良好的建模效果。八叉樹網格已成功應用于電磁勘探領域的正演[10]和反演[16]研究。然而，使用八叉樹網格也有一些需要解決的問題，如樹結構管理的復雜性問題和懸掛節點問題。另外，為了保證有限元解的連續性，還需要對懸掛節點施加約束條件[17]。

根據有限元理論，采用更密的網格或高階形函數均可以提升數值解的精度。在空氣和邊界這些電阻率均勻的區域中，數值解是光滑的。在這種情況下，使用高階形函數比使用更密的網格更能有效提高數值解的精度[18]。在電磁正演模擬領域，高階有限元法有許多成功的應用[19-20]。

目前，井地電磁的相關研究大部分是將地層看作各向同性介質。在具有明顯的地質斷層和不同層理的沉積巖地區中，地下介質通常表現出宏觀電導率各向異性[21]。國內外學者對這一現象已經做出廣泛研究，基于各向異性理論的直流電法[22-23]、頻率域電磁法[24-25]和時間域電磁法[26]迅速發展，這些研究都證明各向異性地層介質對電磁響應存在明顯影響。

本文開發了一種結合八叉樹網格和高階有限元的高精度井地電磁各向異性正演模擬算法。采用八叉樹網格對計算區域進行離散化，可以準確模擬各種復雜模型。在此基礎上，使用高階形函數提高數值解的精度。通過與層狀各向異性介質模型解析解對比驗證算法的正確性。針對一個三維復雜異常體模型，研究了水平和垂直電阻率變化對井地電磁響應的影響，并且對井地電磁法用于監測油氣開采過程進行可行性分析。

1 控制方程

令時諧因子為eiωt，場源所激發的電磁場滿足頻率域的Maxwell 方程