先驗巖石物性約束的地球物理正則化反演

摘要： 隨著勘探程度的深入，可用于正則化反演的先驗信息越來越豐富和精確。在分析參數變換函數、模糊C均值聚類模型約束、交替方向乘子優化等引入巖石先驗物性約束方法的基礎上，提出了一種基于反演單元物性互異原則的模型約束方法。基于單元互異原則的模型約束從地質單元數量有限、每個離散反演單元只能屬于某一種巖性的本質出發，通過限定離散反演單元的物性取值實現物性引入。將上述先驗物性引入與經典正則化反演相結合，構建了統一的目標函數并通過高斯—牛頓法進行優化求解； 對四種方案實現巖石物性引入的作用機理和數學本質進行了分析，提出了同時利用多種方案提高反演效果的組合策略； 對比了L1 和L2 范數最小結構模型約束與先驗巖石物性引入策略結合的反演效果。模型和實測數據反演結果均表明，充分利用巖石物性測量的先驗信息可有效提高反演效果。

關鍵詞： 先驗巖石物性，正則化反演，變換函數，模糊C 均值聚類，交替方向乘子算法

中圖分類號：P631 文獻標識碼：A DOI：10. 13810/j. cnki. issn. 1000‐7210. 2024. 06. 022

0 引言

地球物理勘探以地下巖礦石物性差異為基礎，包括密度、磁性、電性、彈性波速度、熱導率、放射性等。它們受巖石的礦物成分、孔隙與孔隙充填物、結構與構造、年代等綜合因素影響，相同的巖石可能表現出物性的差異，不同的巖石也可能具有相似的物性，給地球物理資料的解譯帶來了困難。利用精確的巖石物性信息進行正則化反演，可提高地球物理反演穩定性，同時在一定程度上改善反演效果。在地球物理正則化反演數據誤差函數中，通過引入觀測數據方差的信息，實現依托數據可靠程度的數據擬合，減少因過度擬合不準確數據而產生假異常的風險。相比數據先驗信息的利用，反演中可利用的模型先驗信息則更加豐富，包括物性分布的空間特征、取值范圍、多種物性間相互約束等。利用物性空間變化特征的模型約束應用廣泛，如支持物性空間平滑變化的最平滑模型約束[1]、支持物性邊界陡變特征的總變分穩定泛函[2]、最小支撐穩定泛函[3]以及最小梯度支撐穩定泛函[4]等約束，以及同時包含物性空間平滑和參考模型的最小結構約束[5]。此外，聯合反演除了考慮單個物性的空間分布，往往通過加入如模型曲率[6]、交叉梯度[7]、Gramian 約束[8]、局部相關性[9]等結構耦合信息，以及物性耦合信息[10]提高反演效果。

以結構特征為主的模型約束廣泛應用于地球物理反演，然而如何將地質單元物性測量先驗信息有效融入反演，仍有待深入研究。為確保反演參數的物理意義，地球物理反演中廣泛采用了反演空間與物性空間的函數變換技術，如非負變換[11]、邊界約束變換[12]等。通過變換函數也可在反演中實現先驗巖石物性的利用，Zhdanov 等[13]提出了一種支持多個先驗物性信息的變換函數，該函數成功應用于重力、重力梯度數據反演[14] 和三維可控源電磁數據反演[15]。由模型與參考模型差異定義的模型約束[16]是最基本的先驗物性引入方法，離散反演由于缺少關于先驗信息的空間分布，因而實際工作中采用復雜的參考模型存在困難，往往采用均勻或層狀模型，且考慮到該項的不準確性，其在目標函數約束中占比一般不大[17]。模糊Ｃ均值（Fuzzy C‐Means，FCM）聚類模型約束[18‐19]反演過程在參考聚類中心引導下，迭代生成的聚類中心向參考聚類中心逼近，同時通過聚類作用使反演物性體現巖石測量物性特征，為巖石先驗物性信息的使用提供了新思路。相較模型與參考模型差定義的模型約束引入方法，該方法無需先驗物性的空間分布信息，可以充分利用物性測量結果，還可根據物性測量的可信度調整引導項的權重； 另外，該約束不僅適用于單個物性參數反演，也適用于多個物性參數聯合反演[19]。此外，巖石物性信息的引入不僅體現在正則化目標函數的設計中，還可以在目標函數優化過程中實現。交替方向乘子法（Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM）提供了一種在目標優化過程中引入巖石物性信息的方法[20‐22]，該方法成功應用于不連續物性邊界模型的重力反演。

由于反問題的不適定性，單純通過反演獲得的地球物理模型往往與實際情況相去甚遠。隨著研究工作的深入，有關地質單元物理性質的資料越來越多、也越來越精確，在反演中引入物性測量先驗信息具有重要的現實意義。本文從目標函數構建和優化兩個環節對利用巖石物性測量先驗信息的正則化反問題進行探討，在分析基于變換函數、模糊C 均值聚類型約束以及交替方向乘子等方法基礎上，提出了一種基于反演單元物性互異原則引入先驗巖石物性的模型約束方法；構建了統一的包含巖石先驗物性信息與傳統模型約束的反演目標函數，并采用高斯—牛頓法優化求解目標函數；重點分析了引入先驗物性的組合應用策略，對比L1、L2 范數最小結構模型約束與先驗巖石物性引入策略相結合的反演效果。

1 巖石先驗物性信息約束的正則化反演

1. 1 反演目標函數構建

在正則化反演目標函數的基礎上，構造包含物性變換、傳統模型約束、巖石先驗物性約束的反演目標函數