非核等距映射與非核強保n 映射的性質

摘 要：在賦范空間中推廣了等距映射和保1 映射的概念，定義了非核等距映射和非核保1 映射等概念；得到了與之相關的基本性質，并且在強保n 性和保距映射之間建立了新的聯系，得到了映射是等距映射的兩個充分條件.

關鍵詞：非核等距映射；非核保1 映射；賦范向量空間；嚴格凸空間

中圖分類號：O177.3

DOI： 10.19504/j.cnki.issn1671-5365.2024.06.15

保持度量不變的映射 （簡稱等距映射） 的研究，已經有很長的歷史了[1–4]. 它是泛函分析最本質的內容之一， 而且它的發展也是其他眾多學科的需要.為了推進等距映射某些方面的研究，比如很重要的等距映射的擴張問題，人們很自然地提出了保1 映射和保n 映射的概念[5–8]. 另外，在廣義譜理論的研究中，用部分等距代替正交投影算子起了重要的作用[9-10]. 本文在這些概念的基礎上，提出了非核等距映射、非核保1 與非核保n 映射等概念， 它們具有更廣的適用范圍; 然后分別得到了非核保1 映射和非核等距映射的一個基本性質， 以及在非核保n 性和等距性之間建立起聯系的兩個結論.

定義1 設E、F 是賦范空間，T 是E 到F 的映射，Ker （T ）是T 的核. 若對任意的x，y ∈ E＼Ker （T ）都有||Tx - Ty || = ||x - y ||，則稱T是非核等距的映射.

定義2 設E、F 是賦范空間，T 是E 到F 的映射. 若對任意的x，y ∈ E＼Ker （T ）， 當x - y = 1時總有||Tx - Ty|| = 1， 則稱T是非核保1的. 若對任意的 x，y ∈ E＼Ker （T ）， ||x - y || = 1 當 且 僅 當||Tx - Ty || = 1， 則稱T是非核強保1的.

定義3 設E、F 是賦范空間，T 是E 到F 的映射. 若對任意的x，y ∈ E＼Ker （T ） 和任意正整數n，||x - y || = n當且僅當||Tx - Ty || = n， 則稱T是非核強保n 的.

本文需要用到以下的記號： -K （x，r ） = { z：|| z -x || ≤ r }， K （x，r ） = { z：||z - x || lt; r }， Cx （n，n + 1] =Cx （n，n + 1] = { z：n lt; ||z - x || ≤ n + 1 }.

引理1[11] 令X 是實的嚴格凸的賦范向量空間.令x，y ∈ X， 則X 中到a 和b 的距離均為1/2||a - b ||的唯一的向量是1/2 （a + b）.

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【編校：許潔】

基金項目：四川省教育廳項目“非線性泛函分析中的隱中點問題”（18ZB0659）