非緊致度量空間上的持久性

摘要：考慮非緊致度量空間上同胚的持久性問題，利用同胚的持久性、等度連續(xù)性、強拓撲穩(wěn)定性、持久跟蹤性等定義，證明：等度連續(xù)且拓撲穩(wěn)定的同胚是持久的；同胚有持久跟蹤性當且僅當該同胚是持久的且有偽軌跟蹤性；有持久跟蹤性的可擴同胚是強拓撲穩(wěn)定的.

關鍵詞：持久性；等度連續(xù)性；強拓撲穩(wěn)定性；持久跟蹤性；非緊致度量空間

中圖分類號：O189.11文獻標志碼：A文章編號：1671-5489（2024）05-1022-05

Persistence on Noncompact Metric Spaces

LIU Jiahui，DONG Meihua

（College of Science，YanbianUniversity，Yanji 133002，Jilin Province，China）

Abstract：We considered the persistence problem of homeomorphism on noncompact metric spaces.By using the definitions of persistence，equicontinuity，strongly topological stability，and persistent shadowing property of homeomorphisms，we prove that homeomorphisms that are equicontinuity and topologically stable are persistent，homeomorphisms have persistent shadowing properties if and only if they are persistent and have pseudoorbital shadowing properties，and an expansive homeomorphism with persistent shadowing property is strongly topologically stable.

Keywords：persistence;equicontinuity;strongly topological stability;persistent shadowing property;noncompact metric space

如果一個動力系統(tǒng)的同胚的每個軌道都可以被該系統(tǒng)中其他同胚經(jīng)過足夠小擾動的一些真軌跟蹤，則該同胚就是持久的.目前，關于持久性的研究已得到了很多結果[12.Lewowicz首次提出了持久性動力系統(tǒng)的概念，并證明了每個具有稠密雙曲周期點（包括偽Anosov映射）的二維或三維可擴同胚都是持久的.持久性包括持久性和a-持久性[8-9]，本文主要討論}-持久性.Sakai等[2]研究表明，緊致度量空間上的移位映射是拓撲穩(wěn)定的，但不是持久的，而緊致流形上的每個拓撲穩(wěn)定同胚是持久的.表明相比于拓撲穩(wěn)定性，它是一種更弱的穩(wěn)定性.但持久性不能推出拓撲穩(wěn)定性，因為偽Anosov映射是持久的但不是拓撲穩(wěn)定的.而在螺線群的群自同構中二者是等價的.Dong等[3]證明了在緊致度量空間上，每個等度連續(xù)且逐點拓撲穩(wěn)定的同胚都是持久的.Khan等給出了上述性質的另一種證明方法，并且驗證了緊致度量空間上關于等度連續(xù)同胚且逐點強拓撲穩(wěn)定的Borel概率測度是強持久的.Kawaguchi]提出了強拓撲穩(wěn)定性的概念.Jung等[5]引入了持久跟蹤性的概念，證明了緊致度量空間上每個同胚具有持久跟蹤性當且僅當它具有偽軌跟蹤性且是持久的，并證明了緊致度量空間的每個強拓撲穩(wěn)定同胚都是持久的.Lee等[6]提出了非緊致度量空間上同胚的可擴性、偽軌跟蹤性和拓撲穩(wěn)定性等概念，并將緊致度量空間中的Walters穩(wěn)定性定理和Smale的譜分解定理延伸到了非緊致度量空間中，受上述研究的啟發(fā)，本文將上述在緊致度量空間中的相關結論擴展到非緊致度量空間中.

1預備知識

設X是緊致度量空間，f是X上的自同胚，d是X上的一個度量，對任意的z∈X，定義任意兩個映射之間的C。距離為這兩個映射在z∈X處函數(shù)值的距離的上確界，即dc（f，g）=supd（f（z），g（z）.如果對任意的εgt;0，存在δgt;0，使得對X上滿足dc（f，g）lt;δ的任意自同胚g，有對任意的x∈X，存在y∈X，使得d（f“（x），g”（y））lt;對任意的n∈Z成立，則稱f是持久的[1-2].如果對任意的egt;0，存在δgt;0，使得對任意的x，y∈X，當d（x，y）≤δ時，有對任意的n∈Z，使得d（f“（x），f”（y））≤e，則稱f是等度連續(xù)的[3].如果對任意的egt;0，存在δgt;0，使得對任意的同胚g：X→X，滿足d（f.g）lt;，并且存在X上的一個連紋滿射h，有f·h=hg且d（h（）.Id（z））lt;e（Id表示恒等映射），則稱f是強拓撲穩(wěn)定的.如果對任意的egt;0，存在δgt;0，使得對任意滿足dc（f.g）lt;的自同胚g的任意-偽軌｛xnhz（其中｛xnz是X中的任意序列，且滿足d（g（xn），xn+1）lt;）能被（g，e）跟蹤，即對任意g的-偽軌｛x｝，存在y∈X，使得d（g\"（y），xn）lt;，則稱f具有持久跟蹤性[5]

注意到上述定義在緊致度量空間中不依賴于度量的選擇，但如果將研究的范圍拓展到非緊致度量空間上將會受度量選取的影響，文獻[6]中的例2.2和例2.3表明，經(jīng)典度量空間中的可擴性、偽軌跟蹤性以及拓撲穩(wěn)定性的定義，如果使用到非緊致度量空間中將與度量的選取有關。為使上述定義不依賴于度量的選取，下面引入非緊致度量空間上相對應的概念.用C+（X）表示從X到（0，∞）上的連續(xù)函數(shù)集合.設X表示非緊致度量空間，f是X上的自同胚，d是非緊致度量空間X上的一個度量，Z表示整數(shù)集，N表示自然數(shù)集，R表示實數(shù)集.

定義1如果對任意的∈C+（X），存在δ∈C+（X），使得對任意的x∈X和滿足d（f（x），g（x））lt;（f（x））的任意自同胚g：X→X.有對任意的n∈Z.存在y∈X，使得d（f\"（x），gn（y））lt;（f\"（x））成立，則稱f是持久的.

定義2如果對任意的e∈C+（X），存在δ∈C+（X），使得對任意的x，y∈X，當d（x，y）≤δ（x）時，對任意的n∈Z，有d（f“（x），f”（y）≤e（f\"（x），則稱f是等度連續(xù)的.

注1非緊致度量空間上同胚f的持久性和等度連續(xù)性都是動力學性質，并且不依賴于度量的選取.

定義3如果對任意的e∈C+（X），存在δ∈C+（X），使得對X上的任意的自同胚g，滿足對任意的x∈X，有d（f（x），g（x））lt;δ（f（x），并且存在X上的一個連續(xù)滿射h，使得對任意的z∈X，有d（h（z），Id（z））lt;e（h（z）且f。h=h。g，則稱f是強拓撲穩(wěn)定的.

定義4如果對任意的∈C+（X），存在∈C+（X）.使得對任意的z∈X.滿足d（f（z）.g（））lt;δ（f（x））的任意同胚g：X→X，其任意的δ偽軌能被（g，e）跟蹤，即對任意g的δ-偽軌{xn}n∈z，當d（g（xn），xn+1）lt;（g（x）時，存在y∈X，使得d（g\"（y），xn）lt;（g\"（y））成立，則稱∫具有持久跟蹤性.

下面介紹非緊致度量空間同胚的可擴性、拓撲穩(wěn)定性和偽軌跟蹤性的概念.對于非緊致度量空間X，其度量為d，f是X上的自同胚，存在一個可擴函數(shù)e∈C+（X）及一個整數(shù)n，使得對任意的x≠y∈X.有d（f\"（x）.（y）gt;e（f\"（x）），即當d（\"（x）.f\"（y））≤e（f\"（x）時，對任意的n∈Z，有x=y，則稱f是可擴的.如果對任意的e∈C+（X），存在∈C（X），使得對X上的任意的自同胚g，滿足對任意的x∈X，有d（f（x），g（x））lt;（f（x）），并且存在X上的一個連紋映射h：X→X，滿足d（h（z），Id（z））lt;e（h（z）），Vz∈X且f。h=h。g，則稱f是拓撲穩(wěn)定的.如果對任意的ε∈C+（X），存在∈C（X），使得對同胚f的任意-偽，存在一個點x∈X，使得該點跟蹤-偽軌，則稱∫具有偽軌跟蹤性[6]，

注2顯然由定義易知，非緊致度量空間上同胚具有強拓撲穩(wěn)定性可推出拓撲穩(wěn)定性；持久跟蹤性可推出偽軌跟蹤性（只需在定義4中取g=f即可）.

下面根據(jù)文獻[6]的例2.3說明上述持久跟蹤性定義的合理性（如果直接沿用緊致度量空間的相關定義到非緊致度量空間上，會發(fā)現(xiàn)定義存在不合理之處）.

例1設T：R→SVO.1）是一個映射對任意的∈R.滿足T（-（1）并且X=T（Z）.假設d是X上的離散度量，d'是X上由S1所誘導的Riemann度量.易知d和d'在X上誘導出相同的拓撲.考慮X上的自同胚f，滿足f（a；）=a+1，其中a=T（i），i∈Z.由于度量d是離散的，易證同胚f關于d具有持久跟蹤性，但同胚f關于d'不具有持久跟蹤性.

下面利用反證法進行證明.即假設同胚f關于d’具有持久跟蹤性，則同胚f關于d'具有偽軌跟蹤性.由同胚f的偽軌跟蹤性知，對=1/2，存在δgt;0，使得d'（ak，a_k）lt;δ/2，其中k∈N.再考慮一個同胚g：X→X，

所以對任意的x∈X，有d'（f（x），g（x））lt;δ，從而存在x∈X，使得d'（f“（x），g”（x）lt;e.由于{g“（y），n∈Z，y∈X}=X，所以可找到一個整數(shù)n∈Z，使得d'（f”（z），g\"（y）≥，矛盾.因此，同胚f關于d具有持久跟蹤性，但關于d'不具有持久跟蹤性.

2主要結果

引理1[6]對任意的連續(xù)函數(shù)a∈C+（X），存在B∈C+（X），使得對任意的x∈X，總有β（x）lt;inf{a（y）|y∈B（x，β（x）}（其中B（x，β（x））表示以為x中心、β（x）為半徑的鄰域）.則對任意的x，y∈X，當d（x，y）lt;max{B（x），B（y）}時，有d（x，y）lt;a（x）.

文獻[3]和文獻[7]證明了緊致度量空間上，每個等度連續(xù)且逐點拓撲穩(wěn)定的同胚都是持久的.文獻[8]討論了持久跟蹤性在有限生成群作用下的有關性質.本文考慮在非緊致度量空間上上述結論是否仍成立.

定理1非緊致度量空間上等度連續(xù)且拓撲穩(wěn)定的同胚是持久的.

證明：設f：X→X是非緊致度量空間上的等度連續(xù)且拓撲穩(wěn)定的同胚，對任意的e∈C4（X）及任意的x∈X，存在y∈C（X），使得y（x）lt;inf｛（）｜2∈B（x，y（x））.根據(jù)f的等度連紋性知，對y/4存在ε'∈C+（X），使得ε'（x）lt;inf（z）|z∈B（x，Y（x）.再由f的拓撲穩(wěn)定性知，對上述'∈C+（X），存在δ∈C+（X），使得對非緊致度量空間X上任意的自同胚g，滿足d（f（x），g（x））lt;δ'（f（x）），則存在一個連續(xù)映射h：X→X，使得d（h（x），Id（x））lt;e'（h（x））且f。h=hg，于是由f的等度連紋性，有d（（h（x），（x）lt;2（（h（x）），所以d（P（），（x）y（f\"（x）.因此，對任意的x∈X，存在y=x∈X，使得對任意的n∈Z，有

故f是持久的.

文獻[2]中的例1表明，緊致度量空間上的移位映射是拓撲穩(wěn)定但不是持久的.所以定理1的逆命題并不成立.

引理2非緊致度量空間上具有持久跟蹤性的同胚都是持久的.

證明：設X是非緊致度量空間，同胚f：X→X具有持久跟蹤性.對任意的ε∈C+（X），由f的持久跟蹤性，設∈C+（X），滿足e（u）lt;inf（）∈B（u（u）｝，則存在∈C+（X）.固定x∈X，任取同胚h：X→X，則對任意的z∈X，滿足d（f（z），g（z）lt;δ（f（z）.由于對任意的n∈Z，

可知{f”（x）}w∈z是過點x的g的一個δ-偽軌.根據(jù)f的持久跟蹤性知，存在y∈X，使得d（g\"（y），f\"（x））lt;'（g\"（y）.所以Vn∈Z，d（f\"（x），g（y）lt;（f\"（x）.因此，f是持久的

下面討論在偽軌跟蹤性的條件下，非緊致度量空間上的持久同胚具有持久跟蹤性。

定理2非緊致度量空間上具有偽軌跟蹤性的持久性同胚具有持久跟蹤性.

證明：設X是非緊致度量空間，同胚f：X→X是具有偽軌跟蹤性的持久性同胚.對任意的∈C+（X）存在∈C+（X）.由f的偽跟蹤性，對/2，存在∈C+（X）.設y∈C+（X），使得對任意的x∈X，有y（x）lt;inf{8（m）|m∈B（x，y（x）}，并令8lt;y/4.根據(jù)f的持久性，對上述δ'∈C（X），取任意的lt;，并設a∈C（X），使得對任意的X.有a（x）ilB（a）且滿足lt;.對非緊致度量空間X上任意的自同胚g.満足d（f（）（）lt;（f（x），并且{xn}n∈z是通過點x的g的一個δ-偽軌.由于

即{xn}n∈z是f的一個δ'-偽軌，所以存在x'∈X，使得

由∫的持久性可知，存在y∈X，使得Vn∈Z，d（f“（x），g”（y）≤（f（x），所以

從而

因此，{xn}n∈z能被（g，E）跟蹤.故f具有持久跟蹤性.

推論1非緊致度量空間上的同胚有持久跟蹤性當且僅當該同胚有偽軌跟蹤性并且是持久的.證明：根據(jù)引理2和注2可證必要性；根據(jù)定理2可證充分性.

引理3非緊致度量空間上的強拓撲穩(wěn)定同胚是持久的.

證明：設X是非緊致度量空間，d為X上的度量，對任意的ε∈C+（X），令e'∈C+（X），使得對任意的x，y∈X，有d（x，y）lt;e'（x），則d（x，y）lt;e（y）.對'，存在\"∈C+（X），使得d（x，y）lt;e\"（x），則d（xy）lt;'（y）.由f的強拓撲穩(wěn)定性知，對\"，存在∈C（X）使得在非緊致度量空間X上滿足對任意的∈X，有d（f（x），g（））lt;（f（）的任意的自同胚g，并且存在一個連紋滿射h：X→X，滿足d（h（z），Id（z）lt;e\"（h（z）且f。h=h。g.對于x∈X，選擇y∈h-1（x），則對任意的n∈Z，有d（f（）.g（y）=d（f\"（h（y）.g（y）=d（h（g（y）.g（y）lt;\"（h（g\"（y）），（7）因此d（f（x）.g\"（y）lt;'（g\"（y）.所以d（P（x），g\"（y）lt;e（f（x），即f是持久的

顯然，引理3的等價命題為若非緊致度量空間X上同胚f不是持久的，則f不是強拓撲穩(wěn)定的，即僅有持久性的同胚不能推出強拓撲穩(wěn)定的.此外，一方面，Walters]的拓撲穩(wěn)定性定理表明，緊致度量空間中每個有偽軌跟蹤性的可擴同胚都是拓撲穩(wěn)定的，文獻[6]也證明了該定理在非緊致度量空間上仍然成立，另一方面，并不是緊致度量空間上的每個有偽軌跟蹤性的可擴同胚都是強拓撲穩(wěn)定的。

定理3非緊致度量空間上有持久跟蹤性的可擴同胚是強拓撲穩(wěn)定的.

證明：設X是非緊致度量空間，其度量為d，f：X→X是有持久跟蹤性的可擴同胚，則f是有偽軌跟蹤性的可擴同胚，所以是拓撲穩(wěn)定的.由f的可擴性，設e∈C+（X）是f的可擴函數(shù)，令y∈C+（X），使得Vx∈X，y（x）lt;inf{e（t）|t∈B（x，y（x））}.由f的持久跟蹤性，對任意的e1lt;7/4，存在1∈C（X）.對1，根據(jù)f的拓撲穩(wěn)定性，存在2∈C（X）.任取同胚g：X→X，滿足∈Xd（f（），g（z））lt;2（f（z）），則d（f（），g（z））lt;1（f（z））.并且存在一個連映射h：X→X，使得d（h（z），Id（z））lt;2（h（z）且f·h=h。g.因此只要證明h是滿射的即可.

固定x∈X，根據(jù)2的定義，可得d（f（）.g（z））lt;1（f（z），z∈X，所以可證明雙無限序列{f”（x）}n∈z是g的一個δ1-偽軌.再根據(jù)f的持久跟蹤性知，存在y∈X，使得對任意的n∈Z，有d（f\"（x），g\"（y）lt;e1（f\"（x），則d（f\"（x），g\"（y）lt;（g\"（y）.但由于f。h=h。g，所以對任意的n∈z，有d（f\"（h（y），g（y））=d（h（g\"（y），g（y））lt;2（h（g\"（y）），進而有

因此，

因為e是同胚f的可擴函數(shù)，所以h（y）=x，即h是滿射.

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（責任編輯：趙立芹）