Sprott-D不確定分數階混沌系統的自適應滑模同步

摘要：基于非線性混沌系統滑模方法，根據分數階穩定性理論和同步控制方法研究Sprott-D不確定分數階系統的滑模控制與同步，并用MATLAB仿真程序對結果進行驗證.結果表明，在一定的假設下，Sprott-D不確定分數階混沌系統對應的主從系統可取得自適應滑模同步.關鍵詞：分數階；Sprott-D系統；滑模；同步

中圖分類號：O482.4文獻標志碼：A文章編號：1671-5489（2024）05-1235-06

Adaptive Sliding Mode Synchronization of Sprott-D Uncertain Fractional-Order Chaotic Systems

MAO Beixing'，LI Dekui2，WANG Dongxiao，WANG Jianjun

（1.School of Mathematics，Zhengzhou University of Aeronautics，Zhengzhou 450046，China;2.School of Public Health，Gansu University of Chinese Medicine，Lanzhou 730000，China）

Abstract：Based on the sliding mode method of nonlinear chaotic systems，the sliding mode control and synchronization of Sprott-D uncertain fractional-order systems were studied according to the fractional-order stability theory and synchronous control method，and the results were verified by using MATLAB simulation program.The results show that the Sprott-D uncertain fractional-order chaotic systems corresponding to the master-slave systems can achieve adaptive sliding mode synchronization under certain assumptions.

Keywords：fractional-order;Sprott-Dsystem;slidingmode;synchronization

目前，混沌同步已引起人們廣泛關注[.由于滑模控制具有良好的魯棒性能，因此其響應速度較快、動態性能較好[3～]，隨著分數階微分建模方法的發展，分數階系統的滑模控制研究已取得了較多成果[5-16]：如文獻[10]研究了不確定分數階混沌系統的自適應滑模同步，設計了自適應律和控制輸入，使主從系統取得滑模同步；文獻[11]研究了不確定分數階混沌系統的異結構滑模同步，設計了分數階滑模函數和控制器，獲得驅動響應系統異結構滑模同步的充分條件；文獻[12]通過滑動模態控制方法研究了分數階混沌Duffling系統的終端滑模同步；文獻[13-14]分別基于自適應規則的設計研究了分數階混沌及多混沌系統的自適應滑模同步；文獻[15-16]分別研究了分數階不確定時滯金融混沌系統的滑模同步及分數階Bao超混沌系統的比例積分滑模同步.由于Sprott混沌系統代表一大類非線性控制系統且應用廣泛，因此已引起人們廣泛關注：文獻[17]研究了Sprott-I混沌系統的動力學分析；文獻[18]研究了Sprott混沌系統的分析和控制；文獻[19]研究了Sprott-O系統的延遲反饋控制；文獻[20]研究了Sprott-D混沌系統的非線性H控制；文獻[21]研究了非線性Sprott分數階混沌系統的滑模同步.此外，系統的不確定性以及存在外部擾動，使系統的穩定性受損，且利用自適應滑模研究方法處理分數階Sprott-D不確定混沌系統的自適應滑模同步問題目前文獻報道較少.基于此，本文根據分數階穩定性理論研究Sprott-D不確定分數階系統的滑模控制與同步，得到主從系統取得滑模同步的充分條件，并用MATLAB數值仿真對結論進行驗證.

1主要結果

定義1[22]Caputo分數階導數定義為

分數階Sprott-D混沌系統[21]為

當a=1.1，b=3，q=0.995，系統初始值（x1（0），x2（0），x3（0））=（-2，0.2，0.5），（y1（0），y2（0），y3（0）=（1，1，1）時，系統出現吸引子，如圖1所示.

以式（1）為主系統，設計從系統為

其中△f（（t）為不確定項，（t）=（y1，y2，y3）T，d（t）為系統外部擾動，u（t）為控制輸入，定義e1=y1-x1（i=1，2，3），得

假設1“△f（φ（t）”≤g，“d（t）”≤h，其中未知參數g，hgt;0.

假設2y1lt;0.

引理1若x（）為連紋可微函數，則有x（）xD）Va0

引理2設V（）=（（）+2（）.若存在常數kgt;0.使得DV（D≤-k（D）.則2（）≤2V（）（-2k）.即lim1（t）=0

定理1在假設1，2條件下，構造滑模面s（t）=e2-e1，控制量為

自適應律為

其中g，h分別為g，h的估計值，6gt;0，則主從系統（1）和（2）自適應滑模同步.

證明：當在滑模面上運動時，滿足s=0，可得e1=e2，由式（3）第1個方程De1=-e2，得De2=-e2→e2→0.由De1=-e1→e1→0，根據式（3）第3個方程，得

由于by3bx3=b（y2+x2）e2，且混沌系統執跡有界，因此（by3-bx3）→0.式（6）可改寫為

因e1→0，故式（7）變為De3=y1e3，由假設2，可得e3→0.

當不在滑模面上運動時構造V=+（g-+）根據引理1求分數階導數可得

根據引理2可知，｜s（t）12≤2V（0）E（-2k），從而s（t）→0.

整數階Sprott-D混沌系統[20]為

以式（8）為主系統，設計從系統為

其中△f（φ（t）為不確定項，φ（t）=（y1，y2，y3）T，d（t）為系統外部擾動，u（t）為控制輸入，定義e1=y1-x1（i=1，2，3），得

引理3若函數（）0）上一致連紋并且存在廣義分「。則有

定理2在假設1，2條件下，構造滑模面s（t）=e2-e1，控制量為式（4）.自適應律為

其中g，h分別為g，h的估計值，δgt;0，則主從系統（8）和（9）自適應滑模同步.

證明：當在滑模面上運動時，滿足s=0，可得e1=e2，由式（10）第1個方程e1=-e2，得

根據式（10）第3個方程，得

由于by3-bx2=b（y2+x2）e2，且混沌系統跡有界，因此（y3-bx2）→0.式（12）可改寫為

因e1→0，故式（13）變為e3=y1e3，由假設2，可得e3→0.

當不在滑模面上運動時，設計V=+g-g+）求分數階導數可得

2MATLAB仿真

利用MATLAB仿真程序對上述兩個定理中的系統誤差進行數值仿真，選取系統參數a=1.1，b=3，q=0.995，8=2，（m（0），n（0）=（2，1.5）.分數階Sprott-D混沌系統對應的主從系統的狀態初始值為

不確定項和外部擾動為△f（φ（t）+d（t）=-0.1（cost）y2+0.1cost.

由定理1和定理2構造s（t）=e2-e1，控制量為式（4），定理1的自應律為式（5），定理2的自話應律為式（11）.定理1和定理2中的系統誤差分別如圖2和圖3所示.

由圖2和圖3可見，誤差隨時間推移逐漸趨于一致并收斂到原點.定理1比定理2達到同步所需的時間更短，定理1中系統誤差約在0.224s后快速趨于坐標原點，定理2中系統誤差約在0.276s后逐漸趨于坐標原點.這是由于兩個定理中雖然所設計的控制器和滑模函數相同，但定理1中采用了分數階自適應控制律，從而優于整數階自適應律.與傳統滑模面相比，本文設計的滑模函數和控制器形式更簡潔，因而控制代價小且更易實現.

針對分數階非線性混沌系統一般均采用滑模魯棒控制方法，本文借助分數階微分性質和分數階控制理論研究了Sprott-D分數階不確定混沌系統的滑模同步，通過構造合適的滑模函數、控制輸入和自適應律得到了分數階Sprott-D混沌系統對應的驅動響應系統滑模同步的充分條件.

參考文獻

[1]CHEN C.LI L，PENG H，etal.Finite-Time Synchronization of Memristor-Based Neural Networks with Mixed Delays[J].Neurocomputing，2017;235;83-89.

[2]ABDURAHMANA，JIANGн.TENGZ.Finite-Time Synchronization for Memristor-Based Neural Networkwith Time-Varying Delays].Neural Networks，2015，69（8）：20-28.

[3]WANG W P，PENG H P.LI L X，etal.Finite-Time Function Projective Synchronization in Complex Multi-linksNetworks with Time-Varying Delay[J].Neural Processing Letters，2015，41（1）：71-88.Based on Delayed Feedback Control.Neurocomputing，2014，143：90-96.Recurrent Neural Networks[J].Neural Networks，2015，63：133-140.

[4]HU C，YUJ，JIANG H J.Finite-Time Synchronization of Delayed Neural Networks with Cohen-Grossberg Type

[5]JIANGMн.WANG S T，MEI J，etal.Finite-Time Synchronization Control of a Class of Memristor-Based

[6]SONGS，ZHANGвY，SONG X N，etal.Fractional-Order Adaptive Neuro-Fuzzy Sliding Mode H Control forFuzzy Singularly Perturbed Systems[J].Journal of the Franklin Institute，2019，356（10）：5027-5048.

[7]SONG S，ZHANG BY，SONG X N，etal.Neuro-Fuzzy-Based Adaptive Dynamic Surface Control for Fractional-Order Nonlinear Strict-Feedback Systems with Input Constraint[J].IEEE Transactions on Systems，Man，and Cyberneties：Systems，2021，51（6）：3575-3586.

[8]侯瑞茵，李儼，侯明善，比例積分追蹤制導方法研究[J].西北工業大學學報，2014，32（2）：303-308.（HOU R Y，LI Y，HOU M S.A Proportional Plus Integral Pursuit Guidance Law[J].Journal of Northwestern Polytechnical University，2014，32（2）：303-308.）

[9]毛北行，王東曉.不確定分數階高維混沌系統的自適應滑模同步[J].電子學報，2021，49（4）：775-780.（MAO BX，WANG D X.Self-adaptive Sliding Mode Synchronization of Uncertain Fractional-Order High-Dimension Chaotic Systems[J].Acta Electronica Sinica，2021，49（4）：775-780.）

[10]毛北行，王東曉，程春蕊.一類不確定分數階Victor-Carmen系統自適應滑模同步].數學雜志，2019，39（1）：128-136.（MAOвX，WANG D X，CHENG C R.Self-adaptive Sliding Mode Synchronization of a Class ofUncertain Fractional-Order Victor-Carmen Systems[J].Journal of Mathematics，2019，39（1）：128-136.）

[11]毛北行，李巧利，分數階參數不確定系統的異結構混沌同步[1]，中國海洋大學學報（自然科學版），2017，47（7）：149-152.（MAO B X，LI Q L.Chaos Synchronization between Different Fractional Order System withUncertain Parameters[J].Periodical of Ocean University of China，2017，47（7）：149-152.）

[12]毛北行，周長芹，分數階不確定Duffling混沌系統的終端滑模同步[J]，東北師大學報（自然科學版），2018，50（2）：47-50.（MAOвX，ZнOU C Q.Terminal Sliding Mode Synchronization of Fractional-Order UncertainDuffling Chaotic Systems J].Journal of Northeast Normal University（Natural Sciences），2018，50（2）：47-50.）

[13]毛北行，王東曉，具有外擾和不確定項的分數階非線性混沌系統的自適應滑模同步[J]，吉林大學學報（理學），2020，58（5）：1237-1242.（МАОвX，WANG D X.Self-adaptive Sliding Mode Synchronization of University（Science Edition），2020，58（5）：1237-1242.）Two Methods Contrast of Sliding Mode Synchronization of Fractional-Order Multi-chaotic Systems[J].ActaFractional-Order Nonlinear Chaotic System with Outer Disturbance and Uncertainty[J].Journal of Jilin

[14]毛北行，分數階多混沌系統滑模同步兩種方法的比較[1]，電子學報，2020，48（11）：2215-2219.（MA0 B X.Electronica Sinica，2020，48（11）：2215-2219.）

[15]朱濤，張廣軍，姚宏，等，滑模控制的時滯分數階金融系統混沌同步[J]，深圳大學學報（理工版），2014，31（6）626-629.（ZHUт，ZHANG G J，YAO H，etal.Chaos Synchronization of Fractional Order Financial Systems with Time-Delay Based on Sliding Control[J].Journal of Shenzhen University（Science and Engineering），2014，31（6）：626-629.）

[16]王東曉.分數階超混沌Bao系統的比例積分滑模同步[J].內蒙古農業大學學報（自然科學版），2018，39（3）：83-89.（WANG D X.Proportional Integral Sliding Mode Synchronization for Fractional-Order Hyperchaotic BaoSystem[J].Journal of Inner Mongolia Agricultural University（Natural Science Edition），2018，39（3）：83-89.）

[17]朱雷，劉艷云，周小勇，等.推廣Sprott-I系統的動力學分析與離散化實現[J].科學技術與工程，2013，13（5）：1123-1134.（ZHU L，LIU Y Y，ZHOU X Y，etal.Dynamic Analysis and Discretization Implementiation of Extension Sprott-I System[J].Science Technology and Enginerring，2013，13（5）：1123-1134.）

[18]付景超，孫敬，李鵬松.一類簡單二次非線性Sprott混沌系統的分析與控制[J].，2015，53（3）：395-400.（FUJ C，SUNJ，LI P S.Analysis and Control of a Class of Simple Quadractic Nonlinear Sprott Chaotic Systems[J].Journal of Jilin University（Science Edition），2015，53（3）：395-400.）

[19]閆麗宏.含參Sprott-O混沌系統的直接延遲反饋控制[J].河南師范大學學報（自然科學版），2012，40（6）：59-62.（YAN L H.Delayed Feedback Control the Chaos of the Sprott-O System with Parameters[J].Journal of Henan Normal University（Natural Science Edition），2012，40（6）：59-62.）

[20]張中華，付景超.Sprott-D混沌系統的非線性H控制[J].河南科技大學學報（自然科學版），2017，38（1）：84-87.（ZHANG Z H，FU J C.Nonlinear Hoo Control of Sprott-D Chaotic System[J].Journal of Henan University of Science and Technology（Natural Science），2017，38（1）：84-87.）

[21]毛北行，程春蕊.分數階二次非線性Sprott混沌系統的滑模同步控制[J].數學雜志，2018，38（3）：490-496.（MAO B X，CHENG C R.Sliding Mode Synchronization of Fractional-Order Quadratic Nonlinearity Sprott Chaotic Systems[J].Journal of Mathematics，2018，38（3）：490-496.）

[22]PODLUBNY I.Fractional Differential Equations[M].New York：Academic Press，1999：1-96.

[23]吳強，黃建華.分數階微積分[M].北京：清華大學出版社，2016：12-15.（WUQ，HUANGJH.Fractional Calculus[M].Beijing：Tsinghua University Press，2016：12-15.）

[24]劉恒，李生剛，孫業國，等.帶有未知非對稱控制增益的不確定分數階混沌系統自適應模糊同步控制[J].物理學報，2015，64（7）：070503-1-070503-9.（LIU H，LISG，SUN Y G，etal.Adaptive Fuzzy Synchronization for Uncertain Fractional-Order Chaotic Systems with Unknown Non-symmetrical Control Gain[J].Acta Physica Sinica，2015，64（7）：070503-1-070503-9.）

[25]梅生偉，申鐵龍，劉志康.現代魯棒控制理論與應用[M].北京：清華大學出版社，2003：25-35.（MEISW，SHEN T L，LIU Z K.Modern Robust Control Theory and Application[M].Beijing：Tsinghua University Press，2003：25-35.）

（責任編輯：王健）