帶時滯的發展方程時間依賴拉回吸引子的存在性

摘要：考慮一類帶時滯的非自治二階發展方程.首先，利用Faedo-Galerkin逼近法得到其在C上解的存在性和唯一性；其次，借助算子分解驗證過程{U（t，t）}：在Cx上的2c-拉回漸近緊性，從而證明帶時滯的發展方程時間依賴拉回吸引子的存在性。

關鍵詞：發展方程；算子分解；時間依賴拉回吸引子；存在性

中圖分類號：O175.29文獻標志碼：A文章編號：1671-5489（2024）05-1027-10

Existence of Time-Dependent Pullback Attractorfor Evolution Equations with Delay

GAO Juanping，LIU Tingting

（College of Mathematics and Statistics，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，China）

Abstract：We considered a class of non-autonomous second-order evolution equations with delay.Firstly，we obtained the existence and uniqueness of solution by using Faedo-Galerkin approximation method in C，.Secondly，by means of operator decomposition，the 9c，-pullback asymptotic compactness of the process{U（t，t））on Cx was verified，which proved the existence of time-dependent pullback attractor for evolution equations with delay.

Keywords：evolutionequation;operatordecomposition;time-dependent pullback attractor;existence

0引言

考慮帶時滯的非自治二階發展方程

其中：ΩCRN（N≥3）是具有光滑邊界的有界區域；τ是初始時間，e=e（t）是關于t的函數；φ為區間[r-h，r]上的初始值；hgt;0表示時滯效應的長度；f是非線性項；g是時滯項；k∈L（R；L2（））是外力項；函數u和在[-h，0]上分別定義為u2（）=u（t+），E=（t+），∈[-h，0].

假設以下條件成立：

（H1）函數e∈C（R）單調遞減，并滿足

特別地，存在Lgt;0，使得

（H2）函數f∈C2（R，R），f（0）=0，并且滿足以下條件：

其中l是正常數，當N≥3時，有

這里0常數

（H3）外力項k∈L（R；L2（2），并且有

（H4）定義時滯項g：R×C2→L2（2）滿足下列條件：

1）對所有的∈C2），函數∈R→g（t，）∈L2（2）是可測的；

2）對所有的t∈R，g（t，0）=0；

3）存在Cgt;0，使得對任意的t∈R，，∈C2（），有

4）存在mogt;0，Lgt;0，使得對任意的u，∈C（[-h，1]：L2（）和m∈[0，m]，成立

當方程（1）中的系數e（t）=e且時滯項g（t，u2）=0時，文獻[1-3]研究了半線性發展方程un-△u-△u，-ε△u+f（u）=h（x）解的漸近行為.當方程（1）的系數ε=0時，方程（1）即為通常的強阻尼波方程，其解的漸近行為在吸引子方面已得到廣泛研究[5].在文獻[1]的基礎上，Zhang等[6]考慮了記憶項的發展方程：

并研究了其魯棒指數吸引子的存在性.

當ε（t）為一正遞減有界函數，且在無窮遠處趨于0時問題就變得更復雜.這是因為即使外力項與時間無關，此時的問題仍需在非自治的情形下研究，由于系統的能量泛函依賴于時間t，并且在t→∞，e（t）→0時系統的耗散性也發生了變化，一些古典理論（拉回吸引子，時間依賴吸引子）和方法解決這類問題受到限制，因此研究者們提出了時間依賴吸引子的概念，并得到廣泛關注，時滯項是一類表示某種延遲、記憶或者遺傳特征的算子，研究許多問題時不僅需考慮系統當前的狀態，還要考慮其過去的行為.關于時滯方程解的漸近性研究目前已有很多結果[：文獻[9]研究了帶時滯的非自治反應擴散方程

的時間依賴拉回吸引子的存在性和正則性；文獻[14]考慮了帶時滯的半線性阻尼波方程拉回吸引子的存在性；文獻[15]討論了帶有遺傳特征的非自治半線性二階發展方程

拉回吸引子的存在性.

受上述研究工作的啟發，本文考慮帶時間依賴衰退系數e（t）以及時滯項g（t，u）的時間依賴拉回吸引子的存在性，關于發展方程的時間依賴吸引子文獻[8]已經考慮了g=0時其存在性.對于方程（1），本文通過借助文獻[12]的方法，即先對方程（1）進行分解，將解過程分解為兩部分，使得一部分滿足緊性，另一部分衰退，從而驗證了過程的拉回漸近緊性，證明了帶時滯的發展方程時間依賴拉回吸引子的存在性.

1預備知識

不失一般性，記H=L2（2），其對應的內積與范數分別記為lt;·）和‖·‖.對于0≤slt;2，定義由A生成的Hilbert空間族H=D（A2），并賦予如下內積與范數：

對t∈R及0≤5lt;2，引入時間依賴空間=H1×H}，且對應的范數定義為

其中‖u‖表示H空間中賦予范數‖·‖2+‖·‖.

此外，定義Ct2（m）為C∈（[-h，0]；X）上賦予上確界范數‖·‖c∈（[-n，0]x）的Banach空間，即

類似地，定義

對Vt∈R，考慮時間依賴空間C，并賦予以下范數：

其中=e（t+），∈[-h，0].

定義1[9]若一族雙參數映射{U（t，s）|t≥s}滿足下列性質，則稱其是Banach空間X上的一個過程：

1）U（t，t）x=x，Vt∈R，x∈X1;

2）U（t，s）U（s，t）=U（t，），Vt≥s≥t.

若（t，s，x）→U（t，s）x（t≥s，x∈X1）是連續的，則稱{U（t，r）}是一連續過程.

設9表示一族非空參數集族D={D（t）；t∈R}CP（X），其中（X）表示X上所有的非空子集族.

定義2如果對每個D=｛D（t｝eR∈9，都有｛D（）：D（t）是D（t）的非空子集，t∈R｝∈9則X非空子集的一些集族構成的集合9稱為包含閉.

定義3若對任意的t∈R及任意的B={B（t）}∈R∈1，存在to=t0（B，t）∈R+，使得

則稱集族2=｛Q（t）｝R∈91關于過程｛U（t，て）｝是の-拉回吸收的.

定義4設｛U（t，て）｝是X，上的過程，對任意的t∈R，=｛B（t）｝R，當sn（→+∞）→-∞，xn∈B（t-sn）時，序列yn∈U（t，t-sn）xn在X2中有一收斂的子列，則稱{U（t，t）}1≥：在X1中是9-拉回漸近緊的.

定義5如果一個非空子集={A（t）}1∈R∈1滿足下列條件，則其稱為過程{U（t，t）}在X，中的9-拉回吸引子：

1）A={A（t）}∈R∈21是不變的，即

2）1，=｛A（t）｝eR∈9，拉回9-吸引X，中所有的有界集，即對任意的t∈R，D∈9，有

定理1[13]設{U（t，r）}：是Banach空間X上的過程，2={Q（t）}∈R是-拉回吸收集，對任意固定的t∈R，若{U（t，r）}：能分解成如下形式：

且U1滿足

并且對任意固定的sgt;0，存在X2中的Cauchy序列{ym}∈U2（t，t-s）Q（t-s）.則過程{U（t，t）}≥在X2中是9-拉回漸近緊的.

定理2[13]設{U（t，r）}是Banach空間X1上的過程，對固定的t≥r，r∈R，{U（t，r）}≥：是閉的，且{U（t，r）}在X1中是上半連續的，如果在X2中{U（t，t）}存在閉的9-拉回吸收集2={Q（t）}∈R，且是9-拉回漸近緊的，則存在唯一的9-拉回吸引子={A（t）}，其中

2解的存在性和唯一性

定理3假設條件（H1）～（H4）成立，初值ゅ∈C則方程（1）存在弱解（t）=（u（），），且

證明：1）存在性.下面用標準的Fadeo-Galerkin逼近方法證明方程（1）解的存在性.根據經典的譜算子理論，假設存在L2中的正交基x構成了A=-△的特征向量，對應的特征值為λ（i=1，2，·），滿足

對每個m，根據經典的常微分方程理論，假設存在近似解um，其形式為

且滿足

其中Pm：L2→.m為正交投影且.m=span{x1，x2，·，xm}.

下面推導Galerkin近似解的先驗估計.用vm=um+aum與方程（11）在L2中做內積，有

由Cauchy和Young不等式以及式（6），（7），有

把式（13）～（15）代入式（12），并由Poincare不等式1lmI≤IIm2，可得

再由式（2），（3）及ε'（t）lt;0，取μlt;a2，有

其中alt;min}.從而可得

記

則式（18）可以重寫為

用e“乘以式（19），可得

在τ到t對式（20）積分，有

由式（10），有

將式（22）代入式（21），并應用積分形式的Gronwall引理，可得

其中-.-.=2.、（3）兩邊同時以で有

記a-C1=B，則

結合式（24）和式（25），可得{um，um}在L～（r-h，T；（2）上有界.因此，存在一個子列（仍記作um，3um），結合式（25），當m→∞時可得：um→u弱*收斂于L（t-h，T;H（Ω））；，um→3，u弱*收斂于L（r-h，T;H1（Ω））；對幾乎每個（t，x）∈[r-h，T]×Ω，um→u;f（um）→f（u）弱收斂于L2（r-h，T；L2-2（）.對式（11）兩邊取極限可得方程（1）的解u，它滿足u（t）∈L（r-h，T;H1（A）），u∈L（r-h，T;H1（A）），且

2）唯一性.設l，2是方程（1）對應初值中ゅ∈Cx的解，常數Co=Co（C，1，C）gt;0.令（t）=ul（t）-u2（t），則（t）滿足

用の=+（0lt;lt;1）與方程（26）在L2中做內，計算得

由條件（5）、Young和Holder不等式以及H←L2N/（N-2），可得

再利用條件（9）、Young和Holder不等式，得

2（g（t，）-g（t，u2），）≤2Ig（t.）-g（t，2）·l≤

將式（28）（29人式（2）Pme等再取mn）可得

在τ到t上對式（30）積分，有

用t+0代替t，并由Poincare不等式，得

其中Cma++

記

則有

應用Gronwall引理，可得

證畢.

根據定理3，可定義過程{U（t，t）}1≥為

且U（t，r）p={u1（·；r；p）|u（·）是方程（1）的解，∈Cx}，同時過程{U（t，r）}：在C，中是連續的.

3時間依賴拉回吸引子的存在性

記9為所有非空子集D=｛D（t）；t∈R｝CC）組成的集類，且

其中3gt;0.

引理1假設條件（H1）～（H4）成立，初值∈Cy，則方程（1）的解z=（u（t），?，u）滿足下列估計式：

其中G.c=3.G=2.=

證明：用='+a與方程（1）在L2中做內，得

類似于定理3的證明，有

用t+0代替t（0∈[-h，0]），可得

定理4（拉回-吸收集）假設條件（H1）～（H4）成立，D1={D1（t）；t∈R}且D1（t）=Bx（0，p（t）表示以零為中心、半徑為p（t）的閉球，其中

則對應方程（1）的過程{U（t，r）}：是拉回2g-吸收的，而且D1∈.

證明：根據引理1的結果可知，D1是方程（1）的拉回-吸收集，由式（34）和式（39），當t→-∞時，有ep2（t）→0，則D1∈3.證畢.

定理5假設條件（H1）～（H4）成立，則過程{U（t，t）}：在Cx2中是c-拉回漸近緊的.

證明：對任意的T≥t-s且s≥0，有

{U（T，t-s）}φ={ur（·;t-s;φ）|u（·）是方程（1）的解，且φ∈Q（t-s）}，其中C={Q（t）}∈R是C中的C-拉回吸收集.

令u=v+w，將方程（1）做如下分解：

對于方程（41），根據式（38），當f=g=k=0時，有

下面估計滿足式（40）的解，設u1和u2是方程（1）的解，對應的初值為1和2，令y（T）=v1-v2，其中v1和v2是方程（40）的解，則y（T）滿足下列方程：

用y（T）與方程（43）在L2中做內積，可得

將式（44）在[t-s，t+0]上積分（其中0∈[-h，0]），有

由式（4），有

將式（46）代入式（45）可得

設unrEU（T，t-s）且，EQ（t-s），根據式（38）可設：un-u弱*收斂于L\"（t-s-h，t;H'（Ω））;a，u，→u弱*收斂于L\"（t-s-h，t;H（Ω））.因此u，→u弱收斂于L2（t-s-h，t;H'（Ω））.

由于g：RXC0-L2（Ω），對每個a.e～（T，x）E[t-s-h，t]×2，有g（T，u，r）-g（T，uT）（n→0），根據Lebesgue控制收斂定理，有

所以

結合式（47）和式（48）得

再結合式（44）～（49）和定理1知，過程（U（1，t）1gt;，是9c-拉回漸近緊的.證畢.

定理6（9-拉回吸引子的存在性）假設引理1的條件成立，則過程（U（t，t））gt;在C，中有唯一的時間依賴拉回吸引子（se，（t）heRE9c，

證明：根據定理4和定理5可知，方程（1）的過程族（U（t，t）lgt;在Cx中存在一個9c-拉回吸收集和2c-拉回漸近緊的，為得到2-拉回吸引子的存在性，只需證明（se，（t）1，eRe9c的正不變性，其中

且2c，=（Q（t）leR是過程{U（t，t）l，gt;e在Cx上的9c-拉回吸收集.

設yEsc，（t），存在序列s，ER+（s，→+0），x，EQ（t-s，）和y，EU（t，t-s.）x，，使得當n→0時，在C，（t）上y，→y.另一方面，對充分大的n，有

由過程{U（t，t）lgt;：是9-拉回漸近緊的知，存在一個子序列

仍記作a，，使得y，EU（t，t）a，，且在C，（t）上，有

則顯然有，由定理3解的存在性可知，在L2（一h，0；x（Ω））中，有

其中u是方程（1）的解，結合式（50），（51），可得yEU（t，t）xCU（t，t）se，（t），證畢.

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（責任編輯：趙立芹）