一類退化橢圓方程的耗散系數識別問題

摘要：首先，考慮一類退化橢圓方程的耗散系數識別問題，通過把未知的耗散系數視為控制函數，把方程的解視為狀態變量，定義目標泛函為狀態與測量值的誤差與人工正則項的和，將系數識別問題轉化為最優控制問題。其次，利用最優控制問題的研究方法研究系數識別問題，給出最優控制的表達式，并證明在適當條件下最優控制的唯一性。

關鍵詞：退化橢圓方程；系數識別；最優控制

中圖分類號：O175.25文獻標志碼：A文章編號：1671-5489（2024）05-1037-06

Identification Problem of Dissipation Coefficients fora Class of Degenerate Elliptic Equations

ZHANG Ji'ao，DURunmei

（School of Mathematics and Statistics，Changchun University of Technology，Changchun 130012，China）

Abstract：Firstly，we considered the identification problem of the dissipation coefficients for a class of degenerate elliptic equations.By treating the unknown dissipation coefficients as control functions，treating the solutions of the equation as state variables，and defining the objective functional as the sum of the error between the state and the measurement values and the artificial regularization term，we transformed the coefficient identification problem into an optimal control problem.Secondly，the coefficient identification problem was studied by using the research method of the optimal control problem.We gave the expression of the optimal control and proved the uniqueness of optimal control under appropriate conditions.

Keywords：degenerate elliptic equation;coefficientidentification;optimal control

0引言

橢圓方程的系數識別問題在物理學、生物學、金融學、工程實踐等領域應用廣泛，如減震材料的性能參數識別和多孔介質的滲透率識別[2]等.目前，關于一致橢圓方程系數識別問題的研究已有很多結果[35].退化橢圓型方程可視為描述一個隨時間演化的物理過程的退化拋物型方程的穩態方程，邊界退化的橢圓方程可視為在金融學中的Black-Scholes方程[6]和氣象學中的Budyko-Sellers方程的穩態方程.文獻[8-9]研究了退化橢圓方程的適定性，文獻[10-11]研究了退化橢圓方程的最優控制問題，但關于退化橢圓方程的系數識別問題的研究目前文獻報道較少.

考慮一類退化橢圓方程：

其中Ω是R\"中的一個有界區域，aΩ∈C2，f∈L（Ω）是熱源，常數λgt;0，c∈L°（Ω）是未知的耗散系數，熱傳導系數a∈C（D）nC（2）且a（x）gt;0.x∈2.注意到a（x）可能在區域的部分邊界為0.因此方程（1）是退化橢圓方程.對于退化橢圓方程，它的邊界條件與一致橢圓方程有很大不同.根據退化程度，可以把邊界分為非退化部分、弱退化部分和強退化部分。由于它的弱解在強退化邊界部分無跡，因此只需定義在非退化部分和弱退化部分的邊界條件.定義

其中B，（x）是以x為中心且半徑為r的鄰域.考慮方程（1）在邊界條件

下的問題.

假設經測量已知邊值問題（1）-（2）的解在2中的真實分布為y。（x），本文目標是根據已知信息識別未知函數c.將c視為控制函數，設允許控制集合為

其中是一個正常數.則該問題可轉化為最優控制問題

其中y是問題（1）-（2）的解，kgt;0是比例因子.式（3）中第一項反應了問題（1）-（2）的解y與測量數據ya的接近程度，第二項是為避免過擬合而人工添加的正則項.實際應用中，可選取k充分小，使得式（3）第一項在目標泛函J（c）中的比重較大.

本文考慮更一般的退化橢圓方程

其中：b，d是L°（2；R\"）中的可測函數；a∈C（）∩C1（Ω）（i，j=1，2，·，n），且存在正常數M1lt;M2，使得

本文研究最優控制問題（3），其中y是問題（4）-（2）的解.先證明最優控制的存在性，得到最優控制存在的必要條件，給出最優控制的表達式，再證明當λ充分大時最優控制的唯一性。

1最優控制的存在性

先給出退化橢圓方程邊值問題（4）-（2）的適定性，然后證明最優控制問題的存在性.定義空間是C（2）在范數

下的閉包.

定義1如果對任意的∈B，有如下積分等式成立：

則稱y∈B是問題（4）-（2）的弱解.

類似文獻[12]中引理2.1的證明，可得問題（4）-（2）的適定性如下.

命題1對任意的f∈L°（2），問題（4）-（2）存在唯一弱解y∈L°（2）∩.進一步，存在正常數M，使得

定義算子S：Ua→3為S：c→y，其中y是問題（4）-（2）的弱解.

定理1存在一個控制c“EUa，使得J（c”）=inf J（c）.

證明：對任意的cEUa，因為J（c）gt;0，所以J（c）有下確界.故可選取一個極小化序列（c，），使得

因為（c，）CUa是一致有界的，故在L“（2）中存在（c，）的子列（仍記為其本身）和一個函數c”EUa，使得當n→0時，c，+c*弱*收斂于L\"（2）.

對充分小的tgt;0，定義Ω.=（xEΩ；dist（x，aΩ）gt;t）.記y\"=S（c，），由命題1可知，llylla和1l yll H（q）有界.于是存在（y）的子序列（仍記為其本身）和一個函數y*EL2（2）n%，使得當n-0時，y“→y”弱收斂于%，y（\"）→y*強收斂于L2（2.）.注意到

先令n→0，再令→0+，則可得lim（y“-y”）dx=0，即當n→00時，y“→y”強收斂于L（2）.

由定義1可知，對任意的pE%，有

令n→……，由{cn}和{y”}的收斂性可知，

因此y*=S（c'）.

由于在L2（Ω）空間中范數有弱下半連續性，故

因此J（c\"）=inf J（c）.證畢.

2最優控制存在的必要條件

定理2假設c“是minJ（c）的最優控制，y”=S（c\"），則有

其中p是如下問題的弱解：

證明：對任意的cEUa，記c=c-c“.對0lt;lt;1，記e=c”+ec，y=S（e）.顯然，y-y\"是問題（4）-（2）當c=c“，f=-yec時的解.由命題1，有11y-y”1lolt;Ce.因此

y‘→y*強收斂于L’（Ω），

定義@=y-y，則a是問題（4）-（2）當c=c，f=-yc時的解，經計算可得

令ε→0，有

由定義1知，對任意的v∈B，有

在式（10）中取v=p，有

在式（11）中取v=，有

由式（12）和式（13），有

將式（14）代入式（9），可得

再由式（8），有

由文獻[12]可得式（7）.證華

3最優控制的唯一性

下面證明當λ充分大時最優控制的唯一性.

定理3如果λ充分大，則優化系統

的解唯一，其中

證明：令（y1，p1），（y2，p2）是系統（15）～（17）的兩個解，則（y1-y2，P1-p2）是系統

的解.

對方程（18）選取檢驗函數y1-y2，對方程（19）選取檢驗函數p1-p2，并將兩個積分等式求和可得

由命題1有

此時，

因此

其中

從而有

其中

于是

同理有

將式（27）和式（28）代入式（21），再結合Holder不等式，可得

取λgt;3C，，再由式（5），有

所以yi=y2，pi=p2.證畢.

參考文獻

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（責任編輯：李琦）