分數階Boussinesq-Coriolis方程在變指數Fourier-Besov空間中解的整體適定性和正則性

摘要：基于變指數Fourier-Besov函數空間理論，利用Littlewood-Paley分解工具、Fourier局部化方法和Banach壓縮映射原理，通過建立線性項與非線性項的估計，證明分數階Boussinesq-Coriolis方程在臨界變指數空間）（R3）中解的整體適定性和Gevrey類正則性.

關鍵詞：Boussinesq-Coriolis方程；變指數Fourier-Besov空間；整體適定性；Gevrey類正則性

中圖分類號：O174.2文獻標志碼：A文章編號：1671-5489（2024）05-1043-09

Global Well-Posedness and Regularity of Solutions to Fractional Boussinesq-Coriolis Equations in Variable Exponent Fourier-Besov Spaces

LI Fengjuan，SUN Xiaochun，WU Yulian

（College of Mathematics and Statistics，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，China）

Abstract：Based on the theory of variable exponent Fourier-Besov function spaces，we used Littlewood-Paley decomposition tools，Fourier localization methods and Banach contraction mapping principle.By establishing estimations for both linear and nonlinear terms，we proved the global well-posedness and the Gevrey class regularity of the solutions to the fractional Boussinesq-Coriolis equations in critical variable exponent Fourier-Besov spaces 3）（R3）.

Keywords：Boussinesq-Coriolisequation;variable exponent Fourier-Besovspace;globalwell-posedness;Gevrey class regularity

0引言

考慮三維分數階不可壓縮Boussinesq-Coriolis方程解的初值問題：

其中：u=（u（x，）.u2（x.）.3（x.t），=p（x.），=（x.t）分別為流體在點（x，t）∈R3X（0，∞）的未知速度、未知壓力和溫度；正常數v，μ和g分別為黏度系數、熱擴散系數和重力加速度；e3×u為CiR為流體燒垂直單位矢量e=0裝速gk表示浮力△=表示Laplace算子.文獻[1-3]給出了問題（1）的物理意義.Wang證明了三維分數階磁流體方程在臨界變指數Fourier-Besov空間中解的整體適定性和解析性；Abidin等5]證明了當初值。屬于變指數Fourier-Besov-Morrey空間時，分數階Navier-Stokes方程解的整體適定性；Abidin等]證明了Prandtl常數為1時三維地球物理原始方程在變指數Fourier-Besov空間中小初值意義下解的整體適定性和解析性；當方程（1）中a=1時，Sun等證明了當旋轉速度“2”充分大時，方程（1）在Besov空間中整體溫和解的存在唯一性；Sun等證明了當初值（u。，）屬于變指數Fourier-Besov空間時，方程（1）解的整體適定性.文獻[9-16]給出了不可壓縮Navier-Stokes方程、微極流體方程、磁流體方程、多孔介質方程和地球物理原始方程在變指數函數空間中解的適定性結果.本文主要研究v=μ=1的情形.

二階橢圓微分算子的原型是Lpc算子A=∑Fourier換的象征為ー.Lace算子與Brown運動中的Markov運動有關，即一個給定的微分算子構造一個Markov過程.例如與L次Markov半群相關的Hunt過程就是利用微分算子構造的.Demuth和van Casteren發展的隨機譜分析理論用一般對稱的Feller過程代替了Laplace運動或Brown運動n.分數階Laplace算子（-△）是橢圓微分算子的推廣，其象征為“ξ”2”.Riesz在處理分數階Laplace算子（一△）時首先注意到了該算子的非局部特征，該特征不僅與物理學中的擴散過程、材料學中的熱傳導等問題密不可分，而且在圖像處理、信號處理和金融學等領域應用廣泛[7

與Fourier-Besov空間相比，一般的變指數Fourier-Besov空間中不再具有平移不變性質，從而使一些經典理論如Young不等式和乘積定理均不再成立.因此，在變指數函數空間中研究方程的適定性有一定困難.本文研究分數階Boussinesq-Coriolis方程在變指數Fourier-Besov空間中解的整體適定性和Gevrey類正則性，所得結果推廣了文獻[8]的相應結果.

1預備知識

設9（R3）是R3上的光滑速降函數空間，9（R3）表示9（R3）的拓撲對偶空間，也稱為緩增分布空間.設非負光滑函數X，∈9（R3）滿足

其中1（E）=φ（2-ξ）.定義局部化算子

其中∫，=9-.由上述定義可知，當｜iーi｜≥2時，，恒為0；當ー｜≥5時，（，-1-△）恒為0.

對可測函數p（·），記

變指數Lebesgue函數空間定義為LM）={f：R3→R，‖f‖（.）lt;∞}，f的L（）范數定義為

由于L中不具有平移不變性，為保證Hardy-Littlewood極大算子在L（）（R3）上有界，因此假設p（·）滿足log-Holder連續條件.

若存在正常數Cag（p），使得對任意的x，y∈R3且x≠y，p（·）滿足

或若存在正常數Clog（p）和p，使得對任意的x∈R3，p（·）滿足

則p（·）分別稱為局部log-Holder連續的和整體log-Holder連續的.本文所考慮的p（·）屬于既局部log-Holder連續又整體log-Holder連續的函數空間，記為Clog（R3）.

設p（·），q（·）∈%（R3），l（）（L（））表示由R3上所有可測函數序列{f}；∈z組成的函數空間，記

其中

假設qlt;P）z）=成立

定義1設p（·），q（·）∈Cng（R3）∩%（R3）且s（·）∈Cg（R3），則齊次變指數Besov空間定義為

f的范數定義為

其中9'（R3）表示y（R3）=｛f∈（R3）：（D）（0）=0，a∈N+｝的對偶空間.

設Tgt;0，p∈[1，∞]，L°（0，T；B）空間中緩增分布函數f的范數定義為

L°（0，T；）空間中緩增分布函數f的范數定義為

記L：=L°（0，T;），L：=L°（0，T;）.根據Minkowski不等式，有

定義2（齊次變指數Fourier-Besov空間）設p（·）.q（·）∈C（R3）（R3）且s（·）∈Clog（R3），則齊次變指數Fourier-Besov空間定義為

f的B（）范數定義為

類似可定義L°（0，T；FB），L°（0，T；B）空間中緩增分布函數f的范數.

引理Ice不等給定一個可測集A和可測函數r（（））（A），則存在一個常數C使得當（）gA（A）時有

引理2

引理3（Sobolev不等式）[18]設po（·），p1（·）∈（R3）且50（·），s1（·）∈L（R3）∩C（R3）（s，（·）gt;s1（·）.

1）若（（R）和（）“（）-”是局部I，則

2）若%（）（）+是局部log-Holder連續的，則（）（）（）（），其中ess infe（x）gt;0.

引理4（Mollification：不萬等式）設p（·）∈Cn（R3），f∈L（R3），ゅ∈L（R3），（x）=y“（y）”可積，則有

其中（）C依賴于

引理5[10]設0≤a≤2且0lt;5≤tlt;∞，則對任意的y，z∈R3，有

2線性項和非線性項的估計

考慮下列方程：

方程（4）的解可由Stokes-Coriolis半群Ta（t）表示為

其中u∈（R3），I是M3x3（R）中的單位矩陣，R（ξ）是斜對稱矩陣：

根據Duhamel原則，方程（1）的解可寫為

對Tn.a（t）的推導可參考文獻[20].

下面給出關于半群｛Ta（t）1gt;的估計

引理6（GR（）（·））=4+1且…則有

其中0∈R.

證明：由定義2、引理1和Fourier乘子T.（t）有界可得

其中第4行不等式的估計用到了如下估計結果：

引理7 設G）（·-+.1則有

其中Ω∈R.

證明：由定義2、引理1、引理3、引理4和Hausdorff-Young不等式，可得

其中最后一個不等式的估計用到了如下估計結果：

3 分數階Boussinesq-Coriolis方程解的整體適定性

定理1設（·C（R%（）.lt;1.·=41存在一個足夠小的常數egt;0，使得uol+Ilt;則此時方程（1）有唯一的整體解

進一歩設（）CR（R）（·）C（R）（·）=42+g-若存在一個常數cgt;0，使得2≤1（·）≤c≤p（·）≤6/（5-4a），則上述解仍滿足

證明：設M，6gt;0，

在該空間上定義度量為

易見（X，d）是一個度量空間.考慮映射：

其中AΩ，α（t）= TΩ，α（t） 0 0 e-t（-Δ） ? è ?? ? ? α ÷÷ ，P∶=I-?（-Δ）-1 為零散度向量域上的 Helmholtz投影.下面證明中下E：（X，d）→（X，d）是一個壓縮映射

首先，估計線性項Tn.。（t）u。和e-“-△00.根據引理6，有

且‖e-（-）。‖（0.00（）≤‖0。‖3（），類似地，有

此外，對于p=∞和p1（·）=p（·），Tn.a（t）uo和e——△）。的估計如下：

其次，估計剩余項.根據定義2、引理2～引理4和Hausdorff-Young不等式，有

其中第3行不等式的估計用到了如下估計結果：

同理，根據引理7和式（6），可得

此外，還有

最后，證明解的存在性和唯一性.設Y=L（0，∞；2））（0，∞；+52-2）L（0，∞；2/2-2a），則有

令=M=2（ol+I-）lt;2C，若e足夠小，則有‖更（u）l+‖（）l≤+-.且d（（），（）lt;d（）.（））當e足夠小時，由Banach壓縮映射原理可知三維分數階Boussinesq-Coriolis方程具有唯一的整體解，且滿足

另一方面，設

則有

設

若足夠小，則有‖u+=且d

當ε足夠小時，由Banach壓縮映射原理可知三維分數階Boussinesq-Coriolis方程具有唯一的整體解，且滿足

注1變指數Fourier-Besov空間）是方程（1）的臨界空間.若u（t，x）是方程（1）的解，則u（t.x）=2u（t，x）也是方程（1）的一個解，且

4分數階Boussinesq-Coriolis方程解的Gevrey類正則性

定理2（Gery類正則性）設p（·）∈C（R2）（R2），lt;a1.2≤（·）≤（·）≤≤2-對任意初（）（）若存在一個正常數使待l（o，）lt;，則定理1的解是正則的，且滿足

其中eID|°是一個Fourier乘子，其象征定義為e.

證明：設 Bu B ? è ? ? ? ÷ θ =Hα（t） ?u è ? ? ? ÷ θ ，其中 Hα（t）= et D α 0 0 et D ? è ? ? ? ? ÷ α ÷ ，由式（5）得

類似定理1的證明，只需證以下結論.由e1-11=eー2+lt;e和引理5，有

其中，

參考文獻

[1]KANG K，LEE J，NGUYEN DD.Global Well-Posedness and Stability of the 2D Boussinesq Equations with Partial Dissipation Near a Hydrostatic Equilibrium[J].Journal of Differential Equations，2024，393（1）：1-57.

[2] IBRAHIM S.SULAIMAN T A，YUSUF A，etal.Wave Propagation to the Doubly Dispersive Equation and the Improved Boussinesq Equation[J/OL].Optical and Quantum Electronics，（2023-11-23）[2024-01-11].https：//doi.org/10.1007/s11082-023-05571-5.

[3]SUN J Y，CUI S B.Sharp Well-Posedness and Ill-Posedness of the Three-Dimensional Primitive Equations of Geophysics in Fourier-Besov Spaces[J].Nonlinear Analysis：Real World Applications，2019，48：445-465.

[4]WANG W H.Global Well-Posedness and Analyticity for the 3D Fractional Magnetohydrodynamics Equations in Variable Fourier-Besov Spaces[J].Zeitschrift fur AngewandteMathematik und Physik，2019，70（6）：163-1-163-16.

[5]ABIDIN M Z，CHEN J C.Global Well-Posedness for Fractional Navier-Stokes Equations in Variable Exponent Fourier-Besov-Morrey Spaces[J].Acta Mathematica Scientia：Series B（English Edition），2021，41（1）：164-176.

[6]ABIDIN M Z，ULLAH N，OMER O A.Global Well-Posedness and Analyticity of the Primitive Equations of Geophysics in Variable Exponent Fourier-Besov Spaces[J].Symmetry，2022，14（1）：165-1-165-12.

[7]SUN J Y，LIU C L，YANG M H.Global Solutions to 3D Rotating Boussinesq Equations in Besov Spaces[J].Journal of Dynamics and Differential Equations，2020，32（2）：589-603.

[8]SUN X C，WU Y L，XU G T.Global Well-Posedness for the 3D Rotating Boussinesq Equations in Variable Exponent Fourier-Besov Spaces[J].AIMS Mathematics，2023，8（11）：27065-27079.

[9]汝少雷.不可壓Navier-Stokes方程在變指標函數空間上的整體適定性[J].中國科學：數學，2018，48（10）：1427-1442.（RU S L.Global Well-Posedness of the Incompressible Navier-Stokes Equations in Function Spaces with Variable Exponents[J].Scientia Sinica：Mathematics，2018，48（10）：1427-1442.）

[10]OUIDIRNE F.AZANZAL A，ALLALOU C，etal.Well-Posedness and Analyticity for the Viscous Primitive Equations of Geophysics in Critical Fourier-Besov-Morrey Spaces with Variable Exponents[J].International Journal of Nonlinear Analysis and Applications，2023，14（1）：2915-2929.

[11]ABIDIN M Z，MARWAN M，ULLAH N，etal.Well-Posedness in Variable-Exponent Function Spaces for the Three-Dimensional Micropolar Fluid Equations[J/OL].Journal of Mathematics，（2023-12-26）[2024-07-07].doi：10.1155/2023/4083997.

[12]ABIDIN M Z，CHEN J C.Global Well-Posedness of the Generalized Rotating Magnetohydrodynamics Equations in Variable Exponent Fourier-Besov Spaces[J].Journal of Applied Analysis and Computation，2021，11（3）：1177-1190.

[13]OUIDIRNE F，ALLALOU C，OUKESSOU M.Analyticity for the Fractional Navier-Stokes Equations in Critical Fourier-Besov-Morrey Spaces with Variable Exponents[J/OL].Boletim da SociedadeParanaense de Matematica（3rd Serie），（2024-05-02）[2024-07-07].https：//doi.org/10.5269/bspm.62956.

[14]OUIDIRNE F，SRHIRI H，ALLALOU C，etal.Global Existence for the 3-D Generalized Micropolar Fluid System in Critical Fourier-Besov Spaces with Variable Exponent[J].Nonlinear Dynamics and Systems Theory，2023，23（3）：338-347.

[15]AZANZAL A，ALLALOU C，MELLIANI S.Well-Posedness，Analyticity and Time Decay of the 3D Fractional Magneto-Hydrodynamics Equations in Critical Fourier-Besov-Morrey Spaces with Variable Exponent[J].Journal of Elliptic and Parabolic Equations，2022，8（2）：723-742.

[16]ABIDIN M Z.CHEN J C.Global Well-Posedness and Analyticity of Generalized Porous Medium Equation in Fourier-Besov-Morrey Spaces with Variable Exponent[J/OL].Mathematics，（2021-02-28）[2024-07-07].https：//doi.org/10.3390/math9050498.

[17]JACOBN.Pseudo Differential Operators and Markov Processes：Vol.3[M].London：Imperial College Press.2005：1-474.

[18]ALMEIDAà，H?ST?P.Besov Spaces with Variable Smoothness and Integrability[J].Journal of FunctionalAnalysis，2010，258（5）：1628-1655.

[19]ABIDIN M Z，CHEN J C.Global Well-Posedness of Generalized Magnetohydrodynamics Equations in Variable Exponent Fourier-Besov-Morrey Spaces[J].Acta Mathematica Sinica（English Series），2022，38（12）：2187-2198.

[20]WANG W H，WU G.Global Mild Solution of the Generalized Navier-Stokes Equations with the Coriolis Force[J].Applied Mathematics Letters，2018，76（1）：181-186.

（責任編輯：趙立芹）