一維反轉對稱組合光子晶體結構界面態的可調性

摘要： 通過電磁波在介質中的傳播， 以及介質與介質界面處電場和磁場的切線分量的連續條件， 分別給出光在介質中傳播的傳輸矩陣以及光在介質界面處的匹配矩陣， 從而得到組合結構光子晶體總的傳輸矩陣， 并給出其反射率. 在此基礎上， 研究具有反轉對稱組合結構為（ABA）N（BAB）M的光子晶體界面態， 改變介質A的折射率系數na0、 參數e， 厚度da和周期數N與介質B（葡萄糖溶液）的質量濃度、 溫度、 厚度db和周期數M以及入射角的大小， 給出界面態的位置和峰值大小隨參數的變化曲線， 并研究葡萄糖溶液質量濃度對組合結構PC1+PC2+PC1和PC1+PC2+PC1+PC2+PC1多個界面態的影響. 數值計算結果表明， 當改變葡萄糖質量濃度時， 可改變界面態的位置和峰值大小， 從而實現對界面態的調節.

關鍵詞： 光子帶隙材料; 傳輸矩陣; 匹配矩陣; 界面態

中圖分類號： O436""文獻標志碼： A""文章編號： 1671-5489（2024）06-1455-09

Tunability of Interfacial States of One-Dimensional InvertedSymmetric Combined Photonic Crystal Structures

LIU Xiaojing1， ABUDUSAIMAITI Yimiti1， ZHAO Dongxu1，ZHAO Ruoqin1， LI Hong2， ZHANG Siqi2， MA Ji3

（1. College of Physics， Jilin Normal University， Siping 136000， Jilin Province， China;

2. School of Data Science and Artificial Intelligence， Jilin Engineering Normal University， Changchun 130052， China;

3. College of Science， Liaoning Petrochemical University， Fushun 113001， Liaoning Province， China）

Abstract： Through the propagation of electromagnetic waves in the medium and the continuous conditions of the tangential components of electric a

nd magnetic fields at the interface between the medium and the medium， we gave the transmission matrix of light propagation in the medium and the matching matrix of light at the i

nterface of the medium， respectively， so as to obtain the total transmission matrix of the combined structure photonic crystal and their reflectance. On this bas

is， we studied the inverted symmetric combined structures for （ABA）N（BAB）M photonic crystal interface states. By changing the refractive index coefficient na0， parameter e， thickness da and period number N of the medium A， as well as the mass concentration of medium B （glucose solution）， temperature， the thickness of db and

period number M， and the size of the incident angle， we gave the location of the interface state and the peak size curve along with the change of these pa

rameters， and studied the effects of the mass concentration of glucose solution on multiple interface states of combined structures PC1+PC2+PC1 and PC1+

PC2+PC1+PC2+PC1. The numerical calculation results show that the location of the interface state and peak size can be changed when the mass concentration of glucose

is changed， thereby achieving the adjustment of the interface state.

Keywords： photonic bandgap material; transmission matrix; matching matrix; interface state

光子晶體（PCs）是具有折射率、 在波長量級上周期性變化的人工微結構， 它控制光子的傳播方式與半導體控制電子的運動方式類似. 當光在光子晶體中傳

播時， 存在允許和禁止的頻率范圍， 其中被禁止的頻率范圍稱為光子晶體帶隙（PBG）^［1-2］， 它阻止特定頻率的光向某些方向傳播， 與半導體中的電子帶隙類似. 在光子晶體中引入點缺陷^［3-4］， 可在缺陷處產生局域態^［5-6］. 對光子晶體的研究已引起人們廣泛關注^［7-10］. 由光子晶體帶隙和局域化特性設計出大量的光學器件， 如Bragg散射^［11］、 濾波器^［12］、 傳感器^［13］和反射器^［14］， 光子晶體在激光應用、 光通信和光電子電路等領域應用廣泛^［15-19］. 在光子晶體能帶圖中， 若兩條能帶相交， 且在相交點處色散關系為線性關系時， 則該相交點稱為光子晶體的Dirac點. Dirac點具有拓撲傳輸和界面態等性質， 將具有對稱結構的兩種光子晶體拼接在一起即可產生界面態^［20-22］， 該方法稱為Dirac點方法. 界面態的特點是光場強度沿垂直于光子晶體界面方向呈指數衰減分布， 一維光子晶體的界面態在光通信、 低閾值激光器、 高效反射鏡和可調諧濾波等領域應用廣泛.

本文通過電磁波在介質中的傳播， 以及介質與介質界面處電場和磁場切線分量的連續條件， 分別給出光在介質中傳播的傳輸矩陣， 以及光在介質界面處的匹配矩陣，

從而得到組合結構光子晶體總的傳輸矩陣， 并給出其反射率. 在此基礎上， 研究具有反轉對稱組合結構為（ABA）N （BAB）M的光子晶體界面態， 其中介質B為葡萄糖溶液， 其折射率是

葡萄糖溶液質量濃度的函數^［23］. 數值計算結果表明， 當改變葡萄糖溶液質量濃度時， 可改變界面態的位置和峰值大小， 從而實現對界面態的調節. 此外， 改變介質A的折射率系數na0、 參數e、 厚度da和周期數N與介質B的質量濃度ρ、 溫度t、 厚度db和周期數M以及入射角的大小， 給出界面態的位置和峰值大小隨參數的變化曲線， 所得結論可為光學器件的設計提供理論依據.

1"一維光子晶體中的傳輸

對于兩種折射率不同的A和B介質層， 將其交替排列組成（AB）N型一維光子晶體結構， 當一束光通過一維光子晶體結構傳輸時， 將光的傳輸分為在介質內傳輸和在兩種不同介質界面處的傳輸.

對自由電磁場， 其平面波一個解的形式為

E=E0e^{i（k·r-ωt）}，（1）

一維反轉對稱光子結構兩種類型及其原胞示意圖如圖1所示. 將（ABA）N型結構光子晶體在xz平面內垂直z軸放置， 若光束在光子晶體內傳播時與法線夾角為θ， 則有

k·r=kxx+kzz=kxsin θ+kzcos θ.（2）

設光束在第n層介質層中沿z軸正、 負方向傳輸， 將式（2）代入式（1）中得到電磁波在第n層介質中沿z軸正、 負方向傳播時光波電場分別為

E+n=E+ne^{-i（ωt-knzcos θn+φ）}，（3）

E-n=E-ne^{-i（ωt+knzcos θn+φ）}，（4）

其中ω表示角頻率， kn為第n層內光子晶體波矢的大小， 在第n層介質中， 電磁波在介質層內從入射處到出射處傳輸的傳輸矩陣為

E+n1E-n2

=e^{-ikndncos θn}00e^{ikndncos θn}

E+n2E-n2，（5）

令

P（kn，dn）=e^{-ikndncos θn}00e^{ikndncos θn}，（6）

則

E+n1E-n1=P（kn，dn）E+n2

E-n2，（7）

其中E+n1和E-n1分別表示在第n層光子晶體介質內入口處的入射電場和反射電場， E+n2和E-n2為第n層介質內出口處的入射電場和反射電場， dn為第n層介質的厚度， 則P（kn，dn）為光波在第n層介質的介質內部傳輸矩陣.

當光波在A和B兩種介質之間的界面處傳播時， 定義第n層介質界面處在分界面Ⅰ左側的表面總電場和總磁場分別為En和Hn

， 第（n+1）層介質界面處在分界面Ⅰ左側表面總電場和總磁場分別為En+1和Hn+1. 分界面Ⅰ左側入射和反射的電場和磁場分別為E+

n，H+n，E-n，H-n， 分界面Ⅰ右側入射和反射的電場和磁場分別為E+n+1，H+n+1，E-n+1，H-n+1. 由Maxw

ell邊界條件知， 在橫電（TE）波中， 介質在界面處傳輸時左右表面電磁場切向分量是連續的， 在分界面Ⅰ處有

En=En+1=E+n+E-n=E+n+1+E-n+1，

Hn=Hn+1=H+ncos θn-H-ncos θn=H+n+1cos θn+1-H-n+1cos θn+1.（8）

將Hi=ε0/μ0Eini代入式（8）可得

E+nnncos θn-E-nnncos θn=E+n+1nn+1cos θn+1-E-n+1nn+1cos θn+1，（9）

由式（8）和式（9）解得

E-n=12E+n+11-nn+1cos θn+1nncos θn

+12E-n+11+nn+1cos θn+1nncos θn，（10）

E+n=12E+n+11+nn+1cos θn+1nncos θ

n+12E-n+11-nn+1cos θn+1nncos θn，（11）

解得

E+n1E-n1=121+nn+1cos θ

n+1nncos θn1-nn+1cos θn+1nncos θn1-n

n+1cos θn+1nncos θn1+nn+1cos θn+1nncos θnE+n+1E-n+1=Mn→n+1E+n+1E-n+1，（12）

則光從第n層介質到第（n+1）層介質界面處的匹配矩陣為

Mn→n+1=121+nn+1cos θn+1nncos θn1-nn+1cos θn+1nncos θn1-nn+1cos θn+1nncos θ

n1+nn+1cos θn+1nncos θn，（13）

其中nn和nn+1分別表示第n層和第（n+1）層光子晶體介質的折射率.

PC1結構（圖1）一維反轉對稱原胞的傳輸矩陣為

Taba=Pka，da2·Mab·P（kb，db）·

Mba·Pka，da2，（14）

PC2結構一維反轉對稱原胞的傳輸矩陣為

Tbab=Pkb，db2

·Mba·P（ka，da）·Mab·Pkb，db2.（15）

對于分別具有N，M周期的PC1和PC2組合結構PC1+PC2， 其總傳輸矩陣為

H=HPC1+PC2=Mυa·TN

aba·Mab·TMbab·Mbυ.（16）

2"一維光子晶體中的透射率和反射率

若式（16）的總傳輸矩陣為

H=H11H12H21H22，（17）

則光波通過PC1+PC2組合結構光子晶體后， 入射和透射光波的電場滿足

E+0E-0=H11H12H21H22·E+N+1E-N+1.（18）

當入射區域和透射區域均為空氣時， E-N+1=0， 光通過該組合結構光子晶體的反射系數r為

r=E-0E+0=H21H11，（19）

進一步得到反射率為

R=r2=H21H112.（20）

3"一維組合結構光子晶體界面態的數值分析

在圖1的組合結構光子晶體結構中， 介質A為色散介質， 其折射率na=na01+eλ2， 厚度為d

a， 介質B為葡萄糖溶液， 其折射率^［23］nb=1.335 6+（1.533×10^-3）ρ-（9.0×10^-5）ρ2-（1.264 7×10^-4）t-（4.0×10^-8）t2， 其中ρ為葡萄糖溶液

的質量濃度， t為溫度. 在數值計算中， 初始參數取為： 周期數N=10， M=10， ρ=30 mg/mL， t=20 ℃， 介質厚度da

=220 nm， db=10 nm， 介質A折射率系數na0=1.35， 折射率參數e=0.005 6， 入射角θ=0， 可得到圖2所示的反射譜.

由圖2可見， 在第2，4，6，8帶隙中出現透射峰， 即界面態， 在第3，5，7帶隙中未出現界面態. 下面以圖2中第3個界面態為例， 研究各參數變化對界面態的影響.

葡萄糖溶液溫度對界面態的影響如圖3所示， 其中（A）～（C）對應的溫度分別為20，25，30 ℃， 其他參數均為初始值， 由圖3可見， 溫度對界面態的位置和峰值大小影響較小.

葡萄糖溶液質量濃度對界面的影響如圖4所示， 其中（A）～（F）對應的葡萄糖溶液質量濃度分別為20，30，40，50，60，70 mg/mL， 其他參數均為初始值. 由圖4可見， 隨著葡萄

糖溶液質量濃度的增加， 界面態的位置向右移動即藍移， 且界面態的峰值變小. 因此， 通過改變葡萄糖溶液質量濃度即可實現對界面態的調節.

折射率參數e對界面的影響如圖5所示， 其中（A）～（C）對應的參數e分別為0.005 6，0.005 3，0.005 0， 其他參數均為初始值. 由圖5可見， 隨著e的變小， 界面態位置向右移動， 峰值基本不變.

因此， 通過改變參數e可實現界面態位置的調整.

介質A折射率系數對界面態的影響如圖6所示， 其中（A）～（C）對應的na0分別為1.35，1.37，1.39， 其他參數均為初始值. 由圖6可見， 隨著折射率系數的變大， 界面態位置向左移動， 峰值基本不變. 因此， 通過改變介質A折射率的系數變化， 可實現界面態位置的調整.

介質A厚度對界面態的影響如圖7所示， 其中（A）～（C）對應的da值分別為220，222，224 nm， 其他參數均為初始值. 由圖7可見， 隨著da的變大， 界面態位置向左移動， 峰值基本不變. 因此， 通過改變介質A的厚度可實現界面態位置的調整.

介質B厚度對界面態的影響如圖8所示， 其中（A）～（C）對應的db值分別為10，12，14 nm， 其他參數均為初始值. 由圖8可見， 隨著db的變大， 界面態位置向左移動， 峰值變小. 因此， 通過改變介質B的厚度可實現界面態位置和峰值的調整.

周期數M對界面態的影響如圖9所示， 其中（A）～（C）對應的周期數M分別為10，11，12， 其他參數均為初始值. 由圖9可見， 隨著M的變大， 界面態位置基本不變， 但峰值變小. 因此， 通過改變周期數M可實現界面態峰值的調整.

周期數N對界面態的影響如圖10所示， 其中（A）～（C）對應的周期數N分別為10，11，12， 其他參數均為初始值， 由圖10可見， 隨著N的變大， 界面態位置不變， 但峰值變小. 因此， 通過改變周期數N可實現界面態峰值的調整.

入射角對界面態的影響如圖11所示， 其中（A）～（E）對應的入射角分別為0°，10°，20°，30°，40°， 其他參數均為初始值. 由圖11可見， 隨著入射角的變大， 界面態向右移動， 峰值變化較小. 因此， 通過改變入射角可實現界面態位置的調整.

葡萄糖溶液質量濃度對組合結構為PC1+PC2+PC1多個界面態的影響如圖12所示， 其中（A）～（D）對應的葡萄糖溶液質量濃度分別為20，50，70，80 mg/mL. 在PC1光子晶體中介質A的厚度da/2=15 nm， 介質B的厚度db=20 nm， 在PC2光子晶體中介質A的厚度da=30 nm， 介質B的厚度db/2=10 nm， 介質A折射率系數na0=1.55， 其他參數均為初始值. 由圖12可見， 該結構出現2個界面態， 隨著葡萄糖溶液質量濃度的增加， 界面態的位置向右移動即藍移， 且界面態的峰值變小， 界面態之間的距離變小. 因此通過改變葡萄糖溶液質量濃度即可實現對多個界面態的調節.

葡萄糖溶液質量濃度對組合結構為PC1+PC2+PC1+PC2+PC1多個界面態的影響如圖13所示， 其中（A）～（D）對應的葡萄糖溶液質量濃度分別為20，50，70，80 mg/mL. 在PC1光子晶體中介質A的厚度da=15 nm， 介質B的厚度db=20 nm， 在PC2光子晶體中介質A的厚度da=30 nm， 介質B的厚度db=10 nm， 介質A折射率系數na0=1.55， 其他參數均為初始值. 由圖13可見， 該結構出現4個界面態， 隨著葡萄糖溶液質量濃度的增加， 界面態的位置向右移動即藍移， 且界面態的峰值變小， 界面態之間的距離變小. 因此， 通過改變葡萄糖溶液質量濃度即可實現對多個界面態的調節.

綜上， 本文基于傳輸矩陣法計算了一維反轉對稱組合結構的反射率， 在此基礎上研究了組合結構（ABA）N（BAB）M的光子晶體界面態， 并研究了葡萄糖溶液質量濃度對組合結構PC1+PC2+PC1和PC1+PC2+PC1+PC2+PC1多個界面態的影響. 數值計算結果表明： 隨著葡萄糖溶液質量濃度的增加， 界面態的位置向右移動即藍移， 且界面態的峰值變小， 因此通過改變葡萄糖溶液質量濃度即可實現對界面態的調節; 隨著介質A折射率參數e的變小， 界面態位置向右移動， 峰值基本不變; 隨著折射率系數na0的變大， 界面態位置向左移動， 但峰值基本不變; 隨著介質A和B厚度da和db的變大， 界面態位置向左移動， 峰值基本不變; 隨著周期數M和N的變大， 界面態位置不變， 但峰值變小; 隨著入射角的變大， 界面態向右移動， 峰值變化較小. 因此， 通過改變以上參數即可實現界面態位置和峰值的調節. 所得結論可為光學器件的設計提供理論依據.

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（責任編輯： 王"健）