折紙大冒險：未來建筑的幾何危機

6月4日" "星期二" "天氣：小雨

美術課上的煩惱

今天的美術課課堂非常熱鬧，相比于平時大家自顧自地畫畫，折紙好像更有趣。大家三三兩兩地湊在一起，炫耀著自己的作品。有的同學折出了栩栩如生的飛鳥，有的同學則精心塑造出精巧復雜的花朵，還有的同學設計出了立體的紙機器人……教室里洋溢著創意與歡樂的氣息。

然而，陸小豆卻獨自坐在角落，桌上放著幾團皺巴巴的彩色紙，眼神中流露出困惑與無奈。他看著同學們手指靈活地折疊、剪裁，不一會兒就制作出了各種精美的折紙作品，而自己卻怎么也學不會。

“為什么我就是不會折紙呢？”陸小豆沮喪地想，“我明明很想做出漂亮的作品啊?！?/p>

陸小豆不太好意思詢問同學們，只能悄悄地打開書包，原來學霸精靈正在里面休眠。陸小豆晃了晃書包喚醒了學霸精靈。

看到陸小豆一臉沮喪，學霸精靈問：“你這是怎么了？”

陸小豆低著頭說：“我做不好折紙?！?/p>

學霸精靈翻了個白眼說：“折紙是一門需要技巧和空間想象能力的藝術，其中涉及數學中一個很重要的分支——幾何。”忽然，學霸精靈好像想到了什么，然后雙目中流動起了數據。

奇形怪狀的大樓

“果然，你又捅大婁子了！”學霸精靈無奈地說道。

“切，我也不過是折紙的水平不太行，我才不信會對未來有什么影響呢。”陸小豆不服氣地說道。

“折紙事小，但暴露了你不熟悉各種基本的平面圖形和立體圖形，對簡單的幾何圖形剪拼和立體圖形展開也一竅不通，空間想象能力很糟糕。這樣的你，如果去規劃未來城市，可不就是捅了大簍子了?！闭f罷學霸精靈也不廢話，馬上從雙眼投射出全息投影，一幅未來都市的景象展示在陸小豆面前。

畫面中高樓林立，各種高架橋縱橫交錯，形成了繁雜的建筑群和立體交通網絡。陸小豆把畫面放大，仔細觀看各種樓房，發現很多建筑都奇形怪狀、七扭八歪、混亂不堪，很多房屋出現了結構錯誤。摩天大樓因為頭重腳輕，動不動就傾斜搖晃，很是危險。

“你看看吧，這些建筑物還不光是表面不美觀，其中很多結構還非常不穩定，又或者非常的不實用，施工成本高，施工困難……這都是你的錯！”學霸精靈毫不客氣地說道。

“這……這也太危險了！快，我要好好學習一下幾何圖形的知識了！”陸小豆已經輕車熟路了，馬上按下學霸勛章，變身成了學霸。

平面圖形識別和運用：

識別和使用正方形、長方形、三角形等基本平面圖形。

通過組合平面圖形創造更復雜的造型。

空間圖形理解：

理解平面圖形在三維空間中的展開和折疊。

預測折疊后的立體造型。

掌握立方體、柱體、棱錐等基本立體圖形的特點。

難度：

下面的圖形中哪些是三角形？哪些是長方形？哪些是平行四邊形？哪些是菱形？

答案：三角形有2個：④⑦；長方形也有2個：①②；平行四邊形有4個：①②③⑥；菱形有2個：①⑥。

解答：用示意圖來表示三角形與特殊三角形，四邊形與特殊四邊形之間的關系：

難度：

有兩個相同的直角三角形紙片，三條邊分別為3厘米、4厘米和5厘米。不許折疊，用這兩個直角三角形可以拼成幾種平行四邊形（經過旋轉或翻轉后相同的平行四邊形算同一種）？

答案：3種

解答：要把2個三角形粘成平行四邊形，就必須把其中長度相同的2條邊粘在一起。

①把2條長為3厘米的邊粘在一起，可以得到：

其中圖1是一個三角形，不是題目所求；圖2是平行四邊形，對邊長分別是4厘米和5厘米。

通過類似的嘗試可知，把2條長為4厘米的邊粘在一起，或2條長為5厘米的邊粘在一起，能拼成如下2個平行四邊形：其中圖3是對邊長分別是3厘米和5厘米的平行四邊形，圖4是長和寬分別為4厘米和3厘米的長方形，是特殊的平行四邊形。因此2個三角形一共能拼成3種平行四邊形。

難度：

下面的四個正方體標字母的方式是完全相同的，請你利用圖中已知的信息，判斷A、B、C的對面分別標的是哪個字母。

答案：A的對面標有D，B的對面標有F，C的對面標 有E。

解答：由已知條件可推斷，標有C、D的兩個面不能相對，那么或A的對面標有D，或B的對面標有D。

①如果標有D、A的兩個面相對，那么“標有C、D的兩個面不能相對”，“標有E、A的兩個面也不能相對”這兩個條件都可以滿足。

注意到當D在朝右的面，E在朝上的面時，F在朝前的面上，那么只能是標有E、C的兩個面相對，而標有F、B的兩個面相對。經檢驗，這種情況滿足題目 要求。

②如果標有D、B的兩個面相對，那么由于標有E、A的兩個面也不能相對，于是標有A的對面就是標有F的面，而標有C的對面就是標有E的面。

此時D在朝后的面上，E在朝左的面上，F在朝下的面上。我們把六面體旋轉，把D轉到朝右的面，并把E轉到朝上的面，此時朝前的面上標的是A，而朝后的面上標的是F，與題意不符。

綜上所述，滿足題意的答案只有一個：A的對面標有D，B的對面標有F，C的對面標有E。

難度：

這是一個立體圖形的展開圖，請問：原來立體圖形的棱和面各有多少？

答案：16條棱，9個面。

解答：展開圖中最下面的正方形就是原立體圖形的底面，除了這個正方形余下的是由4個大小形狀完全相同的圖形組成，其中4個長方形構成一個六面體的4個側面。而4個三角形構成一個四棱錐的4個側面。因此原立體圖形由兩部分組成，如圖所示：

立體圖形的上半部分是一個四棱錐，其中四棱錐的4個側面也是立體圖形的面，8條棱也是立體圖形的棱。

立體圖形的下半部分是底面為正方形的平行六面體，其中5個面是立體圖形的面，12條棱都是立體圖形的棱。但是上底面的4條棱在考慮四棱錐的棱時已經計算過，不能重復計算，那么考慮平行六面體時新增加的棱就有12-4=8（條）。

因此，原立體圖形有4+5=9（個）面，有8+8= 16（條）棱。

難度：

將一個正方體紙盒的某些棱剪開后，可以將其平鋪成一個“平面展開圖”，也就是由6個正方形連接起來的一整張紙片。那么正方體的平面展開圖一共有多少種？請全部畫出來。（注意：如果經過旋轉或者翻轉后，兩個展開圖可以完全重合，那么只能算作一種平面圖形）

答案：一共有11種正方體的平面展開圖。

解答：