基于稚化思維的“錯中措”式教學實踐與思考

摘" 要：以“函數奇偶性”的教學為例，以稚化思維為引導，探討了“錯中措”模式在高中數學教學中的應用.

關鍵詞：稚化思維；錯中措；奇偶性

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）04-0046-06

引用格式：陳民. 基于稚化思維的“錯中措”式教學實踐與思考：以“奇偶性”教學為例［J］. 中國數學教育（高中版），2024（4）：46-51.

一、問題提出

《〈普通高中數學課程標準（2017年版）〉解讀》中指出，當今的教育高度關注課程民主，在哲學認識論上體現出對人的交互主體性地位的確認，反對教育中的控制和支配，提倡相互尊重、平等交流的對話式教育，構建和諧、共生的數學學習共同體. 因此，教師的教學要從學生的角度出發考慮問題，站到學生一邊. 稚化思維指教師在教學中推己及人地揣摩學生的學習心理、認知狀況、知識儲備、經驗背景和學習狀態，有意識地將自己的認知水平“退化”到與學生相當的程度，把熟悉的當成陌生的，與學生共同探討問題、克服困難，完成教學任務. 筆者成立課題團隊，致力于稚化思維引領下的深度教學研究，創建了一種新型教學模式，稱為“錯中措”模式，具體包含“三錯八措”.“三錯”指課始糾錯、課中究錯、課后揪錯，對應的“八措”分別為展示舊錯、調研學情、設置目標、創設情境、問題探究、體驗探究、深度評價、整理歸錯，具體教學模式架構如圖1所示.

下文以人教A版《普通高中教科書·數學》必修第一冊“3.2.2 奇偶性”一課的教學為例，探討“錯中措”模式在高中數學教學中的應用，供廣大數學教師參考.

二、教學過程

1. 課始糾錯

課始糾錯是指新課教學前針對學生在上一節課學習中出現的舊錯進行梳理、歸納和解釋，對學生在學習中產生的錯誤進行實時監測并予以校正. 依據學情設置新課教學目標，提高學生對知識的掌握程度和學習效果.

（1）展示舊錯.

函數的單調性和奇偶性是函數性質的重要組成部分，單調性是局部性質，奇偶性是整體性質. 從特殊到一般的推理方式，數形結合的思想培養，兩者學習模式相同，通過對函數的單調性的學習，學生掌握了知識的學習方法，類比推理，能夠更加自如地掌握函數的奇偶性. 因此，對于函數的單調性的學習，學生必須過關. 課程伊始，教師及時展示學生在函數的單調性學習中出現的錯誤，使學生坦誠、勇敢地面對錯誤，及時發現函數的單調性學習中的盲點和誤區，為函數的奇偶性的學習積累經驗.

① 對函數單調性的認識存在誤區，它是局部屬性，而非整體性質，學生對[x1]，[x2]的任意性和同區間性的理解仍然存在問題，部分學生在用符號語言刻畫單調性時表述含糊不清.

② 在學生作業中討論[fx=ax+ax]的單調性時，對[fx1-fx2]的化簡不徹底，只化簡到[fx1-fx2=][ax1-x21-1x1x2.] 雖然有的學生化簡徹底了，但對單調性判斷時忘記對參數[a]進行分類討論.

③ 作業：若函數[fx=x2-2ax-9]在區間[2，+∞]上單調遞增，則實數[a]的取值范圍為" " " . 學生答案有兩類錯誤：一類是[alt;2]，說明學生沒有對端點2處的取值進行特殊分析；二是[a≥2]，說明學生誤把直線[x=2]當作對稱軸了.

【設計意圖】課前展示學生過往的錯誤實例，有助于實時校正，強化既有知識，增強記憶效果，使得易錯、頻錯和誤錯情況得以凸顯，避免學生重蹈覆轍，消除學生遺憾.

（2）調研學情.

本節課內容的教學對象是高一學生，他們剛開始高中階段的學習，對高中數學的知識深度、難度仍在適應當中. 函數的奇偶性是繼函數的單調性之后學習的函數的又一重要性質，結合函數的單調性學習中學生出現的錯誤，可以知道對于學生來說，函數的奇偶性的學習是有一定難度的. 初中階段，學生已經對圖象的對稱性有所了解，讓學生借助“形”來判斷函數的奇偶性并不難，難點在于讓學生利用“數”來判斷函數的奇偶性. 教學中，如果直接給出定義，學生沒經過自主探究及錯誤的嘗試，則會印象膚淺，學習不深刻. 因此，教師要激發學生的探索熱情，就要設置學生感興趣的問題情境.

（3）設置目標.

① 學生通過觀察、討論，借助圖象理解對稱性的概念，從具體實例升華至一般抽象概念.

② 基于對稱性原理掌握函數的奇偶性的概念.

③ 從“數”的角度掌握函數的奇偶性的概念.

④ 體驗數學概念的建立過程，在構建函數的奇偶性概念的過程中體會研究數學問題的通性通法.

⑤ 從錯誤的問題中強化對數學概念的認知.

2. 課中究錯

課中究錯是指在課堂教學過程中對預設和未知中產生的錯誤進行深入探究和學習的一種教學方法. 本方法強調教師和學生共同參與，通過分析錯誤的原因和影響因素，提出相應的改進策略，提高學生的學習效率.

（1）創設情境.

情境：函數[fx=x2]的圖象如圖2所示，該圖象是否具有對稱性？

生：有對稱性，關于[y]軸對稱.

師：在高中數學課程中，部分函數的圖象有著令人著迷的對稱之美. 本節課我們將一起走進函數世界，領略函數的對稱之美.

【設計意圖】用學生比較熟悉的函數圖象進行導入，會使學生學習新知前的緊張情緒得到有效緩解，進而在輕松的氛圍中學習知識. 此外，具有對稱美的圖象能夠激發學生對課堂知識的學習熱情，從而點燃他們學習的激情.

（2）問題探究.

問題1：在已經學過的函數中，圖象具有對稱性的有哪些？

生：二次函數、正比例函數、反比例函數的圖象都具有對稱性，還有前面學過的函數[y=x]的圖象.

師：可以具體說說這些函數的圖象屬于你們學過的哪類對稱嗎？

生1：二次函數和函數[y=x]的圖象都是軸對稱圖形，反比例函數是中心對稱圖形.

師：畫出函數[fx=2-x]的圖象（如圖3），觀察其是否為軸對稱圖形.

生1：函數[fx=2-x]的圖象是軸對稱圖形，對稱軸是[y]軸.

師：函數[fx=2-x][x≠0]的圖象仍然是軸對稱圖形嗎？

生1：是的.

師：函數[fx=2-x][x≠1]的圖象呢？

生1：仍然是軸對稱圖形.

生2：錯誤，不對稱了，因為[x=-1]時對應的函數值在圖象上找不到對稱點. 要保證對稱必須保證圖象上的所有點都能找到對稱點.

問題2：類比函數單調性的定義過程，你能用符號語言精確描述“函數圖象關于[y]軸對稱”這一特征嗎？

師：試以[fx=2-x]的圖象為例，從數的角度解釋函數圖象關于[y]軸對稱的原因.

生3：當函數[fx=2-x]的自變量取相反的兩個數時，對應的函數值相等，即有[f-x=fx]，如表1所示.

師：是只有特殊的[x]的取值滿足這一關系嗎？

生3：不是，對于無數個[x]都有[f-x=fx].

生4：無數個[x]不可以說明[f-x=fx]，必須是定義域內的一切[x]都滿足[f-x=fx]才可以.

師：如何證明呢？

生4：[f-x=2--x=2-x=fx].

師：漂亮！依據大家的理解，若對于定義域內的任意[x]都有[f-x=fx]，則可知函數[fx]的圖象關于[y]軸對稱，反之呢？

生5：若函數[y=fx]的圖象關于[y]軸對稱，則圖象上任意點[Px，y]關于[y]軸的對稱點[P-x，y]仍在函數圖象上，因而可以得到[f-x=fx].

師：很好！大家探究了函數[fx=2-x]的圖象的對稱性. 下面請大家對反比函數[fx=1x]的圖象（如圖4）進行類比探究，探討反比例函數的圖象為何關于原點對稱.

生6：反比例函數滿足[f-x=-fx]. 當點[x，y]在反比例函數的圖象上時，關于原點的對稱點[-x，-y]仍然在該函數圖象上，因此可以得到反比例函數的圖象關于原點對稱.

師：是對所有的[x]嗎？

生6：是對定義域內的任意[x]，因為反比例函數的定義域是[x≠0]，所以要強調[x≠0].

【設計意圖】教學過程中，采用問題引導的方式進行探索，而非直接用符號語言描述函數圖象的對稱特性. 鼓勵學生自主發現、猜想并證明，逐步構建函數奇偶性的概念，體現了從特殊到一般的思維方式. 圖象的對稱性不難理解，但如何運用符號語言對其進行描述卻具有一定的挑戰性. 為了培養學生的數形結合思想，讓學生類比函數單調性的學習過程逐步從定性描述過渡到定量刻畫，這是抽象數學概念的一個重要環節.

（3）體驗探究.

練習：判斷下列函數的奇偶性，并說明理由.

①[fx=x4+2x2，x∈-2，2].

②[fx=2x2+4xx+2].

③[fx=4-x2x+3-3].

④[fx=x2-16+16-x2].

教師讓4名學生在黑板上板演對這4道題目中函數奇偶性的判斷過程. 學生的解題過程摘錄如下.

① 因為[f-x=-x4+2-x2=x4+2x2]，

所以[f-x=fx].

所以函數[fx=x4+2x2]是偶函數.

② 因為[f-x=2-x2+4-x-x+2=2x2-4x-x+2≠fx]，且[f-x≠-fx]，

所以函數[fx=2x2+4xx+2]既不是偶函數也不是奇函數.

③ 因為[f-x=4--x2-x+3-3=4-x23-x-3≠fx]，且[f-x≠-fx]，

所以函數[fx=4-x2x+3-3]既不是偶函數也不是奇函數.

④ 因為[f-x=-x2-16+16--x2=x2-16+]

[16-x2=fx]，

所以函數[fx=x2-16+16-x2]是偶函數.

師：請大家對4名同學的解題過程一一進行評判，并說說自己的理由.

生7：第①題做錯了，不需要判斷[f-x]與[fx]的關系，因為表示定義域的區間是左開右閉區間，[f2]有意義但[f-2]無意義，所以所求函數既不是奇函數，也不是偶函數.

師：不錯，[f2=24]而[f-2]無意義，一個反例就可以說明該函數不具備奇偶性，求解錯誤的原因是什么？

生7：在未考慮函數定義域的情況下，急于尋求[f-x]與[fx]之間的關系.

師：說得非常正確.

生8：第②題也錯了，將[fx=2x2+4xx+2]化簡為[fx=2x]，可知函數[fx]是奇函數.

生9：老師，生8的評價是錯誤的. 對于函數[fx=][2x2+4xx+2]而言，[f-2]無意義但[f2]有意義，因此沒必要對[fx]進行約分化簡了，該函數仍然不具備奇偶性，錯因仍然是沒事先考慮定義域關于原點的對稱性.

問題3：函數具有奇偶性的前提條件是什么？

生：按照函數奇偶性的定義，[x]和[-x]的取值必須同時有意義，也就是定義域本身要關于原點對稱.

師：對，判斷函數是否具有奇偶性，首先應該考查定義域，若定義域關于原點對稱，再考查[f-x]與[fx]的關系. 繼續探究③和④.

生10：第③題正確，可以先由[4-x2≥0，x+3-3≠0]解得該函數的定義域為[x∈-2，0?0，2]，進而確定[f-x]與[fx]既不相等也不相反，因此該函數不具備奇偶性.

生11：我反對，既然求出了函數的定義域[x∈-2，0?][0，2]，則可知[1≤x+3≤5]且[x+3≠3]，那么[fx]就可以等價化簡為[fx=4-x2x+3-3=4-x2x]，因此[f-x=][-fx]，故函數[fx]是奇函數.

師：嗯，很好！在確定函數的定義域關于原點對稱后，要注意對函數[fx]的解析式進行化簡.

生12：第④題正確，函數的定義域為[-4，4]，關于原點對稱，且[f-x=fx]，所以該函數是偶函數.

師：你的觀察是否具體？

生13：生12的表述不完整，這個函數的圖象僅由[-4，0， 4，0]這兩個點構成，其不僅關于原點對稱，而且關于[y]軸對稱，所以該函數既是奇函數又是偶函數.

師：分析問題要看問題的本質，不能生搬硬套.

【設計意圖】對于學生解題中出現的錯誤，教師適當指導學生究錯而不是直接指出. 與學生的思維緊密契合，設法引導學生體驗挖掘解題疏漏中的成就感，從而提升學生的質疑精神和自主探究能力.

3. 課后揪錯

課后揪錯是指在課后把課堂評價或作業評價中積累的錯誤進行總結、提煉，建立錯誤檔案，以便在以后的學習中拓展思維，防止復錯.

（1）深度評價.

隨著教育改革的深入推進，高中數學深度評價已經成為衡量學生學習成果的重要手段，常見的評價方法主要包括書面測試、課堂表現評估、小組交流、課后任務和考試評測等. 書面測試可以檢驗學生對知識的掌握程度，可以采用定性的評價方式，利用觀察、訪談、建立檔案袋等方式調節學生學習上的錯誤行為，通過積極整改，確保深度學習的順利進行；課堂表現可以反映學生的參與度和思維活躍度，從學生的面部表情也能觀察出學生的學習效果；小組交流可以評估學生的合作能力和溝通能力；課后作業有助于檢驗學生對所學知識的運用能力；考試評測能夠評價學生的接受能力和綜合反應能力. 通過課后深度評價可以發現學生在數學理解能力方面的優勢和不足，進而有針對性地改進教學.

課后作業：（1）判斷下列函數的奇偶性.

①[fx=3x3-9x2x-3].

②[fx=ax+1x2].

③[fx=x+3+3-x].

（2）已知函數[fx]，[x∈R]，若對于任意[a，b∈R]都有[fa+b=fa+fb]，求證：[fx]是奇函數.

（3）若函數[fx=2x+1x+ax]是奇函數，則[a]的值為" " " " "；

（4）設函數[fx=x+12x2+1]的最大值為[M]，最小值為[N]，則[M+N]的值為" " " " "；

（5）已知函數[y=fx]是定義域為[-1，1]的奇函數，在[0，1]上單調遞減，若[f1-a2+f1-alt;0]，則實數[a]的值為" " " " ".

【設計意圖】通過作業可以掌握學生對所學知識的理解深度，從數學認知、解題策略、思維品質等方面評判是否需要對學生進行二次指導. 深度評價注重對學生數學領悟、思維過程和邏輯推理能力的評價，而不局限于對學生知識掌握程度的評價.

（2）整理歸錯.

奇偶性是函數的基本特性之一，絕大多數學生在學習這個概念后會覺得比較容易理解，但是在實際應用過程中卻非常容易出錯. 因此，有必要對函數奇偶性的判斷誤區進行分類整理，歸納錯誤.

① 忽視定義域對稱. 判斷函數的奇偶性，應該先確定函數的定義域，函數定義域要關于原點對稱，否則函數不具備奇偶性. 要樹立定義域優先意識.

② 忽視函數解析式化簡. 若函數的解析式能化簡則要先化簡，轉化意識要強，可以提高解題效率，避免出錯.

③ 忽視函數本質. 函數本質可以理解為由定義域經過一種對應法則對應到值域的變化關系，定義域必須是非空數集，哪怕定義域只有一個數仍符合函數概念. 有的學生認為一系列孤立的點不是函數圖象，這種認識錯誤產生的原因是對函數本質的不理解.

④ 忽視特殊值. 對應已告知函數具備奇偶性的復雜題型，可以采用特殊值快速處理. 例如，若奇函數在[x=0]處有定義，則滿足[f0=0]；在[x=a]處有定義，則可用[f-a=-fa]進行求解. 特殊值的運用能夠簡化運算.

⑤ 忽視分段函數的奇偶性. 部分學生對分段函數奇偶性的判斷感到迷茫，主要原因在于對分段函數的意義理解不透徹.

【設計意圖】對作業、測驗、答疑等過程中學生易錯的、頻錯的、模糊不清的問題進行歸類整理，以便在下節課中有針對性地糾錯，提高學生的學習效率. 同時，有助于教師發現學生在知識掌握上的薄弱環節，為教學策略的調整提供依據.

三、教學思考

1. 教學內容要甄選

運用“三錯八措”模式進行教學，能夠實現深度教學目標，從而取得較為滿意的教學效果. 需要注意的是，并不是所有的教學內容都適用“錯中措”模式，教師需要甄選教學內容. 例如，對數學核心概念、數學史的講授不宜設置“錯誤”，而對于概念、定理的應用及解題方法的探索等內容，則適宜采用該模式實施教學. 教學時，教師稚化思維，切身感受學生對基本概念、原理的理解和掌握情況，引導學生通過自主探索、實例分析等方式深入理解數學知識.

2. 教師“表演”要到位

在課堂究錯過程中，遇到錯誤，教師要稚化思維，佯裝不知，沿著學生的錯誤思路行進，讓學生經歷錯誤、發現錯誤，進而解決錯誤，此時教師的“表演”要到位. 在教學“表演”中，教師的語言直接影響著信息的傳遞效果，教師要注意對聲音的掌握，包括音量、語速、語氣等. 適當提高音量可以吸引學生的注意力，恰當的語速可以保持課堂教學進度的緊湊性，多變的語調可以使語言更具感染力. 教師在進行語言表達的同時，還要注意運用肢體語言，可以通過手部動作、面部表情、眼神交流等與學生建立更緊密的聯系，增強課堂表現力，激發學生參與課堂教學的熱情.

3. 教學“錯誤”要適度

“適度”是萬事之道，部分教師主張錯誤展示愈多愈有益，但事實并非如此，過多的錯誤不僅無法促進學生發展，反而會帶來一些負面影響. 具體而言，過多的錯誤會使學生感到教師知識水平低下，削弱教師在學生心目中的知識權威地位. 擇善守中，過猶不及，教師在呈現錯誤時，要綜合考慮學生的學習狀態，以及知識教學的重點和難點，在恰當之處留下寶貴的錯誤.

總之，運用稚化思維理念教學即設身處地站在學生的角度實施教學，要抓住學生的易錯點，設計與課堂教學緊密聯系的有梯度的糾錯、究錯、揪錯環節. 因此，教師在利用“錯中措”模式進行教學時，需要以學生的實際情況為依據，把學生思維的最近發展區作為關注重點，以確保呈現的錯誤有質量，應對的措施有效果.

參考文獻：

［1］史寧中，王尚志.《普通高中數學課程標準（2017年版）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2018.

［2］張建良.“稚化思維”教學策略的理論與實踐研究［J］. 教學研究與評論（中學教育教學），2016（3）：21-24.