善用數形結合 提升思維品質

摘" 要：數形結合思想包含以形助數和以數輔形兩個方面：將數的問題利用形來觀察，揭示其幾何意義；將形的問題借助數來思考，分析其代數含義. 將數量關系和空間形式相結合，通過形的直觀性和數的精確性尋找解題思路. 在高中數學學習中，數形結合的策略被廣泛采用，其核心在于精確構建圖形、辨識數量關系，以及運用恰當的邏輯推理方法. 這種策略能夠拓展數學思維的深度與廣度，是數學學習中不可或缺的思維方式.

關鍵詞：數形結合；直觀理解；邏輯推理

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）04-0059-06

引用格式：柏任俊，李錚錚，賈春花. 善用數形結合" 提升思維品質［J］. 中國數學教育（高中版），2024（4）：59-64.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：“通過高中數學課程的學習，學生能夠提升數形結合的能力，發展幾何直觀和空間想象能力.” 鑒于數學學科固有的抽象本質，數形結合思想在數學教學中顯得舉足輕重——它如同一座橋梁，將那些看似遙遠與復雜的數學問題巧妙地轉化為直觀明了、富有生氣的畫面，不僅照亮了理解的路徑，也激發了學生對數學之美的感知與追求. 通過數形結合思想的引領，我們能夠更加全面、深入地理解數學的本質，從而更好地應用數學知識解決實際問題. 本文主要從“形”的多姿、“形”的直觀、“形”的深化、“數”的表征這四個方面闡述數形結合思想在高中數學教學中的應用.

一、“形”的多姿

數形結合的根基在于精確作圖，而非隨意勾畫. 隨意作圖可能導致錯誤的判斷. 因此，準確作圖是進行邏輯推理的關鍵. 在數形結合的過程中，重要的是深入挖掘圖形的幾何特征，觀察圖形的變化趨勢和增長速度. 同時，要平衡對數量關系和位置關系的關注，確保從數到形和從形到數的雙向思考，避免因圖形不準確而導致解題錯誤.

例1" 方程[2x=x2]的解的個數是（" " ）.

（A）[0]" " " " " （B）[1]

（C）[2] " " " （D）[3]

解析：此題所給方程是超越方程，只需要判斷解的個數而不需要求出具體的根，故而畫出函數[y=x2]和[y=2x]的圖象，確定兩個函數圖象交點的個數即可. 關鍵在于兩個圖象間的關系要準確地體現出指數函數幾何增長的特點. 在同一坐標系下，畫出函數[y=x2]和[y=2x]的圖象，如圖1所示，可以確定答案選D.

此題的易錯點在于學生只看到當[x=2]時，指數函數[y=2x]的圖象與二次函數[y=x2]的圖象的第二次相遇，沒有注意到當[x=4]時，指數函數[y=2x]的圖象與二次函數[y=x2]的圖象的第三次相遇，畫圖如圖2所示，最終錯選選項C.

變式：方程[ex=x2]的解的個數是（" " ）.

（A）0 （B）1

（C）2 （D）3

解析：此題與例1類似，只是想說明量變引起質變. 學生求解的難點在于不易判斷兩個函數的圖象在第一象限內是否有交點. 數形結合思想體現在當形不易判斷時，便需要借助數的邏輯力量. 我們可以從平均變化率的角度分析：在區間[0，1]上，[y=ex]的平均變化率為[e1-e01-0=e-1]，[y=x2]的平均變化率為[12-01-0=1]，故[y=ex]的增長速度比[y=x2]的增長速度快；在區間[1，2]上，[y=ex]的平均變化率為[e2-e12-1=e2-e]，[y=x2]的平均變化率為[22-122-1=3]，故[y=ex]的增長速度比[y=x2]的增長速度快；在區間[2，3]上，[y=ex]的平均變化率為[e3-e23-2=e3-e2]，[y=x2]的平均變化率為[32-223-2=5]，故[y=ex]的增長速度比[y=x2]的增長速度快，并且[y=ex]的增幅越來越大. 由于指數函數[y=ex]最后呈爆炸式增長，故我們可以判斷指數函數[y=ex]在第一象限內的增長速度一直比[y=x2]的增長速度快，由此可以判斷函數[y=ex]和[y=x2]在第一象限內沒有交點，結合圖3，可以判斷方程[ex=x2]的解的個數是[1]. 故答案選B.

例2" 方程[lgx+4=10x]的根的情況是（" " ）.

（A）僅有一個根

（B）有一個正根和一個負根

（C）有兩個負根

（D）沒有實數根

解析：此題仍然需要將問題轉化為兩個函數圖象的交點問題求解，關鍵在于對交點位置的判斷，判斷的依據是對相關數值大小的比較. 如圖4，在同一坐標系下，畫出函數[y=lgx+4]和[y=10x]的圖象，可以確定答案選C.

此題的易錯點之一是作圖不準確. 如圖5，在圖象與[y]軸交點的作圖處出現錯誤，錯選選項B. 正確的思路是要考慮當[x=0]時兩個函數值的大小，得到一個是[y=lg4]，另一個是[y=100=1]，且容易判斷出[lg4lt;1]，從而確定函數[y=10x]的圖象與[y]軸的交點在函數[y=lgx+4]的圖象與y軸的交點的上方.

此題的易錯點之二是認為函數[y=lgx+4]的圖象完全在指數函數[y=10x]的下方，錯誤作圖如圖6所示，進而錯選選項D. 學生要體會到“指數函數不僅增得快，降得也快”. 當[x=-1]時，兩個函數值一個是[y=lg3]，另一個是[y=10-1=0.1]，且能夠通過指數、對數的運算，確定這兩個數的大小關系，將[0.1]寫成同底的對數，[110=lg10110]，易判斷[10110lt;3]，通過比較真數的大小，判斷出兩個函數在區間[-1，0]內必存在一個交點.

此類問題的本質在于考查函數的圖象和性質，求解過程中要關注函數值的變化幅度，判斷函數圖象的位置關系，通過數的運算、不等關系的確定，比較一些數值的大小，判斷出交點存在的區間，本質是變化率和數的級別問題.

二、“形”的直觀

在數學學習中，有許多看似普通的題目，但實際上卻是我們熟悉的圖形的代數表達. 挖掘并識別這些圖形的幾何特征，對于解決問題、適應問題的變化，以及深入理解數學的本質，都具有極大的促進作用，我們先看下面兩道例題.

例3" 證明：[lnx≤x-1].

證明：設[hx=lnx-x+1][xgt;0]，

則[hx=1x-1].

令[hx=0]，得[x=1].

當0 lt; x lt; 1時，[hx]gt; 0；當x gt; 1時，[hx]lt; 0，

所以函數[hx]在區間[0，1]單調遞增，在區間[1，+∞]單調遞減.

所以當x = 1時，[hx]取得最大值[h1=0].

所以[hx≤0]，

即[lnx≤x-1].

例4" 設函數[fx=ex-lnx+2]，證明：[fxgt;0].

證明：由題意，得[fx=ex-1x+2].

顯然[fx=ex-1x+2]在區間[-2，+∞]上單調遞增.

因為[f-1=e-1-1lt;0]，[f0=12gt;0]，

所以[fx]在[-2，+∞]上有唯一零點[x0]，[x0∈][-1，0]，即[fx0=0].

當[-2lt;xlt;x0]時，[fxlt;0]，

所以[fx]在區間[-2，x0]上單調遞減.

當[xgt;x0]時，[fxgt;0]，

所以[fx]在區間[x0，+∞]上單調遞增.

故[fxmin=fx0=ex0-lnx0+2].

因為[fx0=ex0-1x0+2=0]，

所以[ex0=1x0+2].

兩邊取以[e]為底的對數化簡，得[x0=-lnx0+2].

所以[fx0=ex0-lnx0+2=1x0+2+x0=x0+12x0+2gt;0]，

即[fxmingt;0].

所以[fxgt;0].

顯然，這種證法對學生邏輯推理和運算能力的要求比較高. 那么，有沒有更簡單的方法呢？例3和例4之間有沒有關聯呢？例3的結論對解決例4有何啟示呢？下面我們對例3進行深入分析，充分挖掘其代數結論背后的幾何背景，以此展現數形結合思想中蘊含的豐富價值和深刻內涵. 這樣的探索不僅能提升解題能力，還能深化對數學概念的理解和應用.

拓展1：曲線間的位置關系.

[lnx≤x-1]表示的圖象的含義是：除點[1，0]外，函數[y=lnx]圖象上的點都在點[1，0]處的切線[y=x-1]的下方，如圖7所示. 此外，還能得到如下一些相關不等式的結論.

結論1：[ex≥x+1].

推導過程：用[x+1]代替[lnx≤x-1]中的[x]，整理后得到[lnx+1≤x]，化為指數式后得到：[ex≥x+1]. 它表示的圖象含義是：除點[0，1]外，函數[y=ex]圖象上的點都在點[0，1]處的切線[y=x+1]的上方，如圖8所示.

結論2：[lnx≥1-1x].

推導過程：用[1x]代替[lnx≤x-1]中的[x]，整理后得到[lnx≥1-1x]. 它表示的圖象含義是：當[xgt;0]時，除點[1，0]外，函數[y=lnx]圖象上的點都在曲線[y=1-1x]的上方，如圖9所示.

拓展2：借助拓展1的結論，可以跨越指數函數與切線、對數函數與切線直接構成指數函數和對數函數之間的多個結論.

結論3：[exgt;lnx+2].

推導過程：用[x+2]代替[lnx≤x-1]中的[x]，整理后得到[lnx+2≤x+1]，由結論1可知[ex≥x+1]，故[ex≥x+1≥lnx+2]. 因為等號取得條件不一致，所以當[xgt;-2]時，[exgt;lnx+2]成立，對應圖象如圖10所示. 這正好就是例4要解決的問題.

類似地，我們還可以得到以下幾個結論.

結論4：當[xgt;0]時，[ex-1gt;lnx+1]. 對應圖象如圖11所示.

結論5：當[xgt;0]時，[ex≥ex≥elnx+1]. 對應圖象如圖12所示.

綜上所述，從例3這個簡單的導數問題出發，通過拓展1，我們發現了一系列熟悉的函數圖象關系，由拓展2，我們發現了例4實際上就是例3的變形. 借助這種思路，我們還可以開拓更加豐富的圖形和代數命題. 這種探究方式，是數學發現的重要途徑.

代數式背后可能隱藏著豐富的幾何意義，而幾何圖形又能展現多樣的代數結構. 這樣的轉換使得抽象問題變得具體，復雜問題變得簡單. 正所謂“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，利用數形結合思想不僅能夠深刻揭示數學問題的本質，還能構建一個充滿變幻的數學世界. 靈活運用數形結合思想，不僅能夠提升思維品質，還能增強數學技能.

三、“形”的深化

在處理圖象和圖形問題時，單一的屬性通常不足以描繪完整的圖象. 例如，根據角度，三角形可以細分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形；直角三角形又可以進一步分為等腰直角三角形和非等腰直角三角形. 因此，在學習數學的過程中，我們不僅需要積累模型和經驗，還應該敏銳地捕捉不同個體之間的細微差異.

在導數知識的應用中，對函數單調性的研究是十分重要的. 但是，僅研究單調性而忽略圖形的差異，也有可能導致結論錯誤.

例5" 求函數[fx=xex]的圖象與直線[y=1]交點的個數.

下面給出兩名學生的不同解法.

生1的解法：由題意，得[fx=exx+1].

令[fx=0]，得[x=-1].

當[xlt;-1]時，[fxlt;0]；

當[xgt;-1]時，[fxgt;0.]

所以函數[fx]在區間[-∞，-1]上單調遞減；在區間[-1，+∞]上單調遞增.

所以函數[fx]的最小值是[f-1=-1elt;0]. 如圖13，函數[fx=xex]的圖象與直線[y=1]有兩個交點.

生2的解法：令[xex=1]，解得[ex]=[1x]，問題轉化為求函數[y=ex]和[y=1x]圖象交點的個數. 由圖14可知，函數[y=ex]和[y=1x]的圖象只有一個交點.

以上得到了兩種不同的結論，顯然生2的答案是正確的. 其實，生1得到的函數單調性和函數最小值是正確的，只是在畫函數圖象的示意圖時想當然地認為函數圖象的單調遞減就是“從天而降”，單調遞增就是“一怒沖天”，而忽略了指數函數[y=ex]在[x→-∞]時[ex→0]的特點，導致答案錯誤.

實際上，[fx=xex]只在x = 0處存在一個零點. 當[xgt;0]時，函數[fx=xexgt;0]恒成立，且函數無最大值，其圖象與直線[y=1]必有一個交點；當[xlt;0]時，函數[fx=xexlt;0]恒成立，其圖象與直線[y=1]無交點. 也就是說，圖13中[y]軸左側的圖象是錯誤的，[fx=xex]的圖象不能夠穿過[x]軸，即其在[y]軸左側的圖象表現為“上不來”“不穿軸”，函數[fx=xex]正確的示意圖應該如圖15所示，所以函數[fx=xex]的圖象與直線[y=1]只有一個交點.

對于函數的圖象和性質，僅研究單調性是不夠的，還需要增加關于函數變化趨勢的研究，尤其是與指數函數、對數函數、反比例函數相關的初等函數，[y=ex]，[y=lnx]，[y=1x]等函數的圖象受漸近線的影響，會改變走勢，故不能夠仿照二次函數、三次函數的圖象畫示意圖.

在數學學習和解題過程中，要善于運用數形結合的方法來尋求解題途徑，制訂解題方案，養成數形結合思考的習慣. 解題時先想圖，再以圖輔助解題. 用好數形結合思想，能收到事半功倍的效果.

四、“數”的表征

數學以其公理化和形式化的特性而著稱，我們有必要理解那些抽象符號和多樣的代數表達式所蘊含的幾何意義，這樣才能利用圖形和圖象有效地解決問題.

例6" 某棵果樹前[n]年的總產量[Sn]與[n]之間的關系如圖16所示，從目前記錄的結果來看，前[m]年的年平均產量最高，則[m]的值為（" " ）.

（A）[5] （B）[7]

（C）[9] （D）[11]

解析：年平均產量即[Snn]，也就是圖形中的點和原點連線的斜率. 明確了這一點，對此題的求解就只需要由原點出發作直線（如圖17），在圖上各點之中找到斜率最大的點即可. 故答案選C.

此題背景簡單，敘述簡潔，既是應用題，又是創新題，考查的知識與數列的和密切相關，雖然沒有數值運算，但是考查了最值的發生時刻. 解題時可以代入[n=1，2，3]求解，以理解年平均產量[Snn]的概念；也可以借助數的特征快速求解. 解題方法比較靈活，較好地體現了數學本質.

例7" 已知函數[fx=log2x+1]，且[agt;bgt;cgt;0]，則（" " ）.

（A）[faagt;fbbgt;fcc]

（B）[fccgt;fbbgt;faa]

（C）[fbbgt;faagt;fcc]

（D）[faagt;fccgt;fbb]

解析1：構建函數[gx=fxx=log2x+1x]，利用函數的單調性比較大小，這樣做的缺點是運算量較大.

解析2：我們可以將[faa， fbb， fcc]分別看成[fa-0a-0， fb-0b-0， fc-0c-0]，它們分別表示函數圖象上的點[Aa，fa，Bb，fb，Cc，fc]與原點連線的斜率. 如圖18，通過作圖定性分析可以發現[kOCgt;kOBgt;kOA]，所以[fccgt;fbbgt;faa]. 故答案選B.

通過對比容易看出，利用數形結合求解直觀且容易接受，避免了復雜的求導變形，也減少了計算量，更容易讓學生接受.

用函數解析式、函數方程、函數不等式來表達圖象的性質，進而利用這些性質對問題進行轉化和解答，可以避免直譯和直接代入進行運算. 數形結合對數學問題求解具有重要價值，需要認真作圖、識圖，掌握數學的基本特征，尋找運動變化的關鍵時刻位置.

解決數學問題通常是一個多層次、多角度的思維過程，每個人對問題的理解都有差異. 數形結合不僅是一種數學思想方法，更是一種重要的思維方式，它能夠讓抽象的問題變得直觀，讓復雜的問題變得簡單. 因此，在未來的數學學習和研究中，我們應該恰當地運用數形結合思想，提升數學思維的深度與廣度，享受數學帶來的樂趣.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.