HPM視角下的“余弦定理”教學活動設計

摘 要：在素質教育新課改的大背景下，越來越多的一線教師意識到數學史與數學文化的內隱教育價值.在命題教學實踐中融入數學史元素，不僅可以追本溯源，還原命題的探究歷程，還能幫助學生代入歷史上數學家的視角去研究探索，體會命題發現的過程.余弦定理作為高中數學的重要定理之一，在高中數學體系占有重要地位.本文結合國內HPM研究成果，將數學史與數學文化融入“余弦定理”課堂教學.

關鍵詞：HPM；余弦定理；教學活動設計

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確指出：教師應該有意識地在日常教學中滲透數學文化，引導學生了解數學發展的過程、感悟數學的價值，提高學生的科學精神、應用意識和人文素養.［1］余弦定理作為高中數學的重要定理之一，搭建起了三角函數、平面幾何與向量的“橋梁”，但根據調查的教育實踐現狀來看，余弦定理的教學暴露出不少問題，例如教師重結果，輕過程，過于注重定理的應用，而忽視了學生對知識的生成過程，導致學生對定理公式的機械記憶，容易將公式與幾何圖形脫離開來.［2］下面筆者將結合國內HPM的研究結果，對余弦定理進行教學活動設計.

1 HPM理論概述

HPM（History and Pedagogy of Mathematics，數學史與數學教育）研究內容主要有如何以及為何要將數學史融入教學、歷史相似性、教育取向的數學史研究、數學史融入數學教學的實踐和數學教師專業發展.關于如何將數學史融入課堂教學，Furinghettil提出了數學歷史材料準備的路徑模式：瀏覽數學史文本資料—選取相關歷史片段或人物—研究原始史料文獻—準備教學材料.在國內HPM研究領域，汪曉勤等學者關于HPM開發課例提出了設計模式：選題與準備—研討與設計—實施與評價—整理與寫作.在國際與國內學者的共同努力下，HPM的教學研究愈來愈成熟，數學史的教育價值也得到普遍認可，逐漸成為一線教師教學設計的重要理論支撐.

2 教學要素分析

2.1 原始史料呈現

余弦定理在數學史上有兩種形式，分別是幾何形式和三角形式.幾何形式最早出現于歐幾里得的著作《幾何原本》，其中在第Ⅱ卷里面命題12、命題13給出了鈍角三角形和銳角三角形三邊之間的關系.［3］完整命題如下.

第Ⅱ卷命題12 在鈍角三角形中，一鈍角對邊上的正方形面積大于另兩銳角對邊上的正方形面積之和，其差為一矩形的兩倍，該矩形由一銳角的對邊和從該銳角（頂點）向對邊作垂線，垂足到鈍角（頂點）之間的一段所構成.

第Ⅱ卷命題13 在銳角三角形中，銳角對邊上的正方形面積小于兩銳角對邊上的正方形面積之和，其差為一矩形的兩倍，該矩形由另一銳角的對邊和從該銳角（頂點）向對邊延長線作垂線，垂足到原銳角（頂點）之間的一段所構成.

這就是余弦定理的雛形，結合具體圖形（如圖1、圖2所示）來看，第Ⅱ卷命題12實際表述為在鈍角三角形ABC中，c2=a2+b2+2am（a為鈍角外邊）.

第Ⅱ卷命題13實際表述為在銳角三角形ABC中，c2=a2+b2-2am（a為銳角外邊）.

歐幾里得通過“做高法”，巧妙利用勾股定理對上述兩個命題進行了證明.

由于當時數學知識和工具的限制，歐幾里得只得到了余弦定理的幾何形式.直到三角學的產生，斯內爾、瓦兒列里、愛默生等一批優秀的數學家才陸續推導出余弦定理的三角形式，即c2=a2+b2-2abcosC.

2.2 史料整合

蔡宏圣先生提出，數學的歷史已經無法選擇，但哪些史料進入課堂必須要經過選擇.［4］因此在進行教學活動設計時需要對原始史料進行整合提煉，甚至重組，不能為了融入數學史而硬塞，并且要根據教學以及學生的需要進行一系列調整，融入數學史必須為課堂教學服務.

一切拋開幾何背景和幾何方法的余弦定理教學，都不可能符合學生的認知規律，都不可能完美無缺.［5］雖然向量法證明余弦定理非常簡便，但是學生往往會一頭霧水，為什么關于三角形的定理不用平面幾何方法，而是要直接用向量法證明，所以在教學中可以適當增加平面幾何證明，然后再過渡到向量證明，這樣不僅符合學生的認知規律，而且可以彰顯向量這一數學工具的強大之處.

根據上面分析以及原始史料可以發現，在鈍角三角形中，m=bcos（π-C）=-bcosC；在銳角三角形中m=bcosC.分別代入上式，可以得到統一形式c2=a2+b2-2abcosC.因此在教學中可以直接讓學生推導出余弦定理.數學家推出三角形式的歷史過程在實際教學中可以簡單提及，讓學生了解即可.

綜上所述，筆者采用“從勾股定理出發—猜想一般三角形三邊關系—呈現歐幾里得部分命題—啟發學生用平面幾何證明（歐幾里得的勾股定理證明）—引導學生向量法證明—定理運用”的教學設計思路.

3 “余弦定理”教學活動設計

3.1觀察類比，提出猜想

師：初中的時候學習過勾股定理，即直角三角形的斜邊的平方等于兩直角邊的平方.關于一般三角形的三邊關系又是怎么樣的呢？下面請同學們觀察一些三角形的三邊長度（見表1）.

生（眾）：鈍角三角形中，鈍角對邊的平方大于另兩邊的平方和；銳角三角形中，銳角對邊的平方小于另兩邊的平方和.

【設計意圖】

開門見山回顧勾股定理，并結合具體三角形例子，引導學生猜想出鈍角三角形和銳角三角形三邊關系，明晰余弦定理的知識本源，并表明其與勾股定理的關系.

3.2 以史為鑒，探索證法

師：同學們通過自己的觀察，猜想了鈍角三角形和銳角三角形三邊之間的關系.然而早在兩千多年前，偉大的古希臘數學家歐幾里得也和同學們有相同的猜想.

猜想1 在鈍角三角形中，鈍角對邊上的正方形面積大于兩銳角對邊上的正方形面積之和.

猜想2 在銳角三角形中，銳角對邊上的正方形面積小于兩銳角對邊上的正方形面積之和.

問題1 仔細觀察上面的表述，三角形每條邊上的正方形可以想到什么？

生1：歐幾里得證明勾股定理時用的幾何圖形.

師：沒錯，我們來回顧一下勾股定理的幾何證明.（PPT展示圖3）

問題2 能否通過這個圖形的變形大致證實一下同學們的猜想？

生2：如圖4所示，以點C為圓心，作半徑為a的圓弧，在圓弧上任取一點B′，則△AB′C為鈍角三角形，并在每條邊上作正方形.

由勾股定理，得SACDE+SBCHI=SABFG，所以只需判斷SABFG和SAB′F′G′即可；銳角三角形的情形同理可得.

幾何畫板軟件展示圖4、圖5動態過程，當點B′在圓弧上運動時，學生仔細觀察SABFG與SAB′F′G′的大小變化關系.

生3：當△AB′C為鈍角三角形時，SABFG＜SAB′F′G′；當△AB′C為銳角三角形時，SABFG＞SAB′F′G′．

師：通過軟件演示，大致可以驗證同學們的猜想.但是數學是一門嚴謹的學科，猜想的證明一定需要用數學語言進行證明.那么我們接下來思考如何證明.

師（引導）：目前已知直角三角形三邊的關系，即勾股定理.如果要在一般三角形中進行運用，應該要想辦法構造直角三角形.

生4：可以通過“作高”分成兩個直角三角形.

師：非常棒！三角形可以作三條高，是否都能證明我們想要的結論呢？

學生分成6組行進嘗試證明，最后進行討論.

發現其中無論是鈍角三角形還是銳角三角形，都只有兩種作高的方法才可以證明出結論，下面分別展示其中的一種.

如圖6、圖7所示，作邊BC上的高h，設CD=m.

（1）∠C＞90°，由m2+h2=b2，（a+m）2+h2=c2，得c2=a2+b2+2am＞a2+b2.

（2）∠C＜90°，由m2+h2=b2，（a-m）2+h2=c2，得c2=a2+b2-2am＜a2+b2.

師：同學們非常棒，運用了兩次勾股定理證明了大家的猜想.其實當年歐幾里得也是用這樣的方法進行證明的，并將它們作為命題記錄在著作《幾何原本》中.

呈現歐幾里得完整命題（PPT展示）.

問題3 鈍角三角形和銳角三角形三邊平方的關系（如下），能否將二者統一起來？

當∠C＞90°時，c2=a2+b2+2am.

當∠C＜90°時，c2=a2+b2-2am.

師（引導）：兩個式子中都包含m，能否結合圖形用△ABC的邊或者角去分別表示兩個式子的m？

生5：當∠C＞90°時，m=-bcosC.當∠C＜90°時，m=bcosC.分別代入上式，可得統一形式：c2=a2+b2-2abcosC.

師：非常棒！同學們發現了這個統一的形式可以滿足鈍角和銳角三角形的三邊關系，那直角三角形也滿足這個關系嗎？

生6：滿足.因為∠C=90°，cosC=0，此時上式變為c2=a2+b2，即勾股定理.

師：通過猜想探究，我們得到了一個勾股定理的推廣形式，滿足一般三角形的邊角關系，這個公式我們稱之為余弦定理.

【設計意圖】

學生提出猜想之后，呈現歐幾里得的原始命題（此時應用“猜想”，而不是直接告訴學生“命題”）

引導學生利用勾股定理的原圖出發進行思考，幾何畫板軟件動態演示圖形變換，從數形結合上驗證學生的猜想.“問題串”引導學生自主探究證明猜想，呈現歐幾里得完整命題，總結命題，提煉出公式定理的整個過程，學生經歷了數學史上余弦定理的產生歷程，以數學家的視角去發現公式定理，不僅展示了余弦定理的歷史本源，而且有利于學生對該知識的深化.

3.3 轉換視角，推陳出新

剛剛的幾何證明略顯煩瑣，是否存在其他簡便方法？

師（引導）：上一節課我們學習了向量在物理中的應用，同學們研究用向量證明是否具有可行性？

生7：定理中的abcosC和向量的數量積很相似！感覺應該可行.

生8：如圖8所示，設CB=a，CA=b，AB=c，則c=a-b．

于是c2=c2=a-b2=a2-2a·b+b2=a2+b2-2a·b·cosC.

即c2=a2+b2-2abcosC.

同理可證a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB.

師：向量的證明竟是如此簡潔！看來向量是一種強大的數學工具.其實關于余弦定理的證明遠不止這兩種，比如利用射影定理和直角坐標系，皆可推導出余弦定理.

3.4 課堂小練，鞏固定理

例1 在△ABC中，已知a=5，b=2，c=19，求C．

例2 位于某海域有一小島A，在其正東方向相距30 nmile的B處有一艘游輪觸礁等待救援，此時救助船位于小島A的南偏西30°，已知救助船的航速為20 nmile/h，請問救生船需要多少小時才能到達游輪？

【設計意圖】

例題由淺入深，包含余弦定理運用的兩種情形：已知三邊求角；已知兩邊一角求邊.方便為學生總結歸納提供載體.選用航海背景例題，體現了余弦定理在測量定位方面的廣泛應用.

3.5 總結歸納，深化定理

教師可采用圖表形式幫助學生歸納總結（如圖9）.

4 結束語

數學課程標準中明確指出，數學研究過程要隨數學文化的發展而完善，數學文化則是通過數學史表現出來.余弦定理擁有豐富的歷史元素，教師在對其進行教學設計時，可以將數學史與數學文化的視角作為出發點，通過查閱原始史料，根據教學需要選擇適當的史料，設計符合學生認知發展規律的教學活動，發揮數學文化的內隱價值，培養學生探究猜想命題的能力，幫助學生厘清余弦定理的本質，讓素質教育落地生根.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］陳穎穎.基于HPM視角的余弦、正弦定理教學研究［D］.廣州：廣州大學，2022．

［3］歐幾里得.歐幾里得幾何原本［M］.西安：陜西科學技術出版社，2003．

［4］蔡宏圣.數學史走進小學數學課堂：案例與剖析［M］.北京：教育科學出版社，2016.

［5］汪曉勤.20世紀中葉以前的余弦定理歷史［J］.數學通報，2015，54（8）：9-13．