穩中有“變” 變中求“新”

摘 要：2023年安徽省中考數學試卷穩中有變，變化中有創新.深入研究可以發現，該份試卷既注重考查基礎知識、基本技能，又注重滲透基本思想和積累基本活動經驗.《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版課標》）中提出了九個數學核心素養，試題也特別關注對核心素養的深度考查，這必將為學生的全面發展、終身發展奠定基礎.

關鍵詞：中考數學；四基；核心素養；思維能力

筆者對2023年安徽省中考數學試卷進行分析，并提出一些教學思考和教學建議，供教師參考.

1 試卷的總體情況評析

安徽省中考數學試卷一直以追求穩定、特點鮮明、突出能力、著意創新為特色，以下僅從四個方面加以分析.

1.1 試卷結構穩定

試卷共23題，總分150分.依然設置選擇題、填空題和解答題三種題型.其中選擇題10題（計40分），填空題4題（計20分），解答題9題（計90分），保持了中考命題“硬件”方面的穩定性.

1.2 考點分布穩定

從考題涉及內容看，與《2022年版課標》要求完全一致，這樣的考點分布能促進教師主動地研讀《2022年版課標》，提高課堂效率.

1.3 試題難度穩定

試題結構仍然遵循由易到難的原則，在每類題型最后設置“壓軸”題，使得大部分考生都能得到基本的分數，體現了《2022年版課標》中“使得人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”.［1］當前中考是“兩考合一考”，本卷除第10、14、22、23題有一定難度或難度較大外，其他試題都以考查基礎知識、基本思想方法為主，這樣既保證了大部分學生都能達到初中畢業合格水平，同時也為數學能力較強的學生提供了充分發揮的舞臺，兼顧了中考的選拔功能.

1.4 試題特點鮮明

1.4.1 特點一：注重“雙基”，發展“四能”

《2022年版課標》指出，要持續注重“雙基”“四能”，是發展學生核心素養的基本體現.安徽省中考數學試卷堅持穩定第一，穩定不僅體現在考試時間、試卷結構、分值分布等方面，對基礎知識和基本技能的考查也相當穩定，即“高頻考點”基本不變.2023年也不例外，如相反數、三視圖、冪的運算、科學計數法、解不等式（組）、列方程（組）、因式分解、解直角三角形、格點圖形變換、勾股定理、概率、統計、數學建模、函數圖象、合情推理、三角形、四邊形等知識點均在考題中有呈現，有的考點甚至多次出現.這說明了考查“雙基”（基礎知識、基本技能）仍是重中之重，在考查“雙基”的同時，還兼顧了基本數學思想方法和基本數學活動經驗的考查，如第10題的幾何最值問題、第14題的函數與幾何綜合問題、第23題的函數圖象中圖形面積的探究問題等.

1.4.2 特點二：文化自信，滲透傳統文化

中華優秀傳統文化是中華民族長期實踐中積累并傳承的寶貴精神財富，也是激發海內外中華民族子孫文化認同感、文化歸屬感和文化自信心的重要依托.［2］2023年中考數學試卷在考查數學知識的同時，滲透了中華優秀傳統文化，如第13題以 “三斜求積術” 為情境，使學生能夠了解社會實際、感受中國傳統文化的博大精深和我國數學研究的悠久歷史，增強民族自豪感. 在義務教育階段，推進融合傳統文化與基礎學科教學和民族文化素養提升是當代初中教育教學重要目標之一，將傳統文化與初中數學教學相結合，也是提升初中生數學核心素養的重要途徑.

1.4.3 特點三：重視代數，提升運算能力

《2022年版課標》中新增的“學業質量”內容，為中考命題提供了重要依據. 具體而言，要將《2022年版課標》中的內容要求細化為可操作的目標解析，進而命制試題.比如第11，13，15，16，18，19題中都重點考查了代數運算，其他題目中也滲透了代數運算，因此，準確理解和把握學業質量的關鍵要素和核心要義，命制考查運算能力、抽象能力、模型觀念的試題，對于數學核心素養的落地生根具有重要意義.

1.4.4 特點四：注重通性通法，提升思維能力

試題淡化特殊技巧，注重解決數學問題的通性通法的深入考查，促進學生將知識和方法內化為自身的知識結構，凸顯數學學科核心素養的考查，服務“雙減”政策實施，助力基礎教育提質增效.比如第10、22、23題都可以運用基本方法進行解決，通過對動態的特殊四邊形的考查，體會幾何最值的基本解決路徑，考查學生綜合應用三角形、圖形變換、勾股定理等基本知識觀察問題、分析問題和解決問題的能力.

1.4.5 特點五：穩定第一，堅持不斷創新

2023年安徽中考數學試題題量、題型與往年相同，繼續保持中考命題的穩定性和連續性，部分試題立意新穎，充分滲透數學核心素養，且解法多樣，具有一定的創新性、前瞻性.在考查方向上，注重體現基礎知識、突出思維能力的特點；在考查內容上，彰顯出基礎性、應用性和綜合性；在知識立意上，考查考生的數學核心素養及分析問題和解決問題的能力.全卷梯度合理，區分度高，多層次地考查了學生的核心素養和創新能力，具有良好的教學導向性.

2 試題賞析

2023年安徽省中考數學試題精心命制，亮點紛呈，以下僅對2023年幾道典型試題進行評析，供大家欣賞.

例1 （第9題）已知反比例函數y=kx（k≠0）在第一象限內的圖象與一次函數y=-x+b的圖象如圖1所示，則函數y=x2-bx+k-1的圖象可能為（ ）.

分析：本題將一次函數、二次函數和反比例函數融為一題，綜合考查了它們的圖象與性質.由一次函數與反比例函數的圖象在第一象限有兩個公共點，知kgt;0，bgt;0.根據公共點的意義，把（1，b-1）代入y=kx中，可得k=b-1，所以二次函數y=x2-bx+b-2，即y=x2-（x-1）b-2，故拋物線經過定點（1，-1），最后根據二次函數的性質可得選項A正確.當然，本題也可以用排除法先排除C、D，從而提高正確率.

解答：由于一次函數y=-x+b的圖象經過第一、二、四象限，且與y軸交于正半軸，所以bgt;0.由y=kx的圖象經過第一、三象限，知kgt;0.函數y=x2-bx+k-1的圖象開口向上，對稱軸為直線x=b2gt;0.由圖象可知，y=kx與y=-x+b的圖象有兩個交點（1，k）和（k，1），所以-1+b=k，即b=k+1.

對于函數y=x2-bx+k-1，當x=1時，y=-1，故二次函數的圖象過點（1，-1）.又y=kx與y=-x+b的圖象有兩個交點，所以方程kx=-x+b，即x2-bx+k=0有兩個不等的實根，所以Δ=b2-4k=（k+1）2-4k=（k-1）2gt;0，所以k-1≠0，故當x=0時，y=k-1≠0，所以二次函數的圖象不經過原點，故符合以上條件的只有A選項.

本題將初中階段所學的函數知識集于一題，綜合考查了一次函數、二次函數和反比例函數的圖象與性質，以及函數與方程思想、數形結合思想等，可見命題者煞費苦心，同時對學生全面掌握初等函數知識提出了更高要求，題目難度不大，但綜合性強，作為選擇題的次壓軸題，恰到好處.

例2

（第10題） 如圖2，已知等邊△ADE和等邊△BCE，且在AB的同側，P、F分別為CD、AB的中點，點E在線段AB上，若AB=4，下列說法錯誤的是（ ）.

分析：本題以“雙等邊三角形”為背景，考查由對稱性求兩線段之和的最小值，對于這個模型學生大都較為熟悉，可謂“有法可依”.重點考查變化中的不變性，解決A、B選項中線段之和的最小值，故聯想到“將軍飲馬”來進行解決，找出點P的運動路徑是解決此問題的關鍵，也就是找到“將軍飲馬”中的這條“河”.可以通過補全大的等邊三角形來探尋點P的運動狀態，由所構成的平行四邊形DECG可推出，P為GE的中點，即易證點P在中位線MN上.

解答：如圖3，延長AD、BC交于點G，易得△ABG為邊長為4的等邊三角形，四邊形CEDG為平行四邊形；P為CD中點，P為平行四邊形CEDG對角線交點，可知點G、P、E三點共線，故點Р為GE中點.作PM∥AB交AG于M，交BG于N，由推論得M、N分別為AG、BG中點，可知點P在中位線MN上.如圖4，補全等邊三角形ABG，過點P作AB的平行線，作B的對稱點B′，連接AB′，則AB′為PA+PB的最小值.BB′=FG=23，AB′=42+（23）2=27，故選A.

本題考查的動點軌跡問題，體現了初高知識銜接，也體現了思維與操作相結合.美中不足的是本題可以根據特殊點法來進行運算，根據特殊點也能猜出答案，從而影響試題的信度.另外A選項直接為正確選項，會使學生直接作答，從而使B、C、D三個選項意義不大.

例3 （第14題）如圖5，O是坐標原點，Rt△OAB的直角頂點A在x軸的正半軸上，AB=2，∠AOB=30°，反比例函數y=kx（k＞0）的圖象經過斜邊OB的中點C.

（1）k=____.

（2）D為該反比例函數圖象上的一點，若DB∥AC，則OB2-BD2的值為____.

分析：本題綜合考查一次函數和反比例函數的性質，并將反比例函數與幾何綜合，根據正方形的性質求線段長，一次函數與反比例函數的交點問題等.借助于幾何知識來研究和分析反比例函數.

本題新穎有趣，將反比例函數與幾何知識相結合，利用幾何知識計算是本質.同時考查分類討論、數形結合等基本數學思想，題目形式上也有創新.作為填空題的壓軸題，設置兩空題，第一空考查基礎知識，第二空考查學生的思維能力.在計算不復雜的前提下，綜合考查了學生的“四基”以及運算推理和空間想象能力，如此全面體現，著實讓人感到奇妙.

例4 （第22題）在Rt△ABC 中，M是斜邊AB 的中點，將線段MA繞點M旋轉至MD位置，點D在直線AB外，連接AD，BD.

（1）如圖6，求∠ADB的大小.

（2）已知點D和邊AC上的點E滿足ME⊥AD，DE∥AB.

（i）如圖7，連接CD，求證：BD=CD.

（ii）如圖8，連接BE，若AC=8，BC=6，求tan ∠ABE的值.

分析：本題難度中等，全面考查了三角形內角和定理，菱形的性質與判定，平行線分線段成比例，相似三角形的性質與判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，求正切，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵.本題還可以用直徑所對圓周角、四點共圓簡化求解，解法滿足不同層次學生的思路與證法.

解答：（1）∵MA=MD=MB，∴∠MAD=∠MDA，∠MBD=∠MDB.

在△ABD中，∠MAD+∠MDA+∠MBD+∠MDB=180°，∴∠ADB=∠ADM+∠BDM=180°÷2=90°.

（2）（i）如圖9，延長BD、AC，交于點F，則∠BCF=90°.

因為ME⊥AD，∠ADB=90°， 所以EM∥BD.又DE∥ AB，四邊形BDEM是平行四邊形.所以DE=BM﹒因為M是AB的中點，所以AM=BM，DE=AM .從而四邊形AMDE是平行四邊形.又ME⊥AD，所以四邊形AMDE是菱形，從而AE=AM .因為EM∥BD，所以AEAF=AMAB，所以AB=AF.又∠ADB=90°，即AD⊥BF，所以BD=DF，即點D是Rt△BCF斜邊的中點.故BD=CD.

本題難度不大，基本不需要大動干戈地作輔助線，不需利用多次全等或者相似，所以只要基礎扎實，不難得到滿分，平時訓練應側重于基本圖形的拆解，難度大的題目要及時解構，拆解成小的幾何圖形解析.

3 教學建議

3.1 重視“雙基”教學，培養核心素養

基礎知識和基本技能是形成核心素養的主要載體，“雙基教學”亦然是培養核心素養教學的有機組成部分，在培養學生核心素養有著不可替代的作用，需要我們堅守.2023年中考試題以數學應用、數學推理、數學交流為核心，多角度、多層次對抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數據觀念、模型觀念、應用意識、創新意識等初中數學核心素養進行全面考查，利于學生在高中學段數學核心素養的持續發展，同時，引導初中教師關注學生在初中學段數學核心素養基礎的形成與發展.

《2022年版課標》指出“會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”.試題的編制注重數學知識與現實生活的聯系，注重創新意識的考查，引導課堂教學關注思維過程與方法，考查學生在實際情境中分析問題、解決問題的能力，從中抽象出不同的數學模型，并利用數學知識解決實際問題，切實提高學生的應用意識和能力.

3.2 注重通性通法，夯實教學基本功

試題注重運用數學思維方式進行思考，增強學生閱讀理解能力、探究性學習能力，引導學生抓住數學本質、數學規律來解決問題.試卷重視數學基本思想方法的考查，如第22題各小題的設計梯度合理，層層遞進，由易到難；第23題立足圖形運動，考查學生的空間觀念，其中第（2）小題是二次函數與幾何圖形相結合的綜合問題，突出二次函數圖象的作用和數形結合的思想方法，化難為易.數學思想方法是數學的精髓和靈魂，是學生形成良好認知結構的紐帶，是知識轉化為能力的橋梁，教師要在日常教學中逐步滲透，并且讓學生多感悟，要能夠應用到數學學習和問題解決中，在學習中反思，在反思中改進，在學習應用的過程中不斷積累進一步學習的經驗.

3.3 加強變式練習，提升思維能力

在課堂教學中，要有計劃、有目的地設計一些—題多解、一題多變、一法多用等習題，培養學生全方位、多層次探索問題的能力，發展思維，為培養學生多向思維能力打下基礎.一題多變是指對已講已做的例題、習題的題設條件或結論進行適當變化，從而構造一系列新題目.然后再對新題進行研究、分析，從而大幅度提高學生的解題水平.在教學時，采用一題多問、一題多變的練習形式來發散學生的思維，這樣可以培養學生思維的靈活性和多向性.［3］通過一題多變，學生對這個問題就能融會貫通，更重要的是培養了一題多變的思維能力，使學生從各個角度辯證地看待問題，促使淺層思維向深度思維過渡.從近幾年安徽省中考試題來看，幾乎大部分試題都源于教材，或者是在原題的基礎上進行演變、拓展或組合.因此，在對教材進行知識梳理的過程中，除搭建知識框架外，也要注重對典型例題的變式訓練，舉一反三，提高學生的應變能力.

3.4 重視歸納總結，提高學習效率

數學學習需要大量做題去鞏固，但做題不能只追求數量，更要講究質量，遇到經典題或“好題”，綜合性高的題目時，每道題寫完解答過程后，需要進行歸類分析和反思，知其然并知其所以然，這樣才能把題真正做透.建議學生整理錯題、易錯題型或重難點題型，形成自己的個性化題集，對于這個題集，如果平時堅持整理，可以不斷地豐富和完善，再進行定期復習，對于那些已徹底掌握的內容，可以做個標記，以后就不用再次復習，這樣的題集必將使學習效率大幅提高.

參考文獻

［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］ 程麗雲，張新全.堅持素養立意 突出育人價值 聚焦關鍵能力——2022年安徽省中考數學試卷評析［J］.中學數學雜志，2023（2）：58-62.

［3］朱浩，王敏敏. 立根源在課本中 夯實基礎促提升——對2022年安徽中考數學第23題的啟示［J］.理科考試研究， 2023，30（4）：29-31.