基于學習進階的高中數學教學過程設計研究

摘 要：基于學習進階的高中數學教學過程設計對于培養學生的數學核心素養具有重要的作用.介紹學習進階的內涵、組成要素及其層級分類，解讀教材中有關直線與圓的位置關系的要求，分析教學內容以及學生學情，構造直線與圓的位置關系的學習進階，進行直線與圓的位置關系的教學過程設計.

關鍵詞：學習進階；教學過程；進階維度

初中階段學生已學習過直線與圓的位置關系并對直線與圓的位置關系有了定性的認識，而在高中階段的學習中，還要求學生對直線與圓的位置關系有定量的認識.基于學習進階理論，依據學生認知情況、學習基礎和教學內容構建學習進階，層層遞進，從而使學生達到預期的思維水平，促進學生知識與技能的提升.本文以直線與圓的位置關系為例，說明如何開展基于學習進階的直線與圓的位置關系的教學過程研究.

1 學習進階

1.1 學習進階理論

1.1.1 學習進階的內涵

學習進階的概念是指在一段特定的時間范圍內，學生在學習和研究的過程中學習內容由淺入深、循序漸進，思維不斷地實現進階的過程，以此來提高學生的數學思維，使其數學思維變得連續有條理，符合學生的認知水平和規律.［1］因此，基于學習進階的數學教學和學習更有層級性、針對性和邏輯性，學生在已有知識的基礎上，經過進階的學習過程，達到期望的學習水平，以此來提高數學核心素養.

1.1.2 學習進階的組成要素

第一，進階起點，是在學生現有的知識水平的基礎上劃分得到的起點，是學習進階研究的第一步.

第二，進階層級，即中間水平，位于起點和終點之間，一般包含多個層級，是進階起點通向終點的不可或缺的進階階段，每一個層級都有其存在的重要意義，學生在每一個層級的學習水平和要求不同，按照層級依次來反應學生的認知水平.

第三，進階終點，亦稱學習表現，指在學習進階起點的基礎上經過一系列的學習以后所具備的學習表現.進階終點的確定是由課程標準以及對學生的學習期望兩部分構成的.

本文以高中的視角研究初、高中數學教學銜接，探討學生從初、高中兩個學段學習直線與圓的位置關系時應遵循的路徑和方法.

1.1.3 學習進階層級的分類

近年來，學習進階理論被越來越多的教育工作者應用到教學實踐中去，也取得了良好的教學效果.根據郭玉英教授們提出的科學概念理解發展的層級模型，利用層次復雜性、知識集成等分類理論將學習進階劃分為以下五個層級（見表1）.［2］

1.2 基于學習進階的高中數學教學過程設計研究思路

通過參考并整理相關文獻，將學習進階應用于初高中數學教學實踐中［3］，基于學習進階理論進行教學過程設計，如圖1所示.

2 基于學習進階的高中數學教學過程設計案例

2.1 前期分析

2.1.1 選定進階內容

直線與圓的位置關系是平面幾何中較為重要的章節之一，其應用比較廣泛.初中“直線與圓的位置關系”這部分課程內容出現在人教版《義務教育教科書數學九年級上冊》；高中“直線與圓的位置關系”這部分課程內容出現在人教A版《普通高中教科書數學選擇性必修第一冊》.在高中此內容的學習之前，學生已經掌握了直線與圓的三種位置關系并能夠定性描述出直線與圓的位置關系.高中階段將從定量計算的角度進一步判斷直線與圓不同的位置關系，并且這一章節內容的學習對于學生空間想象能力和邏輯思維能力的提高也具有重要作用.

2.1.2 課程標準分析

初中階段采用的數學課程標準是2022年版的《義務教育數學課程標準》［5］，高中階段采用的則是2017年版2020年修訂的《普通高中數學課程標準》［6］.將課程標準中的內容進行對比（見表2）.

2.1.3 教學內容分析

同一個知識點可分為許多學段進行學習，將學習進階理論應用于“直線與圓的位置關系”的進階研究，以此構建不同學段的知識體系.通過對初、高中數學教材內容的對比分析可以得出其核心知識在于“判斷直線與圓的位置關系”（見表3）.

對比兩個學段的教學內容后發現，主要有以下幾方面的特點.

（1）中心內容不變.

在初中和高中教學內容中，直線與圓的位置關系這一章節的中心內容都以判斷直線與圓位置關系的方法為主要內容.

（2）章節的知識點越來越豐富.

在初中知識的基礎上，高中關于直線與圓位置關系的教學內容增加了運用代數法來判斷直線與圓位置關系的重點知識.

（3）思維水平不斷提升.

在獲得知識的過程中，掌握了判斷直線與圓位置關系的方法，是由幾何向代數的進階，學生的數學思維能夠得到一定程度的提升.

2.2 設計進階活動

2.2.1 確定進階維度

在設計學習進階的具體實施中，需要進行進階維度的確定.［4］初中階段“直線與圓的位置關系”中包括“判斷直線與圓的位置關系”“切線的性質定理”兩點內容；高中階段“直線與圓的位置關系”中包括“判斷直線與圓的位置關系”“弦長的計算”兩點內容.為了便于統一分析，將相關進階維度確定為“判斷直線與圓的位置關系的方法”這一維度.基于上述對初、高中課程標準、教學內容的描述，進行進階設計.

2.2.2 構建學習進階

本文參考郭玉英等人建構的科學概念理解的發展層級模型，將判斷直線與圓的位置關系方法的學習進階劃分為五個層級水平，即經驗層級、映射層級、關聯層級、系統層級、整合層級，并對每個層級水平的學生預期學習表現加以描述.

（1）經驗層級，指學生認知里零碎化的知識、事實經驗等.學生回憶在初中階段學習的直線與圓位置關系的相關概念，知道直線與圓的三種位置關系，能夠將直線與圓的三種位置關系以及對應的幾何圖形聯系起來.

（2）映射層級，指學生能建構事物的具體特征與抽象術語之間的映射關系.在本階段要求學生通過自主學習，能初步感知直線與圓的位置關系的研究方法.

（3）關聯層級，指將已知的事實經驗與概念建立聯系.學生能夠根據之前所學習的直線的方程、圓的方程，類比用方程研究兩條直線位置關系的方法，利用直線和圓的方程，通過定量計算研究直線與圓的位置關系.

（4）系統層級，指能夠掌握各概念的特點，建立起一系列的聯系.在本階段學生能夠通過對比判斷直線與圓的位置關系的方法，自主地說出兩種方法的聯系.

（5）整合層級，指將不同的概念建立起聯系，促成一套完整的知識體系.

學生能夠根據具體題目靈活地選擇并運用判斷直線與圓的位置關系的方法來解決實際題目.

結合以上分析，對每一層級水平的學生預期學習表現再加以解釋說明［7］，構建直線與圓的位置關系的學習進階框架（見表4）.

2.3 基于學習進階的直線與圓的位置關系的教學過程設計

根據整理出的直線與圓的位置關系學習進階框架，以“判斷直線與圓的位置關系”這一內容為例，結合學習進階教學研究思路，優化出基于學習進階的直線與圓的位置關系教學設計模型，并設置相應的教學過程.

環節1：創設情境，引入新課.

教師通過課件展示圖片：“海上生明月，天涯共此時”.并提出如下問題讓學生加以思考.

問題1 初中學過的平面幾何中，直線與圓的位置關系有幾類？

學生之間交流討論，并說出自己的想法.

【設計意圖】教師利用復習引出本節課題，引導學生思考并回憶舊知，利用學生已有的知識儲備，通過自己的思考，啟發學生回顧由圖形獲取判斷直線與圓的位置關系的方法，以此來激發學生的學習興趣.

環節2：回憶舊知，夯實基礎.

教師展示課件.

（1）請判斷直線x+y-2=0與圓x2+y2=1的位置關系.

（2）請判斷直線x+y-1=0與圓x2+y2=1的位置關系.

（3）請判斷直線x+y-2=0與圓x2+y2=2的位置關系.

結合題目，教師提出如下問題.

問題1 在初中，怎樣判斷直線與圓的位置關系？

問題2 根據上述定義，如何利用直線與圓的方程判斷它們之間的位置關系？

【設計意圖】回憶初中階段所學習的判斷直線與圓的位置關系的方法，以此來引導學生思考是否存在判斷直線與圓位置關系的其他方法，得出直線與圓的位置關系的幾何特征和種類，激發出學生認知結構中的舊知.［8］

環節3：啟發引導，探究新知.

教師引導學生回顧直線與圓方程的相關知識.

提出問題：在兩直線的位置關系中，如何找它們的交點？

學生思考后回答：聯立兩直線的方程，通過方程組實數解的個數來判斷兩直線的交點個數.

教師進一步啟發學生：在直線與圓的位置關系判定中，是否可以聯立圓與直線的方程，通過方程組實數解的個數來判斷它們的位置關系？

學生合作交流并探究后，共同完成表5.

【設計意圖】從認知結構分析，本章節與初中“直線與圓的位置關系”有著相似的認知結構.因此在本環節，不僅實現了對舊知的鞏固與強化，也為新知的探究指明了方向.［9］另外，引導學生從初中判斷直線與圓的位置關系知識出發，探究得出從代數角度判斷直線與圓位置關系的方法，符合關聯層級學生的認知發展規律，這一過程有助于教學的順利進行，也有助于學生認知結構的完善.

環節4：深化知識，突出本質.

教師繼續引導學生利用類比、歸納的思想，總結前面三個環節中所涉及的判斷直線與圓位置關系的方法，形成一個完整的知識體系.

小組間合作交流后共同完成如下的表6.

【設計意圖】利用表6將判斷直線與圓位置關系的兩種方法抽象提煉，使學生對于如何使用幾何法和方程法求解該問題有了更加清晰的認識，能夠辨析它們之間的區別與聯系，幫助學生達到系統層級的預期學習表現.

環節5：整體把握，應用舉例.

為加深學生對于本節課學習的“直線與圓的位置關系”的理解掌握程度，需要對結論進行應用.

出示例題，讓學生思考后作出分析并解答.

如圖2，已知直線l：3x+4y+2=0和圓C：x2+y2-2x=0，判斷直線l與圓C的位置關系，如果相交，求出交點坐標；如果不相交，請說明理由.

學生分析解題思路，利用不同的方法完成解答.

方法一：判斷直線l與圓C的位置關系，就是看由直線l的方程與圓C的方程組成的方程組有無實數解.

方法二：可以依據圓心C到直線l的距離d與半徑r進行大小比較，從而判斷出直線l與圓C的位置關系.

【設計意圖】檢驗學生是否真正從初中階段的“幾何方法”來判斷直線與圓的位置關系進階到高中的“代數方法”.

以上以層次復雜性、知識集成等分類理論為基礎，結合高中數學新課標和人教A版教材，構造直線與圓位置關系的學習進階，明確每一階段的學習層級及學習任務，幫助學生整體地把握知識.

參考文獻

［1］王琳，吳華.基于學習進階的高中數學教學研究——以對數函數為例［J］.中國教育技術裝備，2021（11）：56-59．

［2］郭玉英，姚建欣.基于核心素養學習進階的科學教學設計［J］.課程·教材·教法，2016，36（11）：64-70．

［3］趙雪梅.學習進階在高中數學教學中的應用［J］.高考，2018（33）：113．

［4］敬海龍.學習進階視角下的高中數學教學研究——以函數概念為例［D］.重慶：西南大學，2021．

［5］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022．

［6］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020．

［7］王靜，胡典順.學習進階在數學教學中的應用［J］.教學與管理，2016（24）：82-85．

［8］楊凱，李成金.學習進階在教學中的應用［J］.教師，2019（5）：63-64．

［9］陳柯.深度解讀教材 培養深度思維——以“直線與圓的位置關系（1）”教學為例［J］.數學教學通訊，2023（11）：24-26．