研發專題課例，發展數學思維

摘 要：解題教學在中學數學課堂中占有相當大的比例，然而關于解題教學的研究，經常以具體某道題的解法或變式為主.近年來，不少教師積極開展的專題課是值得深入開展的一類課型研究.這類專題課可以從教材上的經典問題出發，進行變式拓展，基于一個教學主線“形散而神聚”，往往能達到較好的教學效果．

關鍵詞：經典問題；專題課例；解題教學；等價問題；小結問題

圓內兩條垂直相交弦問題是一類基本圖形，圍繞這類基本圖形可以有豐富的變式問題，能向“四面八方”生長，復習階段將其作為一節專題課開展教學，對于引導學生關注基本圖形、切實提升與這類基本圖形相關問題的解題能力、有效發展學生思維靈活性有較大的幫助.筆者近期研發一節“圓內垂直相交弦”專題課，取得較好的教學效果.本文將其整理出來，提供課例分享與研討．

1 “圓內垂直相交弦”專題課教學流程

教學環節一： 基礎熱身

問題1 已知半徑為6的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足為P．

（1）如圖1，求證：AP·BP＝CP·DP.

（2）如圖2，當AB為直徑，BP＝2時，求CD的長.

（3）在（2）的條件下，連接BC，求圓心O到弦BC的距離．

教學預設：通過完成相交弦性質、垂徑定理的基礎題，讓更多的學生從開課階段就能緊跟教學內容，起到一個基礎熱身的作用.如果學生思維活躍，還可以將第（3）問暫不出示，安排學生自主研究、提出問題，并在小組內交流“各自設問”與設計意圖．

教學環節二：拾級而上

問題2 已知半徑為r的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足為P.連接AC、BD．

（1）如圖3，分析AC、BD的平方和是否為定值？如果是，用含r的式子表示；如果不是，說明理由（可以舉出一個反例）．

（2）如圖4，設點M是BD的中點，連接MP，并延長交AC于點N，求證：MN⊥AC.

（3）如圖5，過圓心O作OH⊥AC，垂足為H.分析OH、BD的數量關系，并說明理由．

教學預設：第（1）問可以補出直徑CF（如圖6），連接AF、FD，在直角三角形ACF中，根據勾股定理得AC2＋AF2＝CF2；再把目光轉向四邊形ABDF中，可證出AF＝BD（可利用基本圖形平行的弦AB和DF所夾的弧、弦相等得出），從而等量代換到AC2＋BD2＝CF2.

第（2）問是所謂“婆羅摩笈多定理”，在圓中利用圓周角定理、直角三角形的性質不難證明.教學時，還可引導學生將“MN⊥AC”與“PM是BD邊上的中線這組條件與結論進行“調換”，證明思路類似．

第（3）問，繼續利用圖6的構造進行分析，先運用三角形中位線可得2OH＝AF，接著將BD＝AF進行代換，可得出結論.教學時還要將問題進行“等價”變式，即作OG⊥BD，垂足為G，同理可證2OG＝AC.可以讓學生在小組內完成這個“等價”變式的證明，再到全班展示證明思路，能有效反饋學生對這個性質的理解水平．

教學環節三：拓展提升

問題3 如圖7，矩形PCFD的頂點P在⊙O的直徑AB上，頂點C，D在⊙O上，頂點F在⊙O外.⊙O的半徑為6，BP＝2.矩形PCFD的對角線CD、PF相交于點H．

（1）連接OH，求證OH⊥CD.

（2）連接OF，小明演算后發現OF是定長.請判斷小明的發現是否正確？如果正確，求出OF的長；如果不正確，說明理由或舉出反例.

（3）連接OH，分析OH的最大值．

教學預設：第（1）問比較簡單，運用矩形的對角線互相平分、垂徑定理即可進行證明．

第（2）問有一定難度，學生獨立探究一段時間后如果還有困難，教師可以提供鋪墊式問題，如圖8，平面內一點P到矩形四個頂點的距離之間的數量關系（PA2＋PC2＝PB2＋PD2）.在這個圖形的啟發之下，在圖9中，連接OC，OD，有OC2＋OD2＝OF2＋OP2，可以確認OF是定長214.

第（3）問可在上一問的基礎上，獲得快速解決，即取OP中點G，連接GH，如圖9，根據三角形中位線的性質，有GH＝ 12OF＝14，當O、G、H三點共線（點H在點G右側）時，OH取到最大值2＋14.教學時，還可“成果擴大”，引導學分析出OH的最小值為14－2.進一步，也可借助幾何畫板演示出點F、H的運動軌跡分別是兩個圓（圓心分別是O、G，半徑分別是214，14）

教學環節四：課堂小結

小結問題1 本課練習過程中有哪些問題你覺得有難度？這些有難度的問題你現在理解了嗎？它們解答的關鍵步驟是什么？（先在小組內交流，各組選1個代表全班交流）

小結問題2 解決有些較難題時，往往需要先解決一個以前就熟悉的“鋪墊式問題”，本課在攻克有些難題時，你也用到以上解題經驗嗎？舉例說說．

小結問題3（變式練習） 如圖10，E為⊙O直徑AB上一點，BE=13OB，點C、D在圓上，∠CED=90°，F為弦CD的中點，設⊙O的半徑為r，分析OF的最大值（用含r的式子表示）.

2 教學立意的進一步解讀

2.1 基于經典問題，預設變式拓展

初中數學經典問題有很多，多在教材上以例題、習題的方式出現，但這些教材上的經典問題往往沒有提供豐富的變式或拓展.一方面是教材篇幅的原因，另一方面是由于教材是面向全體的要求，這些經典問題的變式或拓展需要教師結合學情、地區的考情，在復習時圍繞教材上這些經典問題進行必要的變式與拓展.可以發現，上文課例就是從教材上經典問題（相交弦的性質、垂徑定理）出發，進行系列變式與拓展，研究了圓內兩條互相垂直的弦的一系列結論，提升了解題的靈活性，開闊了學生的視野.值得一提的是，在變式拓展過程中，教師要重視課堂留白的預設，包括“預設性留白”和“生成性留白”都是解題教學藝術的體現.［1］

2.2 聚焦專題主線，預設“等價”追問

研發專題課之前先要確定教學目標或選題主線［2］，接著圍繞專題目標或主線進行例題、習題的選編、變式以及同類鏈接.上文課例的選題主線是圓內兩條垂直相交的弦問題，其中“問題1、2”這兩個主問題的圖形有完整的兩條垂直相交的弦，到了拓展提升的“問題3”就沒有出現完整的兩條垂直相交的弦，而只是局部出現圓內一個定點和定直角圖形，但問題仍然是教學主線上進行變式與拓展.另外，如上文“問題2”的第（2）問，在這個有挑戰的問題攻克成功之后，教師可以預設“等價”追問，對學生理解的情況進行反饋．

2.3 重視回顧反思，預設小結問題

專題課教學的最后要十分重視回顧反思的環節，課前教師要精心預設小結問題，小結問題要貼近教學內容，甚至要精準預設出貼近“課堂生成”的一些小結問題，比如學生解題進程中的關鍵步驟、易錯環節、典型錯漏等，都可以成為引領學生回顧與反思的小結問題.要通過對小結問題的引導，促進學生“把具有共同特征的數學對象結合起來進行考察，尋找和抽取其中內在關系和規律的不斷發展的思維活動方式或思維動作”［3］.此外，小結問題也可以對課堂中某個關鍵問題的同類變式改編（如上文課例中的“小結問題3”），以此來檢測或反饋學情，是小結環節的一個重要內容．

參考文獻

［1］蔡甜甜，劉國祥，寧連華.數學課堂留白藝術的理論探析與實踐反思［J］.數學教育學報.2018（6）：29-32．

［2］劉東升.“形散神聚”的主題，“淺入深出”的環節——中考二輪微專題復習課《無處不在的邊角關系》教學流程與立意［J］.教育研究與評論（中學教育教學）.2018（4）：87-91．

［3］涂榮豹，陳嫣.數學學習中的概括［J］.數學教育學報，2004（1）：17-22．

基金項目：南通市教育科學“十四五”規劃2021年度課題“提高農村初中學生的數學思維的力量的研究”（項目編號：GH2021360）．