結(jié)構(gòu)化思維在中學(xué)PA+kPB問題解決中的滲透

摘 要：問題解決是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目標(biāo)，結(jié)構(gòu)化思維作為一種解題思維，在面對(duì)復(fù)雜或較為困難的問題時(shí)，能夠?qū)?fù)雜問題變得有序，提高解題效率.中學(xué)熱點(diǎn)問題：PA+kPB問題以“胡不歸”模型為基礎(chǔ)，常以不同的形式出現(xiàn)，具有高度的靈活性和綜合性.將結(jié)構(gòu)化思維運(yùn)用于PA+kPB問題的解決，通過其在三角形、平行四邊形以及圓中的運(yùn)用，以期為解決結(jié)構(gòu)化思維融入問題提供建議.

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)化思維；PA+kPB問題；問題解決能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出要在課程實(shí)施中“加強(qiáng)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化”［1］.在新時(shí)代基礎(chǔ)教育課程改革的背景下，結(jié)構(gòu)化教學(xué)作為深化課堂教學(xué)改革的重要方式，對(duì)促進(jìn)學(xué)生知識(shí)體系的結(jié)構(gòu)化、提升結(jié)構(gòu)化思維具有重要意義.［2］受認(rèn)知負(fù)荷理論的影響，學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)時(shí)雖然短時(shí)間內(nèi)接收的信息有限，但是對(duì)于本身具有結(jié)構(gòu)性的知識(shí)會(huì)有相對(duì)較好的記憶效果.基于這個(gè)認(rèn)知規(guī)律，結(jié)構(gòu)化思維的有效滲透便能使學(xué)生將碎片化的信息進(jìn)行重新整合，讓學(xué)生根據(jù)知識(shí)結(jié)構(gòu)解決問題.學(xué)生可以通過結(jié)構(gòu)化思維解決問題，形成系統(tǒng)的知識(shí)體系，利用典型模型解決有關(guān)的一類數(shù)學(xué)問題，從而能夠研究出整個(gè)系列的解題方向.

1 理論基礎(chǔ)

1.1 結(jié)構(gòu)化思維

結(jié)構(gòu)化思維起源于管理學(xué)，它在面對(duì)工作的任務(wù)和難題時(shí)，可以幫助人們系統(tǒng)地思考問題，分析問題的原因，制訂行動(dòng)方案，并采取恰當(dāng)?shù)氖侄问构ぷ鞯靡愿咝书_展.［3］在處理復(fù)雜問題或大型項(xiàng)目時(shí)，結(jié)構(gòu)化思維尤其有用.結(jié)構(gòu)化思維是對(duì)事物的結(jié)構(gòu)進(jìn)行積極構(gòu)建的思維過程，力求通過對(duì)事物的結(jié)構(gòu)優(yōu)化把復(fù)雜問題變得有序.用結(jié)構(gòu)化思維解決數(shù)學(xué)問題能夠使學(xué)生的思維系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，能夠讓學(xué)生多角度地分析問題，從而用更加有效的方式快速解決某一類問題.

1.2 問題解決能力

數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)最終面向的是問題解決，作為培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的要求之一，問題解決能力為學(xué)生日后參與社會(huì)生活和終身學(xué)習(xí)奠定重要基礎(chǔ).《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020年）》中明確提出要提高學(xué)生勇于探索的創(chuàng)新精神和善于解決問題的實(shí)踐能力.中學(xué)生的問題解決能力是在數(shù)學(xué)問題的解決過程中所具備和展示的能力綜合，是能夠在面對(duì)問題情境時(shí)識(shí)別問題結(jié)構(gòu)，挖掘解題條件，進(jìn)行問題表征，探析解決方法，調(diào)控解題策略，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題得以解決的綜合能力.［4］

1.3 運(yùn)用結(jié)構(gòu)化思維破解問題的意義

知識(shí)的學(xué)習(xí)目的在于運(yùn)用，數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中至關(guān)重要的是思維方式的教學(xué).學(xué)生解決問題能力弱的原因之一是惰性知識(shí)作用下解題思維方式的錯(cuò)誤.面對(duì)大量的訓(xùn)練習(xí)題，我們不難發(fā)現(xiàn)，會(huì)做的學(xué)生不論題目怎么變化都能做對(duì)，不會(huì)的同學(xué)，不論怎么訓(xùn)練，即使掌握了一般“套路”，但是題目只要有些許變動(dòng)，依然不能正確把握解題的切入點(diǎn)和已知條件之間的關(guān)系，這便是學(xué)生思維方式的偏差.數(shù)學(xué)模型類問題具有普遍性和抽象性，雖然本質(zhì)結(jié)構(gòu)上具有普遍性，但是關(guān)于解題的數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)是思維方式的教學(xué)，教會(huì)學(xué)生如何思考.

根據(jù)結(jié)構(gòu)化思維的特點(diǎn)和問題解決能力的要求，結(jié)合解決模型類問題需要經(jīng)歷“先學(xué)模式，再提煉思想方法”的一般思路［5］，針對(duì)本文探究的PA+kPB問題制訂問題解決的三步驟：理解問題，提煉關(guān)鍵信息；分析問題，設(shè)想解題思路；實(shí)施設(shè)想，完善解題思路.

2 結(jié)構(gòu)化思維在問題解決中的應(yīng)用

2.1 講解模型基礎(chǔ)——背景介紹

之前學(xué)過PA+PB的定點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和定點(diǎn)到直線的距離最短問題，前者即“將軍飲馬”模型，先找出“河”，再作關(guān)于“河”的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出相應(yīng)的問題答案；后者則是根據(jù)垂線段最短得出答案.那么我們的PA+kPB（k≠1）問題是否也能如此解決呢？

《詩經(jīng)》中的《邶風(fēng)·式微》中寫道：式微，式微，胡不歸？是指從前有一個(gè)少年在外出求學(xué)時(shí)，突然得知了老父親病危的消息，得知消息后他立刻往家中趕.已知，少年位于A地，家在B地，A、B兩地之間是一片砂石地，AC是一條驛道.

設(shè)問1：如果你是這個(gè)少年，你會(huì)怎么做呢？

預(yù)設(shè)答1：由我們之前學(xué)過的知識(shí)可知，可以將問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短問題.

預(yù)設(shè)答2：如果沿著驛道AC先走一段，再走砂石地，會(huì)不會(huì)更早到家？

【設(shè)計(jì)意圖】遇到新的問題，學(xué)生會(huì)本能地調(diào)動(dòng)已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行解決，但是根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境，走驛道和砂石地的速度不同，便會(huì)出現(xiàn)第二種情況，與原有知識(shí)形成沖突，促進(jìn)思維發(fā)散.

由于思念心切，少年選擇直接穿過砂石地，當(dāng)他歷經(jīng)千辛萬苦終于趕到父親面前時(shí)，父親卻剛剛過世，少年痛不欲生，鄰舍告訴少年，父親一直在念叨著：胡不歸，胡不歸？

（“胡”同“何”）可見，少年并沒有及時(shí)趕到，這個(gè)故事引起了人們的思考，如果先沿著驛道走一段，再走砂石地是否會(huì)早些到家？

（1）理解問題，提煉關(guān)鍵信息.

砂石地和驛道的路面狀況不同，使得行走的速度也不相同，由此我們可以怎樣構(gòu)建模型？

在驛道上存在一點(diǎn)C，使得少年從A走到C，再從C走往B所用的時(shí)間最短（如圖1）.

我們建構(gòu)如下模型.

直線MN上有一動(dòng)點(diǎn)P，點(diǎn)P在MN上的運(yùn)動(dòng)速度為v1，在MN外的運(yùn)動(dòng)速度為v2，且v1＞v2，A，B為兩定點(diǎn)，MN上存在點(diǎn)C，使得ACv1+BCv2 的值最?。ㄈ鐖D2）

（2）分析問題，設(shè)想解題思路.

根據(jù)問題：要求BC+kAC的最小值，則必須對(duì)kAC進(jìn)行轉(zhuǎn)化，根據(jù)“垂線段最短”原理和問題中最特殊的“kAC”，不難想到構(gòu)造一個(gè)直角三角形，且AC為斜邊，并且其中一條直角邊應(yīng)與BC在同一方向上.以AC為一條邊的銳角的正弦值就是對(duì)應(yīng)的系數(shù)k.

（3）實(shí)施設(shè)想，完善解題思路.

至此我們需要思考如何構(gòu)建直角三角形，以及三角函數(shù)值的對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊分別是哪個(gè)角和邊.首先，根據(jù)構(gòu)造之后的邊要轉(zhuǎn)化成在同一方向上，構(gòu)建出直角三角形，我們選擇過點(diǎn)A作射線AD，使得AD垂直于BC，并與BC延長線交于點(diǎn)H（如圖3）.

至此可以列出算式sin α=CHAC=k，即BC+kAC=BC+CH，則問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH的最小值，即點(diǎn)B到射線AD的最小值.

根據(jù)“垂線段最短”得出BC+kAC的最小值為BH.

“胡不歸”模型是數(shù)學(xué)問題中的經(jīng)典模型，是PA+kPB問題的基礎(chǔ)模型之一，根據(jù)以上三步解題思路，以PA+kPB問題在三角形、平行四邊形以及圓中的應(yīng)用為例，具體描述如何將結(jié)構(gòu)化思維滲透進(jìn)模型類問題的解決中.

2.2 PA+kPB在三角形中的運(yùn)用

如圖4，△ABC中，AB=AC=10，tan B=2，AE⊥BC于點(diǎn)E，D是線段AE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則CD+55AD的最小值是多少？

（1）理解問題，提煉關(guān)鍵信息.

題中要求的是CD+55AD，由CD和AD在圖4中的位置，根據(jù)要作同向的輔助線可知，我們構(gòu)造的直角三角形應(yīng)該是過點(diǎn)D作AB的垂線，交AB于點(diǎn)H（如圖5），從而在Rt△AHD中，根據(jù)題中給出的k=55，并且就垂直和tan B=2我們不難得知sin ∠BAE=55.這樣我們就找到了k以及所要用到的直角三角形.

（2）分析問題，設(shè)想解題思路.

我們已經(jīng)將問題轉(zhuǎn)化成在Rt△AHD中，sin ∠HAD=55，而sin ∠HAD=DHAD=55，所以55AD=DH，則可以將CD+55AD轉(zhuǎn)化為CD+DH，也就是求CD+DH的最小值，根據(jù)垂線段最短原則，我們可得出當(dāng)CH垂直于AB時(shí)最短，并且交點(diǎn)就是點(diǎn)D.

（3）實(shí)施設(shè)想，完善解題思路

∵AE⊥BC于點(diǎn)E，tan B=2，∴在Rt△BEA中，sin ∠BAE=55.過點(diǎn)D作AB的垂線，交AB于點(diǎn)H.

∵DH⊥AB，∴在Rt△AHD中，sin ∠HAD=DHAD=55，∴55AD=DH，∴CD+55AD=CD+DH.

根據(jù)垂線段最短可知，過點(diǎn)C作AB的垂線，交AB于點(diǎn)M（如圖6）.

當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)M重合時(shí)，CD+DH的值最小，即CD+55AD的值最小，為CM.

∵在Rt△AHC中，AC=10，tan∠BAC=tan B=2，∴sin∠BAC=CMAC=255.

∴CM=BC·sin ∠BAC=255×10=45.

∴CD+55AD的最小值為45.

2.3 PA+kPB在平行四邊形中的運(yùn)用

如圖7，平行四邊形ABCD中，∠ABC=60°，BC=6，CD=2，P為邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PC+32AP的最小值等于多少？

（1）理解問題，提煉關(guān)鍵信息.

題中要求的是PC+32AP，由PC和AP在圖中的位置，根據(jù)要作同向的輔助線可知，我們構(gòu)造的直角三角形應(yīng)該是過點(diǎn)P作AB的垂線，交AB延長線于點(diǎn)H（如圖8），從而在Rt△AHP中，根據(jù)題中給出的k=32，∠ABC=60°，我們不難得知sin B=32，但是∠B不在三角形中，所以我們需要將60°進(jìn)行轉(zhuǎn)化.由平行四邊形的性質(zhì)我們不難得出AD∥BC，再根據(jù)“同位角相等”得出∠HAP=60°，至此已經(jīng)找到了k以及所要用到的直角三角形.

（2）分析問題，設(shè)想解題思路.

我們已經(jīng)將問題轉(zhuǎn)化成在Rt△AHP中，sin ∠HAP=32，而sin ∠HAP=HPAP=32，所以32AP=HP，則可以將PC+32AP轉(zhuǎn)化為PC+HP，也就是求PC+HP的最小值，根據(jù)垂線段最短原則，我們可得出當(dāng)C、P、H三點(diǎn)共線時(shí)值最小，即CH⊥AB時(shí)最短.

（3）實(shí)施設(shè)想，完善解題思路.

∵∠ABC=60°，∴sin∠ABC=32.

延長線段BA到點(diǎn)M，過點(diǎn)P作BM的垂線，交BM于點(diǎn)H.

∵在平行四邊形ABCD中，AD∥BC.

∴∠HAP=∠ABC=60°.

∴sin ∠HAP=sin 60°=32.

∴在Rt△AHP中，sin ∠HAP=HPAP=32.

∴32AP=HP.

∴PC+32AP=PC+HP.

根據(jù)垂線段最短可知，過點(diǎn)C作AM的垂線，交AB的延長線于點(diǎn)F（如圖9）.

當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)F重合時(shí)，PC+HP的值最小，即PC+32AP的值最小，為CF.

∵在Rt△BFC中，BC=6，∠ABC=60°.

∴sin ∠ABC=FCBC=32，∴CF=33.

∴PC+32AP=CF=33.

∴PC+32AP的最小值為33.

2.4 PA+kPB在圓中的運(yùn)用

如圖10，AC是圓O的直徑，AC=4，弧BA所對(duì)的圓心角為120°，D是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么OD+12BD的最小值是多少？

（1） 理解問題，提煉關(guān)鍵信息.

題中要求的是OD+12BD，由OD和BD在圖中的位置，根據(jù)要作同向的輔助線可知，我們構(gòu)造的直角三角形應(yīng)該是過點(diǎn)D向上作垂線，但從圖中可知缺乏一條明確的線段，因此我們要首先作出這條線段，及過點(diǎn)B作CA的平行線BK，接著作DE⊥BK于點(diǎn)E，OM⊥BK于點(diǎn)M.但至此我們無法得知Rt△DEB中角的度數(shù)，所以我們需要從已知條件中進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

根據(jù)題中給出的弧BA所對(duì)的圓心角為120°可知∠C為60°.又AC是直徑，所以∠ABC為90°，則在△ABC中，∠A為30°，由我們所作的兩條平行線及“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，得出∠EBA=∠BAC=30°，則sin ∠EBA=sin 30°=12，至此已經(jīng)找到了k以及所要用到的直角三角形.

（2）分析問題，設(shè)想解題思路.

我們已經(jīng)將問題轉(zhuǎn)化成在Rt△DEB中，sin ∠EBD=12，而sin ∠EBD=DEDB=12，所以DE=12BD，則可以將OD+12BD轉(zhuǎn)化為OD+DE，也就是求OD+DE的最小值，根據(jù)垂線段最短原則，我們可得出當(dāng)CE垂直于AB時(shí)最短，并且交點(diǎn)就是點(diǎn)D.

（3）實(shí)施設(shè)想，完善解題思路.

∵BA所對(duì)的圓心角為120°，∴∠C=60°.

∵AC為直徑，∴∠ABC=90°，∴∠A=30°.

作BK∥CA，DE⊥BK于點(diǎn)E，OM⊥BK于點(diǎn)M，連接OB（如圖11）.

∵BK∥CA，∴∠DBE=∠BAC=30°.

在Rt△DBE中，DE=12BD，∴OD+12BD=OD+DE.

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)M重合時(shí)，OD+12BD的值最小，最小值為OM.

∵∠BAO=∠ABO=30°，∴∠OBM=60°.在Rt△OBM中，∵OB=2，∠OBM=60°，∴OM=OB·sin 60°=3，∴OD+12BD的最小值為3.

在圓中解答PA+kPB問題時(shí)，所給出的角往往不是直接需要的，需要根據(jù)圓中角的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是要構(gòu)造出直角三角形，當(dāng)沒有明顯的可以作垂線的線段時(shí)，要先構(gòu)造出此線段，然后作垂線找出直角三角形和對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)，構(gòu)造的三角函數(shù)要以BD為斜邊.

3 思考與啟示

3.1 深度學(xué)習(xí)，促進(jìn)知識(shí)遷移

結(jié)構(gòu)化思維的形成需要有對(duì)知識(shí)點(diǎn)的深刻把握，要想形成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系，需要學(xué)生在教師的幫助下進(jìn)行深度學(xué)習(xí).深度學(xué)習(xí)作為學(xué)習(xí)狀態(tài)的一種質(zhì)性描述，是一種以高階思維為主要認(rèn)知活動(dòng)的高投入性學(xué)習(xí)，需要學(xué)習(xí)者不斷探索和思考，理解知識(shí)的本質(zhì)和對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的批判性利用，以實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)遷移和解決真實(shí)問題的目標(biāo).高效的解題思維需要將所學(xué)知識(shí)內(nèi)化，把握知識(shí)與知識(shí)之間、單元與單元之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，進(jìn)而在面對(duì)問題時(shí)能夠準(zhǔn)確地調(diào)動(dòng)相關(guān)知識(shí)內(nèi)容，找到問題切入點(diǎn).

3.2 把握條件與條件、條件與問題的關(guān)系

解決數(shù)學(xué)問題首先是對(duì)所給條件的運(yùn)用，運(yùn)用結(jié)構(gòu)化思維分析問題，最難的就是如何確定知識(shí)之間存在的邏輯關(guān)系.數(shù)學(xué)問題中所給出的已知條件之間往往不是相互獨(dú)立的，都直接或間接地存在一定的邏輯關(guān)系.［6］對(duì)于問題而言，條件就相當(dāng)于“提示”，要解決問題就要用到條件，而條件就是解決問題的提示.之所以要讀題、分析問題，分析的就是條件與問題，知道為什么會(huì)給出這些條件和問題和條件的內(nèi)在關(guān)系是怎樣的.

3.3 深入分析問題，明確知識(shí)點(diǎn)與定理

數(shù)學(xué)綜合類問題，不是對(duì)單一知識(shí)的機(jī)械運(yùn)用，學(xué)生要對(duì)問題進(jìn)行深入分析，深入理解問題的本質(zhì)，找出解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)，明確需要使用的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)和定理.這有助于提高解題效率和準(zhǔn)確性.

3.4 系統(tǒng)化展示解題過程

數(shù)學(xué)問題的解決結(jié)果需要解題過程和答案的同時(shí)呈現(xiàn)，解題過程是解題思路的實(shí)踐與驗(yàn)證，直接影響著最終結(jié)果.系統(tǒng)化的解題過程要按照制定的解題策略，逐步寫出解題過程.在寫解題過程時(shí)，要注意以下幾個(gè)方面：語言簡潔明了、步驟完整具有邏輯性、數(shù)學(xué)符號(hào)與公式正確.

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