一道解析幾何競賽試題的解題思維實踐

摘" 要：文章對2023年寧波市數學競賽第17題解析幾何定值及四點共圓問題進行解法探究，并優化解法，有利于培養學生的數學運算核心素養.

關鍵詞：解析幾何；一題多解；運算優化；數學運算核心素養

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）16-0056-04

收稿日期：2024-03-05

作者簡介：賴慶龍（1985.11—），浙江省建德人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.

《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出：數學運算主要表現為理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結果.通過高中數學課程的學習，學生能進一步發展數學運算能力，有效借助運算方法解決問題；通過運算促進數學思維發展，形成規范化思考問題的品質［1］.解析幾何的核心是利用坐標運算解決幾何問題，對運算能力的要求特別高，學生拿到解析幾何問題習慣于按照“設直線方程，聯立方程組，消元，韋達定理”的步驟求解，但很多時候，會算不對、算不全或者沒有信心進行運算，這就需要教師在日常教學時對“設什么，怎么算，能不能進一步優化”進行指導.另外，既然是幾何問題，要善于用幾何的視角來分析問題，把握幾何圖形中的變量關系、圖形特征等.本文結合2023年寧波市數學競賽第17題解析幾何問題的求解，提出運算優化的幾種視角，以供參考.

1" 問題呈現

題目" （2023年寧波市數學競賽第17題）已知雙曲線C：y2-x2=4，點A（23，4），直線y=kx+1與雙曲線C的上、下兩支分別交于M，N（異于點A）兩點，直線AM，AN分別交x軸于P，Q兩點.

（1）設直線AM，AN的斜率分別為k1，k2，求

1k1+1k2的值；

（2）若M，N，P，Q四點共圓，求直線l的方程.

2" 解法探究

2.1" 第（1）問探究

解法1" （常規解法）設M（x1，y1），N（x2，y2），T（0，1），將直線y=kx+1與雙曲線C聯立，得

（k2-1）x2+2kx-3=0.

由韋達定理，得

x1+x2=-2kk2-1，x1x2=-3k2-1.

則1k1+1k2=x1-23kx1-3+x2-23kx2-3

=2kx1x2-（23k+3）（x1+x2）+123k2x1x2-3k（x1+x2）+9

=163k2-12312k2-9

=433.

解法2" （解法優化1）設M（x1，y1），N（x2，y2），將直線y=kx+1與雙曲線C聯立，得

（k2-1）y2+2y-1-4k2=0.

所以y1+y2=-2k2-1，y1y2=-4k2k2-1.

則（y1-4）（y2-4）=12k2-9k2-1.

所以1k1+1k2=x1-23y1-4+x2-23y2-4

=y1-23k-1k（y1-4）+y2-23k-1k（y2-4）

=2k+3-23kk（1y1-4+1y2-4）

=2k+3-23kk·6-8k212k2-9

=433.

評注" 這里的優化是對目標進行坐標化后，對消去y還是x作出了優化選擇，并且對韋達定理進行了靈活變通，得出（y1-4）（y2-4）=12k2-9k2-1這一整體，再代入目標式計算，這樣運算量減少了許多.

解法3" （解法優化2）設M（x1，y1），N（x2，y2），

由y=kx+1，y2-x2=4，得

y-4=k（x-23）-3+23k，（y-4+4）2-（x-23+23）2=4.

所以（y-4）2+8（y-4）·（y-4）-k（x-23）23k-3-（x-23）2-43（x-23）·（y-4）-k（x-23）23k-3=0.

所以k1，k2是方程（23k+5）（y-4x-23）2-（8k+43）y-4x-23+23k+3=0的兩個不等實根.

所以k1+k2=8k+4323k+5，k1·k2=23k+323k+5.

所以1k1+1k2=8k+4323k+3=433.

評注" 這里的優化是我們基于對圖形結構的觀察——一定點，兩動直線，符合“手電筒模型”結構，所以就有了齊次化解法.2.2" 第（2）問探究

解法1" （相交弦定理視角）設MN與x軸交于點G，易得G（-1k，0），由題可得

|GM|·|GN|=|GP|·|GQ|.

由y=kx+1，y2-x2=4，得（k2-1）x2+2kx-3=（k2-1）（x-x1）（x-x2）=0.①

|GM|·|GN|=（1+k2）|（-1k-x1）（-1k-x2）|，

由AP：y=y1-4x1-23（x-23）+4，得

|GP|=|xP+1k|

=|-4x1+83y1-4+23+1k|

=|（23k-3）（x1+1/k）kx1-3|.

同理得|GQ|=|（23k-3）（x2+1/k）kx2-3| .

故|GP|·|GQ|=|（xP+1k）（xQ+1k）|

=（1+k2）|（-1k-x1）（-1k-x2）|.

所以|（23k-3）2k2（x1-3/k）（x2-3/k）|=（1+k2）.

①式中令x=3k，得

（x1-3k）（x2-3k）=12k2-9k2（k2-1）.

所以|（23k-3）2（k2-1）12k2-9|=1+k2.

所以|（23k-3）（k2-1）23k+3|=1+k2，

解得k=-233或k=32.

因為直線交雙曲線上下兩支，有|k|gt;1.

所以k=-233.

所以直線方程為y=-233x+1.

解法2" （相交弦定理優化1）設MN與x軸交于點G，易得G（-1k，0）.

由題可得|GM|·|GN|=|GP|·|GQ|.

而|GM|·|GN|=（1+1k2）|y1y2|，

由AP：y=y1-4x1-23（x-23）+4，得

|GP|=|xP+1k|

=|-4x1+83y1-4+23+1k|

=|（23k-3）y1k（y1-4）|.

同理得|GQ|=|（23k-3）y2k（y2-4）|.

所以|（23k-3）2y1y2k2（y1-4）（y2-4）|=|（1+1k2）||y1y2|.所以|（23k-3）2（k2-1）k2（12k2-9）|=1+1k2.

解得k=-233或k=32.

因為直線交雙曲線上下兩支，故|k|gt;1.

所以k=-233.

所以直線方程為y=-233x+1.

評注" 該解法是消去了x，利用y進行計算，運算量減少，再次說明聯立后消去什么元，留下什么元，有時對解題的影響很大.

解法3" （相交弦定理優化2）過點T（0，1）作x軸的平行線分別交AP，AQ于點P1，Q1.因為M，N，P，Q四點共圓，則由切割線定理知

|AM|·|AP|=|AQ|·|AN|.

又由相似三角形的性質知|AP1||AP|=|AQ1||AQ|.

所以|AM|·|AP1|=|AN|·|AQ1|.

即等價于M，N，P1，Q1四點共圓.

所以只需滿足|MT|·|NT|=|P1T|·|Q1T|.

由（1）知|MT|·|NT|=（1+k2）|x1x2|=3（1+k2）k2-1，其中|k|gt;1.

又因為直線AM：y-4=kx1-3x1-23（x-23），

令y=1則xP=（23k-3）x1kx1-3.

同理xQ=（23k-3）x2kx2-3.

所以|P1T|·|Q1T|=|xP1·xQ1|

=|（23k-3）2（kx1-3）（kx2-3）x1x2|

=3（23k-3）212k2-9.

所以3（1+k2）k2-1=3（23k-3）212k2-9.

化簡，得k（2k-3）（3k+2）=0.

又|k|gt;1，所以k=-233.

評注" 該解法是在解法2基礎上進一步優化，是對相交弦定理進行等價轉化，把點G平移到點T，運算量自然減少.

解法4" （切割線定理視角）由M，N，P，Q四點共圓可得

|AM|·|AP|=|AQ|·|AN|.②

所以4（1+t21）（4-yM）=4（1+t22）（4-yN）.

設AM：x=t1（y-4）+23;AN：x=t2（y-4）+23，

由（1）可得t1+t2=433.

聯立，得（1-t2）y2+2t（4t-23）y-（4t-23）2-4=0.

可得yM=4t21-43t1+4t21-1，yN=4t22-43t2+4t22-1.

代入②化簡得（t22-1）（1+t21）·（43t1-8）=（t21-1）（1+t22）·（43t2-8）.

又t1+t2=433，所以43t1-8=-（43t1-8）.

所以（t22-1）（1+t21）=-（t21-1）（1+t22）.

可得（t1t2）2=1.

當t1t2=1時，t1t2=1k1k2=23k+523k+3=1，無解.

當t1t2=-1時，t1t2=1k1k2=23k+523k+3=-1，解得k=-233.

解法5" （同弧所對圓周角相等視角）因為M，N，P，Q四點共圓，可得∠PMN=∠PQN.

所以tan∠PMN=tan∠PQN.

即k-k11+kk1=k2.

也即k=k1+k21-k1k2（此式也可由幾何法得到）.

所以k=k1+k21-k1k2=（8k+43）/（23k+5）1-（23k+3）/（23k+5）=4k+23.

所以k=-233.

評注"" 該解法最簡單，充分利用了四點共圓的幾何特性——同弧所對圓周角相等，將角轉化為斜率，

然后抓住直線l的斜率與直線AP，AQ的斜率關系，建立方程求解，這可能是命題人的初心.

解法6" （二次曲線系視角）

因為AM：y=k1（x-23）+4，AN：y=k2（x-23）+4，設經過M，N，P，Q四點的二次曲線系為

［k1（x-23）-y+4］·［k2（x-23）-y+4］+λ（kx-y+1）y=0.

當M，N，P，Q四點共圓時，則有

k1k2=1-λ，λk=k1+k2.

解得k=k1+k21-k1k2.

將韋達定理k1+k2=8k+4323k+5，k1k2=23k+323k+5代入得k=163k2-12343k-6.

解得k=-233或k=32（舍）.

3" 結束語

解析幾何問題一直是高考、競賽、強基的重點和難點，解題的視角、消元的選擇、運算技能的熟練與否、

是否抓住

問題的本質，是影響運算的四大因素.所以在日常教學中，要加強幾何關系坐標化的轉化，加強常規解法的教學，并同學生一起對常規解法在運算上進行改進、優化. 對于點參還是線參，線參是消去x還是消去y，通過具體的例子，講清原理，并引導學生學會選擇.

參考文獻：

［1］

中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.

［責任編輯：李" 璟］